Date : Nom : Groupe : Marie-Eve Lévesque École Polyvalente La Pocatière Notes de cours 063 414

Chapitre 1 L’étude des fonctions  Section 1 : Les propriétés des fonctions  Section 2 : Les fonctions définies par parties : La fonction en escalier  Section 3 : D’autres fonctions définies par parties

Chapitre 1 Les propriétés d’une fonction 1 Chapitre 1, section 1 : Les propriétés des fonctions Une fonction c’est Abscisse : ______________________________________________ Ordonnée : _____________________________________________ Comment reconnaitre graphiquement une fonction ?

Chapitre 1 Les propriétés d’une fonction 2 Domaine et image (codomaine) DOMAINE : ensemble des valeurs que prend la variable ________________ _. Truc _______________________________________________________ _. IMAGE (codomaine) : ensemble des valeurs que prend la variable__________ _. Truc _______________________________________________________ _. Notation  En intervalle la plupart du temps. Lorsque «x» et/ou «y» sont des variables continues. Temps (h)   Entre accolades Lorsque «x» et /ou «y» sont des variables discrètes. Nombre de bactéries    Détermine le domaine et l’image des fonctions suivantes Graphique 1 Graphique 2 Dom : Dom : Ima : Ima : Graphique 3 Graphique 4 Dom : Dom : Ima : Ima :

Chapitre 1 Les propriétés d’une fonction 3 Coordonnées à l’origine ZÉRO(S) (abscisse(s) à l'origine) : valeur de _______ quand ________ _. Graphiquement : point(s) d'intersection entre la courbe et l'axe des «x». ORDONNÉE À l'ORIGINE (valeur initiale) : valeur de ________ quand _____ _. Graphiquement : point d'intersection entre la courbe et l'axe des «y». Détermine les coordonnées à l’origine des fonctions suivantes Graphique 1 Graphique 2 Zéro(s) : _______ Zéro(s) : _______ O.O. : _________ O.O. : _________ Graphique 3 Graphique 4 Zéro(s) : _______ Zéro(s) : _______ O.O. : _________ O.O. : _________ Zéro(s) : ___________ O.O. : _____________

Chapitre 1 Les propriétés d’une fonction 4 Signe : positif ou négatif Sur un intervalle du domaine, une fonction est :  POSITIVE (0 inclus) si les valeurs de __________________ sont positives Truc : courbe en haut de l'axe des «x». Notation : f (x)  0 x  __________  NÉGATIVE (0 inclus) si les valeurs de ________________ sont négatives Truc : courbe en bas de l'axe des «x». Notation : f (x)  0 x  __________  Une fonction peut être strictement positive ou strictement négative si on exclut ce qui se passe quand f(x) = 0. Strictement positive : Strictement négative : f (x)  0 f (x)  0 x  x  __________ __________ Fonction positive f (x)  0 x  __________ Fonction négative f (x)  0 x  __________ Strictement positive f (x)  0 x  __________ Strictement négative f (x)  0 x  __________

Chapitre 1 Les propriétés d’une fonction 5 Variation : croissance, décroissance et constance Sur un intervalle du domaine, une fonction est :  CROISSANTE si elle ne diminue jamais (inclus la constance) Truc : ______________________________________________________ Notation : f (x)  x  __________  DÉCROISSANTE si elle n'augmente jamais (inclus la constance) Truc : ______________________________________________________ Notation : f (x)  x  __________  CONSTANTE si elle ne subit aucune variation (variation nulle) Notation : f (x)  x  __________  Une fonction peut être strictement croissante ou strictement décroissante si on exclut la constance. Strictement croissante : f (x)stric.  x  __________ Strictement décroissante : f (x)stric.  x  __________ Graphique Croissante : ____________________________ Décroissante : __________________________ Constante : ____________________________ Strictement croissante : ___________________ Strictement décroissante : _________________

Chapitre 1 Les propriétés d’une fonction 6 Extremums : minimum et maximum MINIMUM : plus petite valeur que prend ________________________ _. MAXIMUM : plus grande valeur que prend ______________________ _. L'  n'est ni un minimum, ni un maximum. Il faut une valeur précise. Minimum : Maximum : ________________________ ________________________ Graphique 1 Graphique 2 Min : _____ Min : _____ Max : _____ Max : _____ Graphique 3 Graphique 4 Min : _____ Min : _____ Max : _____ Max : _____

Chapitre 1 Les propriétés d’une fonction 7 Résumé Faire l’analyse d’une fonction consiste à décrire ses propriétés :  Le domaine et l’image (codomaine)  Les coordonnées à l’origine (abscisse(s) et ordonnée)  Le signe  /  La variation (croissant, décroissant, constant)  Les extremums (max, min) En ... Propriété Intervalle ou valeur X Domaine Y Image (codomaine) X Zéro(s) Y Ordonnée à l'origine X La fonction est positive (signe) X La fonction est négative (signe) X La fonction est croissante X La fonction est décroissante X La fonction est constante Y Maximum (extremum) Y Minimum (extremum)

Chapitre 1 Les propriétés d’une fonction 8 Exercices 1. Fais l’étude complète de la fonction suivante Domaine : ________________________________ Image :__________________________________ Coordonnées à l’origine : ________________________________________ ________________________________________ Les signes de la fonction : __________________________________ __________________________________ Extrémums : __________________________________ __________________________________ La variation : __________________________________ __________________________________ __________________________________ 2. Parmi les graphiques suivants, encercle ceux représentant des fonctions.

Chapitre 1 Les propriétés d’une fonction 9 Déterminer la valeur de l’image de la fonction pour une valeur précise du domaine. Je cherche l’image de la fonction 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2 lorsque x vaut 5. Pour cette même fonction, détermine 𝑓(−4). Déterminer la valeur du domaine de la fonction pour une valeur précise de l’image. Je cherche la valeur de x lorsque la fonction 𝑔(𝑥) = −3𝑥 + 15 vaut - 3. Pour cette même fonction, détermine x lorsque 𝑔(𝑥) = 3. Exercices Pour la fonction ℎ(𝑥) = 30 − 5𝑥 : a) Détermine h(0) b) Pour quelle valeur de x la fonction vaut 7,5?

Chapitre 1 La fonction en escalier 10 Chapitre 1, section 2 : Les fonctions définies par parties : la fonction en escalier Fonction définie par parties : La fonction en escalier est une fonction définie par partie. La fonction en escalier est discontinue : La fonction en escalier possède des valeurs critiques : Exemple : Dans la fonction ci-dessous, les valeurs critiques sont : Étude d’une fonction en escalier Propriétés Valeur Domaine Image Abscisse à l’origine Ordonnée à l’origine Signe Extremums Variation

Chapitre 1 La fonction en escalier 11 La règle d’une fonction en escalier m(𝒙) = Traduire une situation par une fonction en escalier Pierre possède un centre de location d’outils. Il loue ses outils selon la charte suivante : Durée de la location Coût de la location Moins de 1 heure 5$ De 1 à 2 heures 10$ Plus de 2 à 4 heures 15$ Plus de 4 heures jusqu’à 8 heures 20$ Plus de 8 heures 40$ Représente par intervalles et graphiquement cette situation. Durée de la location Coût de la location

Chapitre 1 D’autres fonctions par parties 12 Chapitre 1, section 3 : D’autres fonctions définies par parties Fonction affine par parties : La fonction affine par parties possède autant de taux de variation Exemple La fonction possède parties, donc elle possède taux de variation. Propriétés Valeur Domaine Image Abscisse à l’origine Ordonnée à l’origine Signe Extremums Variation

Chapitre 1 D’autres fonctions par parties 13 Comment trouver la règle d’une fonction affine par parties La règle d’une fonction définie par parties s’écrit comme un ensemble de règles de fonctions affines définies sur différents intervalles du domaine. Il faut donc déterminer autant de règle que de parties. 1. Numéroter chaque partie 2. Pour chaque partie (Préciser l’intervalle du domaine ainsi que 2 points) a) Calculer le taux de variation à partir de 2 points b) Trouver la valeur de b en remplaçant x et y par les coordonnées d’un point et la valeur de m dans la règle f(x) = mx + b. c) Écris la règle sous la forme f(x) = mx + b. 3. Écris la règle de la fonction affine par partie sous la forme 𝑚1𝑥 + 𝑏1 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ∈ [… , … ] 𝑓(𝑥) = 𝑚2𝑥 + 𝑏2 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ∈ [… , … ] 𝑚3𝑥 + 𝑏3 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ∈ [… , … ] Exemple :

Chapitre 1 D’autres fonctions par parties 14 Exercice Trouve la règle de la fonction affine par parties suivante.

Chapitre 1 D’autres fonctions par parties 15 Comment tracer le graphique d’une fonction définies par parties Exemple : Trace le graphique de la fonction affine par parties suivante : 2𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 a) 𝑓(𝑥) = 6 𝑝𝑜𝑢𝑟 3 < 𝑥 ≤ 7 𝑥 − 1 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 > 7 𝑥 + 2 𝑝𝑜𝑢𝑟 0 ≤ 𝑥 ≤ 10 b) 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 8 𝑝𝑜𝑢𝑟 10 < 𝑥 ≤ 15 −3𝑥 + 67 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 > 15