1 CHỦ ĐỀ 1: CĂN BẬC HAI VÀ CĂN BẬC BA CỦA SỐ THỰC, CỦA CÁC BIỂU THỨC ĐẠI SỐ. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Căn bậc hai. Căn bậc hai của một số không âma là sốx sao cho2 x a= . Số dươnga có đúng hai căn bậc hai làa ( và gọi là căn bậc hai số học củaa ) vàa− Số 0 có đúng một căn bậc hai chính là số 0 và nó cũng là căn bậc hai số học của số 0. Với hai số không âm,a b , ta cóa b a b . II. Căn thức bậc hai và căn thức bậc ba của các biểu thức đại số. 1. Căn thức bậc hai VớiA là một biểu thức đại số, ta gọiA là căn thức bậc hai củaA .A xác định ( hay có nghĩa) khiA lấy giá trị không âm, tức là0A .2 0 0 A khi A A A A khi A = = − 2. Một số phép biến đổi đơn giản 2.1. Với0, 0A B thì:. .A B A B= và ngược lại. .A B A B= Đặc biệt, khi0A , ta có:( )2 2 A A A= = . 2.2. Với0, 0A B thìA A B B = và ngược lạiA A BB = 2.3. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn :( )2 0A B A B B= . 2.4. Đưa thừa số vào trong dấu căn:2 .A B A B= (với0; 0A B )2 . .A B A B= − ( với0; 0A B ) 2.5. Khử mẫu ở biểu thức chứa căn:2 1A AB AB B B B = = (với0; 0AB B ) 2.6. Trục căn thức ở mẫu: B. BÀI TẬP 1. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN Câu 1. [NB] Số nào sau đây là căn bậc hai của0,36a = là
2 A.0,6− B.0,9 C.0,18− D.0,6 Đáp án: D Câu 2. [NB] Căn bậc hai số học của9 là A.3− . B.3 . C.3 . D.81 Đáp án: C Câu 3. [TH] Giá trị của biểu thức( )2 1 2− là A.1 2− − . B.1 2− . C.2 1− . D.2 1+ . Đáp án: C Hướng dẫn giải Ta có( )2 1 2 1 2 2 1− = − = − Câu 4. [NB] Kết quả của phép tính là A. . B. . C. . D. . Đáp án: A Hướng dẫn giải Câu 5. [TH] Giá trị của biểu thức2 9 16 25 169 5 2 81 − + là A.12 . B.13 . C.14 . D.15 . Đáp án: B Hướng dẫn giải Ta có2 9 16 25 169 5 2 81 − + =2 9 4 .5 . 13 13 5 2 9 − + = Câu 6. [TH] So sánh hai số 2 và1 2+ A.2 1 2 + . B.2 1 2= + . C.2 1 2 + . D.2 1 2 + Đáp án: C Hướng dẫn giải Tách2 1 1 1 1= + = + . Vì 1 < 21 21 2 1 1 1 2 + +2 1 2 + . Câu 7. [NB] Kết quả của phép tính2,5 14, 4 là A.36 . B.6 . C.18 . D.9 Đáp án: B Hướng dẫn giải81 1699 139 1693 1313 981 16981 9 13169 = =
32,5 14, 4 2,5.14, 4 25.144.0,01 5.12.0,1 6 = = = = Câu 8. [NB] Kết quả của phép tính16,9. 250 là A..0, 45 . B.4,5 . C.65 D.9 . Đáp án: C Hướng dẫn giải16,9. 250 169.25 13.5 65= = = Câu 9. [NB] Kết quả của phép tính4,9. 30. 75 là A..1,05 . B.10,5 . C.1050 . D.105 . Đáp án: D Hướng dẫn giải4,9. 30. 75 4,9.30.75 49.225 7.15 105= = = = Câu 10. [NB] Biểu thức2 1−x có nghĩa khi A.1 2 −x . B.1 2 −x . C.1 2 x . D.1 2 x Đáp án: C Câu 11. [NB] Choa, b R vàa; b 0 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A.a. b ab= . B.a a b b = . C.a b a b+ = + . D. Cả A, B, C đều đúng. Đáp án: A Câu 12. [NB] Tìm câu trả lời sai: A.ab a. b= với mọia, b . B.ab a. b= với mọia, b 0 . C.ab a. b= − − với mọia, b 0 . D.ab a . b= với mọia, b 0 Đáp án: A Câu 13. [NB] Chọn câu trả lời sai: A.a a b b = vớia, b 0 . B.a a b b − = − vớia, b 0 . C.a a b b = vớia 0;b 0 . D.aa b b = vớia 0;b 0 . Đáp án: A Câu 14. [NB] Choa là số không âm, sốb, c là số dương. Khẳng định nào sau đây sai? A.a a b b = . B.ab ab cc = . C.a ab bc c = . D.b a ab cbc = .
4 Đáp án: C Câu 15. [TH] Kết quả của phép tính4 6 9a b là: A.2 3 3a b . B.2 3 3a b . C.2 3 9a b . D.2 3 9a b . Đáp án: B4 6 2 3 2 2 3 2 3 9a b (3a b ) 3a b 3a b= = = Câu 16. [TH] Choa là số không âm, sốb là số dương Kết quả rút gọna ab b ab + + là: A.a b . B.a b . C.a b . D.b a . Đáp án: C Hướng dẫn giải:a ab a ( a b) a a bb ab b( b a ) b + + = = = + + Câu 17. [TH] Kết quả rút gọn của biểu thứca a 1 a − − vớia 0,a 1 là: A.a . B.a . C.a . D.a− . Đáp án: D Hướng dẫn giải:a a a ( a 1) a 1 a 1 a − − = = − − − Câu 18. [TH] Khi x < 0 thì2 1 x x bằng: A.1 x . B.x . C.1 . D.1− . Đáp án: D Hướng dẫn giải:2 1 1 1 x x. x. 1 x x x = = = − − (Vìx 0 ) Câu 19. [TH] Rút gọn biểu thức C =20a 4 45a 2 125a với a ≥ 0 ta được: A.4 5a . B.4 5a . C.4 5a . D.4 5a . Đáp án: C Hướng dẫn giải: C =20a 4 45a 2 125a 2 5a 4.3 5a 2.5 5a 4 5a
5 Câu 20. [TH] Rút gọn biểu thức3 a a vớia 0 , kết quả là: A.a . B.a− . C.a . D.2 a . Đáp án: C Hướng dẫn giải:3 3 2a a a a a aa = = = = (Vìa 0 ) Câu 21. [VD] Rút gọn biểu thức2 4 y x x y , với x > 0; y < 0 ta được: A.1 y . B.1 y . C.y . D.y . Đáp án: A Hướng dẫn giải:2 4 22 xy x y y x 1 . . x y x x y yy ( Vì x > 0; y < 0 ) Câu 22. [VD] Cho các số thực dương a, b, x, y khác 0 và2 4 2 2 2xy a b A ab 4x y = . Khẳng định nào sau đây đúng? A.A a= . B.A xy= . C.A b= . D.A ab= . Đáp án: C Hướng dẫn giải:22 4 2 2 2 2 2 2 ab2xy a b 2xy (ab ) 2xy 2xy ab A . . . b ab ab ab 2xy ab 2xy4x y (2xy) = = = = = Câu 23. [VD] Rút gọn biểu thức4 2 2 x M (b 3) b 6b 9 = − − + vớib 3 ta được: A.(3 b)x− . B.2 (b 3)x− . C.(b 3)x− . D.2 (3 b)x− . Lời giải Đáp án: D Hướng dẫn giải:24 2 2 2 2 2 2 x x x M (b 3) (b 3) (b 3) . b 3 b 3b 6b 9 = − = − = − − −− +
62 2 2x (b 3) . x (3 b) 3 b = − = − − (Vìb 3 ) 2. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI Câu 1. Cho biểu thức3 23 ( 7 3) ( 7 3)A = − + − a) [NB]7 là căn bậc hai số học của 49 b) [TH]2 ( 7 3) 3 7− = − c) [TH]33 ( 7 3) 7 3− = − d) [VD]2 7 6A = − Đáp án: ĐĐSS Hướng dẫn giải3 23 ( 7 3) ( 7 3) 7 3 7 3 7 3 3 7 0 A = − + − = − + − == − + − = Câu 2. Cho các sốx 50 ;y 3 8 vàz 3 2 2 . a) [NB] Căn bậc hai củax là50 . b) [TH] Căn bậc ba củax (làm tròn đến hàng phần trăm) là3, 68 . c) [TH] Đưa thừa số ra ngoài dấu căn ta đượcy 12 2 . d) [VD] Tính giá trị của biểu thứcA x y z= − − được kết quả là1A = . Đáp án: SĐSĐ Hướng dẫn giải a) Căn bậc hai củax là50 và50 . Chọn Sai b) Ta có3 50 3, 684031499 3, 68 Chọn Đúng c) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn ta đượcy 2 3 8 3 2 .2 6 2 . Chọn Sai d) Ta cóA x y z= − − hay50 3 8 3 2 2A = − − −( )2 2 2 5 .2 3 2 .2 2 1= − − −5 5 6 2 2 1= − − −
7( )5 5 6 2 2 1= − − −5 5 6 2 2 1 1= − − + = Chọn Đúng/Sai Câu 3. Cho các số sau:33 4 4 27 1 ; 183 2 3 2 x y + − = − = + − . a) [NB] Số33 27 1 18 y + − = có giá trị bằng1 9 − . b) [TH] Kết quả trục căn thức của biểu thức4 3 2− là(4 3 8)− + c) [TH] Kết quả của biểu thức4 4 3 2 3 2 − + − là16 . d) [VD] Kết quả của xy là16 9 − Đáp án: SĐĐS Câu 4. Cho hai biểu thức3 2 27A = − − và( )2 2 3B = − . a) [NB] Rút gọn biểu thứcA ta được3 2A = + b) [TH] Giá trị của biểu thứcB bằng2 3− c) [TH] Tính tổngA B+ được kết quả là2 2 d) [VD] Tính tích.A B được kết quả là7 Đáp án: ĐSSĐ Câu 5. Cho biểu thứcA x 2 4 x= + + − . a) [NB] Điều kiện xác định của biểu thức A làx 4 . b) [TH] Giá trị lớn nhất của A là4 . c) [TH] Giá trị nhỏ nhất của A là6 . d) [VD] Giá trị của biểu thức A khix 3 là5 1 . Đáp án: a) S b) S c) Đ d) Đ Hướng dẫn giải: Điều kiện xác định của A là2 x 4 nên a Sai2 A 6 2 (x 2)(4 x);2 (x 2)(4 x) 6= + + − + − ; do đó2 A 12 . Vậy GTLN của A là2 3 khix 2 nên b sai2 A 6 2 (x 2)(4 x) 6= + + − , do đó GTNN của A là6 khix 2; x 4(TM) nên c Đúng Khix 3 thìA 5 1 nên d đúng Câu 6. Cho biểu thức2 A 16 8x x x 4= − + − − .
8 a) Điều kiện xác định của biểu thức A làx 0 . b) Kết quả rút gọn biểu thức A khix 4 là8 . c) Kết quả rút gọn biểu thức A khix 4 là2x 8 . . d) Giá trị của biểu thức A khix 2 là4 . Đáp án: a) S b) Đ c) S d) Đ Hướng dẫn giải:2 2 A 16 8x x x 4 (x 4) x 4 x 4 x 4= − + − − = − − − = − − − Điều kiện xác định của A là mọi x nên a saix 4 A x 4 x 4 8 nên b đúngx 4 A 4 x x 4 2x nên c saix 2 thìA 4 nên d đúng. 3. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN Câu 1. [TH] Giá trị của( ) ( ) 2 2 5 11 3 11− + − là Đáp án: 2. Hướng dẫn giải :( ) ( ) 2 2 5 11 3 11− + − =5 11 3 11− + − =5 11 11 3 2− + − = . Câu 2. [TH] Tính giá trị biểu thức3 3 A 8000 0,125= + ta được kết quả ... Đáp án: 20,5 Hướng dẫn giải : Ta có: A =3 3 8000 0,125 20 0,5 20,5+ = + = Câu 3. [TH] Giá trị biểu thức1 1 E 2 1 2 1 = − − + bằng Đáp án:=E 2 Hướng dẫn giải :1 1 2 1 2 1 E 2 1 2 1 2 2 1 2 12 1 2 1 + − = − = − = + − + = − −− + Câu 4. [TH] Giá trị của biểu thức2 (1 2) 2− − có kết quả bằng Đáp án: - 1 Hướng dẫn giải :2 (1 2) 2 1 2 2 2 1 2 1− − = − − = − − = − Câu 5. [VD] Cho biểu thức45 , 10 5 3 P = − đưaP về biểu thức có dạng3.a b+ Khi đóa.b bằng
9 Đáp án: 162 Hướng dẫn giải :45 9 9(2 3) 18 9 3 4 310 5 3 2 3 + = = = = + −− − P Do đó:a 18; b 9.= = Vậy:a.b 18.9 162.= = Câu 6. [TH] Cho biểu thức45 20 . 180 80 A + = − Khi đó, giá trị biểu thức3A bằng ̣ (viết kết quả dưới dạng số thập phân) Đáp án:7,5 Hướng dẫn giải :45 20 3 5 2 5 5 5 5 . 2180 80 6 5 4 5 2 5 + + = = = = − − A Do đó:3A 7,5= Câu 7. [VD] Cho7(2 2 1) 2 2 a b 2 2 2 1 2 2 − − + = − + + . Khi đó, giá trị củaa b+ bằng: Đáp án: 8 Hướng dẫn giải:2 2 7(2 2 1) 2 2 7(2 2 1) ( 2 2) 9 4 2 3 2 2 6 2 2 8 1 2 42 2 1 2 2 − − − − + = + = − − + = − − −+ + Do đó:a 6; b 2.= = Vậy:a b 6 2 8.+ = + = Câu 8 [VD]. Tính giá trị của biểu thức1 1 1 : 1 1x x x − − − tại x =3 2 2− (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) Đáp án: 2,4 Hướng dẫn giải:1 1 1 1 1 : .(1 ) 1 1 ( 1) x x x x x x x x x − − − = − = − − − Thay x =( )2 3 2 2 2 1− = − vào biểu thức ta được( )2 1 1 2, 4 2 1 2 1 = − − Câu 9. [TH] Tính giá trị của biểu thức3 3 35 15 28 3 1 5 A − − = + − − (Kết quả viết dưới dạng số thập phân, làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) Đáp án : -2,6
10( ) ( ) ( )0 ; 0; 0; M A BM M A M A A B A B A A BA A B = = − Câu 10. [VDC] GọiM là giá trị nhỏ nhất của1 4 x x + + vàN là giá trị lớn nhất cuả5 . 2 x x + + Khi đó2M N+ bằng: Đáp án:+ =2 3M N Hướng dẫn giải:1 3 1 4 4 + = − + + x x x Với0 4 4 + x x3 3 3 3 3 1 1 4 4 44 4 4 − − − + + +x x x Do đó:1 4 =M5 3 1 2 2 + = + + + x x x Với0 2 2 + x x3 3 3 5 1 2 22 2 + + +x x Do đó:5 2 =N Vậy:1 5 2M N 2. 3 4 2 + = + = Câu 11. [VD] Cho( )4 1 1 ; 25 1 x A B x x + = = − + . Tìm tất cả giá trị nguyên củax để biểu thức.=P A B đạt giá giá trị nguyên lớn nhất. Đáp án:24x = Hướng dẫn giải: Ta có( )4 1 1 4 . 25 251 + = = = − −+ x P A B x xx . ĐểP nhận giá trị nguyên khix thì( )4 25 − x hay( ) 4 25 4; 2; 1;1; 2; 4− = − − −x U Khi đó, ta có bảng giá trị sau:25 − x4−2−1−124x292726242321
11.=P A B1−2−4−421 Đánh giá Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn DoP đạt giá trị nguyên lớn nhất nên ta có4=P . Khi đó giá trị cần tìm củax là24=x Câu 12. [VD] Tìm số nguyênx nhỏ nhất để các biểu thức10 3 A x = + nhận giá trị là số nguyên. Đáp án:4x = Hướng dẫn giải: Điều kiện :0x a)Vì10 0, 3 0x + nên0A Mặt khác,10 10 10 0 3 3 3 33 x x A x + + Do đó10 0 3 A nênA khi10 1 3 10 3 71 49 10 2 2 10 2 6 2 4 3 3 1 110 3 9 10 3 3 9 3 x x xA x A x x x x A x x x x = + = + = = = = = = + = = + = = + = = = + (thỏa mãn điều kiện) Vậy1 49; 4; 9 x là giá trị cần tìm. Câu 13. [VD] Rút gọn biểu thức2 4 x 4 x x 8x 16 − − + − + vớix 4 làa bx+ . Khi đóa 2b+ bằng: Đáp án: 3 Hướng dẫn giải:2 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 5 x x 4 4 xx 8x 16 − − − − + = − + = − + = − − −− + Do đó:a 5;b 1= = −a 2b 5 2 3+ = − = Câu 14. [VDC] Rút gọn biểu thức1 1 1 1 P 2 3 3 4 4 5 2n 2n 1 = − + −+ − − − − + làP a 2 b 2n 1= + + . Khi đóa b− bằng: Đáp án: 0 Hướng dẫn giải:
121 1 1 1 P 2 3 3 4 4 5 2n 2n 1 = − + −+ − − − − +2 3 3 4 4 5 2n 2n 1 ... 1 1 1 1 + + + + + = − + + + − − − −2 3 3 4 4 5 ... 2n 2n 1= − − + + − − + − − +2 2n 1= − − + Do đó:a 1;b 1= − = − Vậy:a b 0− = Câu 15. [VDC] Cho biểu thức( ) 2 1 1 : 0, 1 1 1 2 1 − + + = + − + − x x x x B x x x x x Tìm giá trị củax để giá trị của biểu thứcB bằng9 . Đáp án: x = 2,5 Hướng dẫn giải: Ta có:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 . 2 1 1 2 1 4 1 1 1 − + = + − = + + − = − − + x x x B x x x x x x x Mà:( )9 4 1 9 4 10 2,5= − = = =B x x x TM Vậy2,5=x thì giá trị củaB bằng9 Câu 16: Kết quả của phép tính( ) ( ) 2 2 25 16 3 2 3 2 − − + làa 3 b+ . Tích củaa.b là Đáp án: 18 Hướng dẫn giải:( ) ( ) 2 2 25 16 3 2 3 2 5 4 2 3 3 2 9 3 2 − − + = − − + = + Tích. 9.2 18a b = = 4. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1. Tìm điều kiện để biểu thức( ) ( )5 7 . 5 7P x x= + − có nghĩa? A.0x B.49 25 x −
13 C.49 25 x D.0x Câu 2. Biểu thức nào sau đây có điều kiện xác định:0; 9x x A.3 5 6 9 x x x + − + B.2 5 4 x x − − C.1 2 x x − + D.( )2 . 6 9x x x− + Câu 3. Cho biểu thức4 9 6 .15. 25 25 P = − Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Giá trị của biểu thứcP là số nguyên. B. Giá trị của biểu thứcP là số hữu tỉ. C. Giá trị của biểu thứcP là số vô tỉ. D. Giá trị của biểu thứcP là số nguyên dương. Câu 4. Cho2 . 1 m m M m − − = − Với0,m = so sánhM với2 2 2 2 .a = + + + A..M a B..M a C..M a D..M a Câu 5. Cho1 1 1 . 1 2 2 3 3 4 A = + + + + + Nghiệm của phương trình2 3 4 0Ax Ax+ − = là: A.4. 1 x x = − = B.4 . 1 x x = = − C.2 1. 2 1 x x = + = − D.2 3. 1 x x = = Câu 6. Cho1 1 1 1 ... . 1 2 2 3 98 99 99 100 B = + + + + + + + + Số nghiệm của phương trình3 2 2 3 27 9 0x Bx Bx B= + + = là: A.0. B.1. C.2. D.3. Câu 7. Rút gọn1 2 . 4 22 x x N x x − = + − − ta được kết quả1 . 2 x N x + = + Với giá trị nào củax thì3 ? 4 N =
14 A.4.x = B.1.x = C.9.x = D. Không tồn tại.x Câu 8. Cho10 5 . 255 5 x x M xx x = − − −− + Số các giá trị củax sao cho1 4 M = là: A.0. B.1. C.2. D.3. Câu 9. Tìm điều kiện để biểu thức2 1x x− − có nghĩa A.1.x B.0.x C.1; 0.x x D.0; 1.x x Câu 10. Tìm điều kiện xác định của phương trình2 2 5 6 5. 2 x x x − + = − A.2; 3; 2.x x x − B.2; 3; 2.x x x − C.2, 3.x x D.2; 3; 2.x x x − Câu 11. Tìm điều kiện xác định của phương trình( )2 2 4 4 2 . 8 16 x x x x x − − + = − + A.4.x B..x R C.4.x D.4.x Câu 12. Tìm nghiệm của phương trình:2 4 20 25 2 5x x x− + + = A.5 . 2 x = B.5 . 2 x C.5 . 2 x D.5 . 2 x Câu 13.1 4 x là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau: A.2 6 9 3 .x x x− + = − B.2 1 1 1 . 2 16 4 x x x− + = − C.2 1 2.x x+ − = D.2 1 12 36 5.x x− + = Câu 14. Tính giá trị biểu thức49 25 3 . 3 3 3 − + . A.5 . 3 B.5 3. C.3 . 5 D.5. Câu 15. Tính giá trị của biểu thức3 2 2 7 2 10 .C = + − + A.1 5.+ B.1 5.− C.( )2 2 1 5 .+ D.( )2 2 1 5 .−
15 Câu 16. Tìm điều kiện để biểu thức2 1 5 6 2 5 x x x − + − − + có nghĩa: A.2 3.x B.5 2; . 2 x x − C.5 2 3; . 2 x x − D.0.x Câu 17. Tính giá trị biểu thức( )( )3 4 2 3 3 1P = − − A.3 1.P = + B.2 3 1.P = − C.3 1.P = − D.3.P = Câu 18. Cho biểu thức45 20 . 180 80 A + = − Tính3 .A A.15 . 2 B.5 . 2 − C.5. 3 D.5 . 12 Câu 19. Cho các cặp số:( ) ( ) ( ) ( ) ( )468;13 , 13;637 , 52;637 , 52; 468 , 325;113 ,( )117; 325 . Những cặp số( );x y nào thỏa mãn điều kiện:832 ? x y x y + = A.( ) ( ) ( )117;325 , 52;468 , 13;637 . B.( ) ( ) ( )13;637 , 52;468 , 117;325 . C.( ) ( ) ( )117;325 , 13;637 , 52;468 . D.( ) ( ) ( )52;637 , 325;113 , 468;13 . Câu 20. Cho1 1 1 . . 21 1 2 x x x A x x x − + = − − + − Số các giá trị củax sao cho1A x= − là: A.0. B.1. C.2. D.3. Câu 21. Cho3 6 4 . 11 1 x x P xx x − = + − −− + Giá trị củax để1 2 P là: A.0 9. 1 x x B.0 9. 1 x x C.0 9. 1 x x D.0 9 1 x x Câu 22. Cho2 1 1 1 . . 21 1 2 x x x P x x x − + = − − + − Với giá trị nào củax thì2 ?P x A.1 . 3 x B.1 0 . 3 x C.1 . 3 x D.1 0 . 3 x Câu 23. Cho1. 2 a A a + = Tìma sao cho1 1 1? 2 a A a + +
16 A.9.a B.9.a C.9.a = D.3.a = Câu 24. Cho2 1 1 . 1 1 1 x x A x x x x x + + = + − − + + − So sánhA với1 ? 3 A.1 . 3 A B.1 . 3 A C.1 . 3 A D.1 . 3 A Câu 25. Tìm nghiệm của phương trình:2 6 3.x x x− − = − A.3.x = B.3.x = − C.3.x = − D. Vô nghiệm. Câu 26.3x = là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau: A.2 2 3 4 3.x x− = − B.2 1 1.x x− = − C.2 5 1 .x x+ = − D.2 3 .x x x− = − Câu 27. Phương trình nào sau đây vô nghiệm? A.2 1 1 1.x x x− − = − − B.2 3 5.x x x− = − C.2 2 3 4 3.x x− = − D.2 1 1.x x− = − Câu 28. Tìm nghiệm của phương trình2 2 1 1 0.x x− − + = A.1; 2.x x= = B.1.x = C.1; 2.x x= = D.1; 2.x x= = Câu 29. Tìm nghiệm của phương trình4 2 8 16 2 .x x x− + = − A.1; 2.x x= = − B. Vô nghiệm. C.2; 3; 1.x x x= = − = − D.1; 2; 3.x x x= = = Câu 30. Cho biểu thức45 , 10 5 3 P = − đưaP về biểu thức có dạng3.a b+ Tính.a b A.36. B.9.− C.162. D.108. Câu 31. Tính giá trị của biểu thức( )7 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 P − − = + + + A.12 2 2P = − B.6 2 2.P = − C.6 4 2.P = − D.12 4 2.P = + Câu 32. Tính giá trị biểu thức11 2 3 x A x − = − − tại23 12 3.x = −
17 A.2 3.A = B.1 3.A = − C.3.A = D.2 3.A = + Câu 33. Tính giá trị biểu thức9 4 1 2 3 5 6 2 3 x x x x P x x x x − + + = + − − + − − tại5.x = A.2 5 . 5 1 − + B.1 5 . 5 2 − + C.1 5 . 5 2 + − D.1 5 . 5 2 − − Câu 34. Cho biểu thức2 1 1 2 1 : 1 1 1 1 1 x x x A x x x x x + − = − − + − + − − + . Tính giá trị củaA khi3 8.x = + A.2 3.A = − B.2 2.A = C.2.A = − D.3.A = Câu 35. Tính giá trị biểu thức2 4 . 2 2 xy x y y P x y x y x y + = − − − − biết4 . 25 x y = A.7 . 5 B.10 . 7 − C.20 . 7 − D.7 . 10 − Câu 36. Tính giá trị của biểu thức2 2 x x P x − = − biết2 5 7.x − = A.6.P = B.1.P = C.6 . 1 P P = − = − D.6 . 1 P P = = CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘ T ẨN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I. Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải 1. Khái niệm phương trình bậc nhất một ẩn: - Phương trình dạng ax + b = 0, với a, b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn x. 2. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn: - Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (a ≠ 0) được giải như sau: ax + b = 0 ax = -b x =b a −
18 Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (a ≠ 0) luôn có một nghiệm duy nhất x =b a − . 3. Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 - Bằng cách chuyển vế và nhân cả hai vế của phương trình với một số khác 0, ta có thể đưa một số phương trình ẩn x về phương trình dạng ax + b = 0 và do đó có thể giải được chúng. - Phương trình tích dạng( )( ) ( )0 0, 0ax b cx d a b+ + = Để giải giải phương trình( )( ) ( )0 0, 0ax b cx d a b+ + = ta có thể làm như sau: • Bước 1: Giải hai phương trình bậc nhất:0ax b+ = và0cx d+ = • Bước 2: Kết luận nghiệm: Lấy tất cả các nghiệm của hai phương trình vừa giải được ở bước 1. - Phương trình chứa ẩn ở mẫu • Trong phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác0 được gọi là điều kiện xác định của phương trình. • Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta có thể làm như sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: Kết luận nghiệm: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho. II. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. 1. Phương trình bậc nhất 2 ẩn+ =ax by c và nghiệm tổng quát: − + − = = + x x ax c a c y y x b b b 2. Số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩnax by c a x b y c + = + = ( các hệ số khác 0) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất; a b a b Hệ phương trình vô nghiệm; a b c a b c = Hệ phương trình có vô số nghiệm. a b c a b c = = B. BÀI TẬP
19 1. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN Câu 1.<NB> Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất một ẩn? A.2 ( 1) 9x − = . B.21 1 0 2 x − = . C.2 1 0x − = . D.0,3 4 0x y− = . Hướng dẫn giải Các phương trình2 ( 1) 9x − = và21 1 0 2 x − = là các phương trình bậc hai. Phương trình0,3 4 0x y− = là phương trình bậc nhất hai ẩn. Phương trình2 1 0x − = là phương trình bậc nhất một ẩn. Chọn đáp án: C Câu 2. <NB> Phương trình nào sau đây không phải là phương trình bậc nhất một ẩn? A.3 0 7 x + = . B.( 1)( 2) 0x x− + = . C.15 6 3 5x x− = + . D.3 2x x= + . Hướng dẫn giải Các phương trình3 0 7 x + = ;15 6 3 5x x− = + ;3 2x x= + là các phương trình bậc nhất một ẩn. Phương trình( 1)( 2) 0x x− + = hay2 2 0x x+ − = là phương trình bậc nhất một ẩn. Chọn đáp án: B Câu 3. <NB> Phương trình2 3 12 3x x− = − có bao nhiêu nghiệm? A.0 . B.1 . C.2 . D. Vô số nghiệm. Hướng dẫn giải2 3 12 3x x− = −2 3 12 3x x+ = +5 15x =15 : 5x =
203x = Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất3x = . Chọn đáp án: B Câu 4. <NB> Điều kiện xác định của phương trình:5 1 0 1 2 x x − − = + là: A.1 2 x B.1 5 x C.1 2 x − D.1 5 x − Hướng dẫn giải Điều kiện xác định của phương trình là:1 2 0x+ hay2 1x − hay1 2 x − Chọn đáp án: C Câu 5. <NB> Điều kiện xác định của phương trình:5 1 5 4 1 x x x − = + − − là: A.4x − và1x − B.4x − và1x C.4x và1x − D.4x và1x Hướng dẫn giải Điều kiện xác định của phương trình là:4x − và1 0x− hay4x và1x Chọn đáp án: D Câu 6. [TH] Phương trình( ) ( )3x + 5 = 4 x -1 - 2 x -3 có nghiệm là A.x = 1 B.-5 x = 3 C.x = -3 D.x = 3 Hướng dẫn giải Tìm được nghiệm phương trình bậc nhất một ẩn bằng cách bấm máy tính
21 (Ví dụ fx 570VN PLUS: Bấm 3 ALPHA) + 5 ALPHA CALC 4 (ALPHA) -1) – 2(ALPHA ) – 3) SHIFT CALC 1 = => x = -3) Chọn đáp án: C Câu 7. <TH> Phương trìnhx -3 x +1 x + 7 + = -1 11 3 9 có nghiệm là: A.-28 x = 31 B.3 x = 11 C.-1 x = 3 D.-7 x = 9 Hướng dẫn giải Tìm được nghiệm phương trình bậc nhất một ẩn bằng cách bấm máy tính Chọn đáp án: A Câu 8. <NB> Phương trình nào sau đây không là phương trình bậc nhất hai ẩn? A.5 8 0x y− = B.0 0 3x y− = C.4 0 2x y+ = − D.0 5 2x y+ = − Hướng dẫn giải Dựa vào khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn đáp án: B Câu 9.<NB> Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình5 4 8x y+ = A.( )1;2− B.( )1;0− C.( )0;2 D.( )2; 1− Hướng dẫn giải Thay cặp số;x y vào phương trình5 4 8x y+ = ta được khẳng định đúng thì đó là nghiệm của phương trình. VD: Thay0; 2x y= = vào phương trình ta được:5.0 4.2 8+ = (khẳng định đúng) nên( )0;2 là nghiệm của phương trình. Chọn đáp án: C . Câu 10. <NB> Trong các hệ phương trình sau, hệ nào không phải là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn?
22 A.2 3 5 4 0 x x y = − + = B.3 1 2 3 x y x y − = + = C.2 1 3 3 x y y + = − = D.2 3 0 0 3 x y x y + = − + = Hướng dẫn giải Dựa vào khái niệm: hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ phương trình2 3 0 0 3 x y x y + = − + = không phải là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, vì phương trình thứ hai của hệ là0 0 3x y+ = không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn đáp án: D Câu 11.<NB> Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình3 1 2 3 x y x y + = + = A.( )2;7− B.( )1;0− C.( )0;2 D.( )2; 1− Hướng dẫn giải Kiểm tra xem cặp số nào là nghiệm của cả hai phương trình của hệ3 1 2 3 x y x y + = + = thì cặp số đó được gọi là một nghiệm của hệ phương trình. Chọn đáp án: A Câu 12.<NB> Cặp số( )3; 5− là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây? A.3 1 2 x y x y − = + = B.3 4 2 11 x y x y + = − = C.1 3 5 y x y = − − = D.4 0 3 0 x y x y − = − = Hướng dẫn giải Cặp số( )0 0;x y là nghiệm của hệ phương trìnhax by c a x b y c + = + = khi vì chỉ khi nó thỏa mãn cả hai phương trình của hệ. Chọn đáp án: B +) Thay3; 5x y= = − vào hệ3 1 2 x y x y − = + = ta được( ) ( ) 3 3. 5 1 18 1 2 23 5 2 − − = = − =+ − = (vô lý) nên A loại
23 +) Thay3; 5x y= = − vào hệ1 3 5 y x y = − − = ta được( ) 5 1 5 1 3 3. 5 5 18 5 − = − − = − − − = = (vô lý) nên C loại +) Thay3; 5x y= = − vào hệ4 0 3 0 x y x y − = − = ta được( ) ( ) 4.3 5 0 17 0 18 03. 3. 5 0 − − = = =− − = (vô lý) nên D loại +) Thay3; 5x y= = − vào hệ3 4 2 11 x y x y + = − = ta được( ) ( ) 3.3 5 4 4 4 11 112.3 5 11 + − = = =− − = luôn đúng nên chọn B Câu 13.<TH> Nghiệm tổng quát của phương trình2 3 12x y là: A.3 6 2 y R x y B.2 4 3 x R y x C.2 4 3 x R y x D.3 6 2 y R x y Hướng dẫn giải Chọn A + Với2 12 2 3 2 12 4 3 3 x x R y x y x + Với3 12 3 2 3 12 6 2 2 y y R x y x y Câu14.<TH> Biết hệ phương trình2 5 x by a bx ay có nghiệm1; 3x y . Tính10 a b A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 Hướng dẫn giải Chọn C Thay1; 3x y vào hệ phương trình đã cho ta được:17 2 3 3 2 3 2 10 17 10 3 5 3 5 9 3 15 3 2 1 10 a b a a b a b a b a a b a b a b b
24 Vậy17 1 , 10 10 a b thì hệ phương trình có nghiệm1; 3x y Suy ra17 1 10 10 16 10 10 a b Câu 15.<TH>. Cặp số( )a;b là nghiệm của hệ phương trình3 5 1 x y x y + = + = . Khi đó giá trị của biểu thức2 3 3a b− bằng A.13. B.5.− C.1.− D.11.− Chọn B Giải hệ phương trình3 5 1 x y x y + = + = ta được x = -1, y = 2 nên a = - 1, b = 2 Thay a = -1, b = 2 vào biểu thức2 3 3a b− ta có 3.(-1)2 – 23 = - 5 Câu 16. <TH> Gọi0 0( ; )x y là nghiệm của hệ phương trình3 4 0 2 3 1 0 x y x y − + = + − = thì0 0( )x y+ bằng A.3 B.5− C.3,5 D.0 Phương pháp giải3 4 0 3 4 6 2 8 11 11 1 2 3 1 0 2 3 1 6 9 3 2 3 1 1 x y x y x y y x x y x y x y x y y − + = − = − − = − = = − + − = + = + = + = = 2. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI Câu 1. Cho phương trình(x 3)(x 3) (x 9)x x(x 3) (x 3)x + − + = − − . Trong mỗi ý a), b), c), d) ở dưới đây, thí sinh chọn đúng hoặc sai. a) <NH> Điều kiện xác định của phương trình là:0x và3x . b) <TH> Phương trình đã cho vô nghiệm. c) <TH>1x = − là một nghiệm của phương trình đã cho. d) <VD> Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất . Hướng dẫn giải +) ĐKXĐ của phương trình làx 0 vàx 3 . +)(x 3)(x 3) (x 9)x x(x 3) (x 3)x + − + = − − =>(x 3)(x 3) (x 9)x+ − = + (*)
25 2 2 x 9 x 9x− = + <=> x = −1 (thỏa mãn ĐKXĐ ). Vậy phương trình có nghiệm làx 1.= − a) Điều kiện xác định của phương trình là:0x và3x .( chọn Đ) b) Phương trình đã cho vô nghiệm. ( chọn S) c)1x = − là một nghiệm của phương trình đã cho. ( chọn Đ) d) Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất . ( chọn Đ) Câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở dưới đây, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Giải phương trình( )( )2 1 3 1 0x x+ − = , ta có: a) < NB> Phương trình đã cho có 2 nghiệm. b) < TH>1 2 x = − là một nghiệm của phương trình đã cho. c) < TH> Phương trình đã cho có nghiệm là3x = và2x = − . d) <VD> Tích các nghiệm của phương trình đã cho bằng1 6 − . Hướng dẫn giải Ta có:( )( )2 1 3 1 0x x+ − = nên2 1 0x + = hoặc3 1 0x − = +)2 1 0x + = hay2 1x = − , suy ra1 2 x = − +)3 1 0x − = hay3 1x = , suy ra1 3 x = Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là1 2 x = − và1 3 x = a. Phương trình đã cho có 2 nghiệm là khẳng định đúng. Chọn: Đ b.1 2 x = − là một nghiệm của phương trình đã cho là khẳng định đúng. Chọn: Đ c. Phương trình đã cho có tập nghiệm là3x = và2x = − là khẳng định sai. Chọn: S
26 d. Vì1 1 1 2 3 6 − = − nên Tích các nghiệm của phương trình đã cho bằng1 6 − là khẳng định đúng. Chọn: Đ Câu 3. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở dưới đây, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Giải phương trình2 2 2x x x− = − + , ta có: a) [NB] Phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm. b) [TH]2x = − là một nghiệm của phương trình đã cho. c) [TH] Phương trình đã cho có nghiệm là1x = và2x = . d) [VD] Tích các nghiệm của phương trình đã cho bằng2− . Hướng dẫn giải Ta có:2 2 2x x x− = − +2 2 2 0x x x− + − =( ) ( )2 2 2 0x x x− + − =( ) ( )1 2 1 0x x x− + − =( )( )1 2 0x x− + = Ta giải hai phương trình sau: +)1 0x − = hay1x = . +)2 0x + = hay2x = − Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là1x = và2x = − . a. Phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm là khẳng định sai. Chọn: S b.2x = − là một nghiệm của phương trình đã cho là khẳng định đúng. Chọn: Đ c. Phương trình đã cho có nghiệm là1x = và2x = là khẳng định sai. Chọn: S d. Vì2.1 2− = − nên Tích các nghiệm của phương trình đã cho bằng2− là khẳng định đúng. Chọn: Đ
27 Câu 4. Cho hệ phương trình2 4 6 − = − = + mx y m x my m (I). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? a) [NB] Với0m thì (I) là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. b) [TH] Với2m = thì hệ phương trình đã cho vô số nghiệm c) [TH] Với1m = − thì hệ phương trình có nghiệm (1;1) b) [VD] Với1m = thì hệ phương trình có nghiệm (a;b) thỏa mãn( )2 4a b− = Lời giải a) Sai. Vì với mọi m thì (I) là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. b)Đúng .Vì với2=m thì hệ phương trình đã cho vô số nghiệm c) Đúng . Vì với1= −m thì hệ phương trình có nghiệm (1;1) b) Đúng . Vì Với1=m thì hệ phương trình có nghiệm5 1 ; 3 3 − thỏa mãn( )2 4a b− = Câu 5. Cho hệ phương trình1 2 5 2 x y m x y m (m là tham số). Trong mỗi ý a), b), c), d) ở dưới đây, thí sinh chọn đúng hoặc sai. a) <NB> Phương trình2 5x y m (m là tham số) không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn. b) <TH> Nghiệm của hệ phương trình khi1m là; 1; 0x y c) <TH> Biểu diễnx ;y theom ta được2 1x m y m . d) <VD> Giá trị củam để hệ phương trình có nghiệm0 0 ;x y thoả mãn0 0 3 2 1x y là3m . Lời giải a) Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạngax by c (Trong đó;a;b c là những số cho trước0a hoặc0b ). Chọn S b) Với1m ta có hệ phương trình0 2 3 x y x y Bấm máy tính được1 1 x y Vậy nghiệm của hệ phương trình khi1m là; 1; 1x y Chọn S
28 c) Vớim 2 ta có hệ phương trìnhx y x y 1 2 8 Bấm máy tính đượcx y 3 2 Khi đóx y 2 2 2 2 0 0 3 2 13 Chọn S d) Xét hệ phương trình1 (1) 2 5 2 (2) x y m x y m (m là tham số). Cộng từng vế hai phương trình ta được3 6 3x m hay2 1x m Thế vào phương trình(1) ta được2 1 1m y m suy ray m Chọn Đ Câu 6: Cho hệ phương trình1 2 + = + + = x my m mx y m (m là tham số). a. [NB] Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi 1;1m − b. [TH] Với m = -2 thì HPT có nghiệm là ( 3; 2) c. [TH] Nghiệm (x; y) của hệ phương trình là2 1 ; 1 1 m m m m − + + d. [VD] (x; y) là nghiệm của HPT. Tổng các giá trị nguyên của m để biểu thức A = x + y nhận giá trị nguyên là -5 Hướng dẫn giải: a, HPT có nghiệm duy nhất khi/ / a b a b nên 1m . Vậy a- Đ b, m = -2 ta có HPT2 1 2x 4 x y y − = − − + = − có nghiệm là ( 3; 2). Vậy b- Đ c,1 ( 1 ) 2 x m my m m my y m = + − + − + = suy ra2 1 1 1 m x m m y m + = + = + nên c- S d, A = x + y =3 1 2 3 1 1 m m m + = − + + Để A nhận giá trị nguyên thì m + 1 là ước của 2 suy ra m = -2, m = -3, m = 0 Tổng các giá trị của m là -5. Vậy d- Đ
29 Câu 7. Cho hệ phương trình2 3(1) 2 3 (2) x y m x y m + = + − = (m là tham số) a) [NB]2 3x y m− = là một phương trình bậc nhất 2 ẩn. b) [TH] Với1m = thì hệ phương trình đã cho có nghiệm( )1; 2 c) [TH] Với1m = thì hệ phương trình đã cho có nghiệm0 0( ; )x y thỏa mãn0 0 3x y+ = d) [VD] Với1,8m − thì hệ phương trình đã cho luôn cho nghiệm dương. Cách giải a. Chọn Đ b. Với1m = hệ phương trình đã cho trở thành2 4 2 3 1 x y x y + = − = . Bấm máy tính giải được nghiệm( ) ( ); 2;1x y = Chọn S c. Chọn Đ d. Khi nhân phương trình (1) với 2 rồi trừ từng vế với phương trình (2) ta được7 6y m= + =>6 7 m y + = Thế vào PT (1) ta được5 9 7 m x + = Để HPT có nghiệm dương =>5 9 0 1,87 1,8 6 6 0 7 m x m m m m y + = − − + − = Với1,8m − thì hệ phương trình đã cho luôn cho nghiệm dương. Chọn Đ. Câu 8. Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong1 giờ12 phút. Mỗi giờ phần việc người thứ nhất làm nhiều gấp rưỡi người thứ hai. a) [NB] Nếu một người làm thì sau1 giờ hoàn thành công việc. b) [TH] Thời gian người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc ít hơn thời gian người thứ hai làm một mình hoàn thành công việc. c) [TH] Thời gian người thứ hai hoàn thành công việc nếu làm một mình là3 giờ. d) [VD] Nếu làm một mình thì trong 1 giờ người thứ nhất làm được1 3 (công việc). Hướng dẫn giải: a. Nếu một người làm thì thời gian phải lâu hơn hai người làm khi cùng làm chung cùng một công việc. Chọn: SAI
30 b. Vì mỗi giờ phần việc người thứ nhất làm nhiều gấp rưỡi người thứ hai có nghĩa là năng suất làm việc của người thứ nhất cao hơn người thứ hai. Như vậy, thời gian người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc ít hơn thời gian người thứ hai làm một mình hoàn thành công việc. Chọn: ĐÚNG c.Đổi72 6 1h12p h h 60 5 = = Gọix (giờ) là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc6 x 5 ;y (giờ) là thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc6 y 5 . Ta có hệ phương trình:1 3 1 = . x 2x 2 y 1 1 5 y 3 + = x y 6 = = Thời gian người thứ hai hoàn thành công việc nếu làm một mình là3 giờ. Chọn: ĐÚNG d.Theo câu c: nếu làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong2 giờ. Như vậy, trong1 giờ người thứ nhất làm được1 2 công việc. Chọn: SAI Câu 9. Cho hệ phương trình1 2 5 2 x y m x y m (m là tham số). a) <NB> Phương trình2 5x y m (m là tham số) không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn. b) <TH> Nghiệm của hệ phương trình khi1m là; 1; 0x y c) <TH> Biểu diễnx ;y theom ta được2 1x m y m . d) <VD> Giá trị củam để hệ phương trình có nghiệm0 0 ;x y thoả mãn0 0 3 2 1x y là3m . Lời giải a) Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạngax by c (Trong đó;a;b c là những số cho trước0a hoặc0b ). Chọn S b) Với1m ta có hệ phương trình0 2 3 x y x y
31 Bấm máy tính được1 1 x y Vậy nghiệm của hệ phương trình khi1m là; 1; 1x y Chọn S c) Vớim 2 ta có hệ phương trìnhx y x y 1 2 8 Bấm máy tính đượcx y 3 2 Khi đóx y 2 2 2 2 0 0 3 2 13 Chọn S d) Xét hệ phương trình1 (1) 2 5 2 (2) x y m x y m (m là tham số). Cộng từng vế hai phương trình ta được3 6 3x m hay2 1x m Thế vào phương trình(1) ta được2 1 1m y m suy ray m Chọn Đ 3. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN. Câu 1.<TH> Giá trị củam để phương trình( )3 6m x − = có nghiệm5x = là…. Hướng dẫn giải Với5x =( )5 3 6 .2 6 3 m m m − = = = Điền đáp án: 3 Câu 2.<TH> Phương trình2 7 5 4x x− = − có nghiệm làx = .................. Hướng dẫn giải Ta có
322 7 5 4 2 4 5 7 6 12 2 x x x x x x − = − + = + = = Điền đáp án: 2 Câu 3.<TH> Với m = 2, phương trình( ) 2 3 9m x x− = − tổng các nghiệm là .................. Hướng dẫn giải Với m = 2, ta có phương trình( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2. 3 9 2. 3 3 3 3 3 2 0 3 0 1 0 3 1 x x x x x x x x x x x − = − − = + − − + − = − = + = = = − Vậy với m = 2, phương trình( ) 2 3 9m x x− = − tổng các nghiệm là( )3 1 2+ − = Điền đáp án: 2 Câu 4.<TH> Nghiệm của phương trình5x 2 5 3x 3 2 − − = là ………. Hướng dẫn giải5x 2 5 3x 3 2 − − =( ) ( )2 5x 2 3 5 3x 10x 4 15 9x 10x 9x 15 4 19x 19 x 19 :19 x 1 − = − − = − + = + = = =
33 Vậy nghiệm của phương trình là1x Câu 5. <VD> Cho phương trình (5x – 7)(x – 3) = 0. Nghiệm của phương trình là... Đáp số: x = 7 3 ; x = 3. Hướng dẫn giải Ta có: (5x – 7)(x – 3) = 0 Nên 5x – 7 = 0 hoặc x – 3 = 0 +) 5x – 7 = 0 hay 5x = 7 suy ra x = 7 3. +) x – 3 = 0 hay x = 3 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 7 3 ; x = 3 Đáp số: x = 2. Hướng dẫn giải Sau khi gặp nhau, quãng đường nhóm 1 đi được: 36. (x + 1) (km) Quãng đường nhóm 2 đi được: 54.x (km) Ta có: 36.(x + 1) = 54x 36x + 36 = 54x 18x = 36 x = 2 (giờ) Điền đáp án: x = 2 Câu 6. <VD> Một xe máy khởi hành từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc trung bình 40km/h. Sau 1 giờ, một ô tô cũng khởi hành từ thành phố A đến thành phố B cùng đường với xe máy và với vận tốc trung bình là 52km/h. Hãy viết phương trình biểu thị việc ô tô gặp xe máy sau x giờ, kể từ khi ô tô khởi hành. Giá trị của x là... Đáp số: x = 10 3 Hướng dẫn giải: Khi ô tô đi được x giờ thì xe máy cũng đi được x + 1 (giờ)
34 Quãng đường xe máy đi được là: 40.(x + 1) (km) Quãng đường ô tô đi được là: 52x (km) Khi gặp nhau thì quãng đường xe máy bằng quãng đường ô tô, nên ta có phương trình: 40.(x + 1) = 52x 40x + 40 = 52x 12x = 40 x = 10 3 (giờ). Điền đáp án: x = 10 3 Câu 7. [VD] Nhà bạn Lan có một mảnh vườn trồng rau bắp cải. Vườn được đánh thành nhiều luống, số cây bắp cải trồng ở mỗi luống là như nhau. Biết rằng, nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây rau của cả vườn sẽ ít đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống nhưng mỗi luống thêm 2 cây rau thì số cây rau cả vườn sẽ tăng thêm32 cây. Hỏi vườn nhà Lan đã trồng có bao nhiêu cây bắp cải. Đáp án :750 Lời giải : Gọi x là số luống rau ,*x , y là số cây bắp cải trên 1 luống,*y Theo bài ta có :( )( ) ( )( ) 8 3 54 3 8 30 50 2 4 10 154 2 32 x y xy x y x x y yx y xy + − = − − + = − = − = =− + = + (thỏa mãn đk) Vườn nhà Lan trồng50.15 750= (cây bắp cải) Câu 8. [VD] Biết hệ phương trình( ) 9 2 (2 1) 5 ax by a x b y + = − + + = có nghiệm là( )3; 1− . Tính giá trị của biểu thức3 4P a b= − Đáp án Hệ phương trình( ) 9 2 (2 1) 5 ax by a x b y + = − + + = có nghiệm( )3; 1− nên ta có( ) 3a 9 2 3 (2 1) 5 b a b − = − − + = (1) Giải hệ (1) ta được a = 2, b = -3 Thay a = 2, b = -3 vào biểu thức P ta được P = 3.2 – 4.(-3) = 18
35 Câu 9. <TH> Nghiệm tổng quát của phương trình1 2 1 2 x y− = − là1 2 x y ax = + . Khi đó giá trị của hệ sốa bằng bao nhiêu? Hướng dẫn giải Ta có :1 2 1 2 x y− = − Suy ra :1 1 4 2 y x= + Do đó giá trị của hệ sốa bằng0, 25 . Câu 10.<TH> Nghiệm tổng quát của phương trình3 4x y− = là4 y x ay = + . Khi đó giá trị của hệ sốa bằng bao nhiêu? Hướng dẫn giải Ta có :3 4x y− = Suy ra :4 3x y= + Do đó giá trị của hệ sốa bằng3 . Câu 11.<TH> Nghiệm tổng quát của phương trình2 5 7x y+ = làx y ax b = + . Khi đó giá trị của hệ sốa bằng bao nhiêu? Hướng dẫn giải Ta có :2 5 7x y+ = Suy ra :2 7 0, 4 1, 4 5 5 y x x − = + = − + Do đó giá trị của hệ sốa bằng0, 4− . Câu 12.<TH> Nghiệm tổng quát của phương trình2 5 7x y+ = làx y ax b = + . Khi đó hiệua b− bằng bao nhiêu? Hướng dẫn giải Ta có :2 5 7x y+ = Suy ra :2 7 0, 4 1, 4 5 5 y x x − = + = − + Do đó0, 4 1, 4 1,8a b− = − − = − . Câu 13.<TH> Nghiệm tổng quát của phương trình2 4x y− = làx y ax b = + . Khi đó tích.a b bằng bao nhiêu?
36 Hướng dẫn giải Ta có :2 4x y− = Suy ra :2 4y x= − Do đó:( ). 2. 4 8a b = − = − . Câu 14.<TH> Cho hệ phương trình2 2 3 x y ax y + = − − = . Điều kiện của tham số a để hệ phương trình vô nghiệm là bao nhiêu? Hướng dẫn giải Cộng từng vế hai phương trình ta được (2 + a)x = 1 Để hệ phương trình đã cho vô nghiệm thì phương trình (2 + a)x = 1 phải vô nghiệm Suy ra 2 + a = 0 nên a = - 2. Câu 15. <TH> Toạ độ giao điểm của đường thẳng (d1) : - x + y = 2 và đường thẳng (d2): y = 3x – 4 là bao nhiêu? Hướng dẫn giải Ta đi giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn2 3 4 = − − + = y y x x hay3 4 2− + = − =y x y x Suy ra tọa độ giao điểm của đường thẳng( )1d và đường thẳng( )2d là( )3;5 Câu 16.<TH> Cho hệ phương trình4 5 3 3 5. x y x y . Nghiệm của hệ phương trình đã cho là bao nhiêu? Hướng dẫn giải Ta đi giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn4 5 3 3 5. x y x y Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2; - 1). Câu 17.<TH> Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 100 m. Biết rằng5 lần chiều rộng hơn2 lần chiều dài là40 m. Khi đó chiều dài của mảnh đất là bao nhiêu? Hướng dẫn giải Gọix (m) là chiều dài hình chữ nhật (0x )y (m) là chiều rộng hình chữ nhật (0y ,m ) Theo đề bài ta có hệ phương trình:50 5 2 40 x y y x Giải hệ phương trình ta được:30 20 x y ( TMĐK) Vậy chiều dài hình chữ nhật là30 m.
37 Câu 18.<TH> Đường thẳng 2ax + y = - 3 đi qua điểm A(1 ; -1) có hệ số góc là bao nhiêu? Hướng dẫn giải Vì đường thẳng 2ax + y = - 3 đi qua điểm A(1 ; -1) nên ta có 2a.1 – 1 = - 3 Suy ra a = - 1 Vậy hệ số góc của đường thẳng2 3 ax y+ = − đi qua điểm( )1; 1 A − là2.1 2= Câu 19.<VD> Tìmb để đường thẳngy = ax + b đi qua hai điểm( )A 2; 1 và( )B -2; -3 Hướng dẫn giải Đường thẳngy = ax + b đi qua điểm( )A 2; 1 nên 2a + b = 1 Tương tự đường thẳngy = ax + b đi qua điểm( )B -2; -3 nên -2a + b = -3 Từ đó ta có hệ phương trình với hai ẩn là a và b:2a + b = 1 -2a + b = -3 Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được2b = -2 , suy rab = -1 Kết quả: -1 Câu 20.<VD> Tìm hệ sốx trong phản ứng hoá học đã được cân bằng sau:2 2 54P + xO yP O→ Hướng dẫn giải Vì số nguyên tử của P và O ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình4 = 2y y = 2 hay 2x = 5y x = 5 Kết quả: 5 Câu 21. <VD> Một ca nô đi bếnA cách bếnB với vận tốc xuôi dòng40 km/giờ, lúc từB vềA ca nô đi với vận tốc ngược dòng30 km/giờ. Vận tốc của dòng nước là bao nhiêu km/giờ ? Hướng dẫn giải Vì vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực của ca nô + vận tốc dòng nước vận tốc ngược dòng = vận tốc thực của ca nô - vận tốc dòng nước Nên vận tốc dòng nước =( )40 - 30 : 2 = 5 km/giờ Kết quả: 5 Câu 22.<VD> Trong tháng đầu hai tổ sản xuất được800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổI vượt mức15% , tổII vượt mức20% do đó cuối tháng hai tổ sản xuất được945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu tổI sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy ? Hướng dẫn giải Gọi số chi tiết máy mà tổI , tổII sản xuất được trong tháng đầu lần lượt là x, y (chi tiết máy);* x, y N ; x < 800, y < 800
38 Số chi tiết máy mà tổI sản xuất được trong tháng hai là( )100% + 15% x = 1,15x (chi tiết máy) Số chi tiết máy mà tổII sản xuất được trong tháng hai là( )100% + 20% y = 1,2y (chi tiết máy) Theo bài ta có hệ phương trình: x + y = 800 x = 300 hay y = 5001,15 x + 1,2y = 945 (thoả mãn điều kiện) Vậy số chi tiết máy mà tổI sản xuất được trong tháng đầu là300 chi tiết máy Kết quả: 300 Câu 23. <VND> Khi pha chếx mililít dung dịch acid HCl nồng độ20% vày mililít dung dịch acidHCl nồng độ10% thì được2 lít dung dịch acidHCl nồng độ12% . Khi đóx bằng bao nhiêu mililít ? Hướng dẫn giải Áp dụng một số công thức hoá học sau:ct dd dd m m = D.V; C% = .100% m Khối lượng riêng của dung dịchHCl là3 1,49 g/cm Đổi2l = 2000ml Khối lượng mol của a) Thể tích của dung dịchHCl12% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu là2 lít nên ta có phương trình:x + y = 2000 (ml) ;( )x < 2000, y < 2000 Tổng số gamHCl nguyên chất sau pha là:1,49. 20% x + 1,49. 10% y = 1,49. 2000. 12% hay 2x + y = 2400 Khi đó ta có hệ phương trình:x + y = 2000 x = 400 hay 2x + y = 2400 y = 1600 (thoả mãn điều kiện) Đáp số: 400. 4. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1. Hệ phương trình nào sau đây vô nghiệm ? A.2 5 1 3 2 x y x y − = − + = B.2 5 1 3 2 x y x y − = + = C.2 5 1 5 2 2 x y x y − = − + = − D.2 5 1 3 2 x y x y − = − − = Câu 2. Hệ phương trình4 0 x y x y + = − =
39 A. Có vô số nghiệm B. Vô nghiệm. C. Có nghiệm duy nhất. D. Đáp án khác Câu 3. Tập nghiệm của phương trình2 0 5x y+ = được biểu diễn bỡi A. đường thẳng2 5y x= − B. đường thẳng5 2 y = . C. đường thẳng5 2y x= − D. đường thẳng5 2 x = Câu 4. Tìm nghiệm của hệ phương trình sau:1 3 2 2 1 2 4 3 2 1 x y x y + = + + = + A.2 1; 3 . B.1 2; 2 . C.1 ;2 2 . D.2 ;1 3 . Câu 5. Cho hệ phương trình2 (2 ) mx y m x y m − = − + = Với điều kiện nào của m thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất( ; )x y thỏa mãn x > 0 ; y > 0 A.5 2m− − B.1 5m − + C.1 5m − − D.2m − Câu 6. Cho hệ phương trình với tham số m:( 1) 1 ( 1) 2 m x y m x a y + − = + + − = Tìm các giá trị nguyên của m để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn điều kiệnx y+ nhỏ nhất. A.1m = − B.2m = − C.3m = − D.4m = − Câu 7. Cho phương trình2 3 300x y+ = . Phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên dương ? A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 Câu 8. Cho hệ phương trình3(1) 2 2(2) ax y x y + = − = Gọi1 2( ),( )D D lần lượt là các đường thẳng có phương trình (1) và (2). Tìm a để1 2( ),( )D D cắt nhau tại điểm có tọa độ (2;0) A.1 2 B.1 C.3 2 D.2
40 Câu 9. Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm:2 1 x my m x my m + = + = + A.0 1 m m B.1m C.0 1 m m − D.0 1 m m Câu 10. Cho hệ phương trình:6 (2 ) 8 ( 1) 2 mx m y m x my + − = − − = . Tìm m để hệ đã cho có vô số nghiệm A. Không có giá trị m B.2 3 m = − C.4m = D.1 2 m = Câu 11. Cho hệ phương trình:1 2 x my mx y m + = + = Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) sao chox y+ đạt giá trị nguyên nhỏ nhất. A.1m = B.3m = C.5m = D.0m = Câu 12. Xác định tham số m để hệ phương trình4 2 3 2 1 mx y m x y m + = + + = − có vô số nghiệm A. Không có giá trị m B.8m = C.1m = D.5m = Câu 13. Cho hệ phương trình:( )1 3m x y mx y m + − = + = . Tìmm để hệ có nghiệm duy nhất sao cho tổngx y+ dương. A.1 2 m − B.1 2 m − C.1 2 m − D.1m Câu 14. Tìm giá trị của0m sao cho hệ phương trình2 3 5 mx y x my − = + = có nghiệm thỏa mãn hệ thức2 3 . 3 x y m + = + A.4 6 B.3 4 C.4 7 D.4 9
41 Câu 15. Tìm giá trị củam sao cho hệ phương trình( ) 1 4 1 4 mx y x m y m − = + + = có nghiệm nguyên A.1 1 m m = − = B. 1;0m − C.1m = D.0 1 m m = = − Câu 16. Cho hệ phương trình:2 4 6 mx y m x my m − = − = + Với lần lượt các giá trị nào củam thì hệ vô nghiệm và hệ vô số nghiệm? A.2; 2m m= − = B.1; 2m m= − = C.2; 1m m= = − D.2; 2m m= = − Câu 17. Cho hệ phương trình:4 9 8 mx y x my + = + = . Với giá trị nào củam để hệ có nghiệm duy nhất( );x y thỏa mãn hệ thức:2 38 2 3 4 x y m + + = − A.23 1; 3 m B.2m = C.1m = D.23 3 m = Câu 18. Cho hệ phương trình3 3 3 6 x y x y + = − = . Xác địnha để hệ vô nghiệm? A.1 3 − B.1− C.1 D.x y− Câu 19. Tỉ số của hai số là7 : 2 . Nếu giảm số lớn đi150 và tăng số nhỏ lên200 thì tỉ số mới là11: 8 . Tìm hai số đó. A.777;222 B.1400;400 C.700;200 D.77;22 Câu 20. Hai công nhân cùng làm một công việc trong20h thì xong. Nếu người thứ nhất làm5h , người thứ hai làm7h thì được30% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu? A. Người thứ nhất:40 .h Người thứ hai:40h B. Người thứ nhất:40 .h Người thứ hai:30h C. Người thứ nhất:30 .h Người thứ hai:30h D. Người thứ nhất:30 .h Người thứ hai:40h
42 Câu 21. Hai vòi cùng chảy vào bể không có nước thì sau2h sẽ đầy bể. Nếu mở vời1 chảy trong15 phút rồi khóa lại và mở vòi thứ hai chảy trong10 phút thì được1 9 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng sau bao lâu sẽ đầy bể? A. Vòi thứ nhất:40h . Vòi thứ hai:40h B. Vòi thứ nhất:40h . Vòi thứ hai:30h C. Vòi thứ nhất:30h . Vòi thứ hai:30h D. Vòi thứ nhất:30h . Vòi thứ hai:40h Câu 22. Một ca nô chạy trên sông trong6h xuôi dòng được30km và ngược dòng được125km . Một lần khác, ca nô chạy trên sông trong8h xuôi dòng được60km và ngược dòng được150km . Tính vận tốc khi ngược dòng của ca nô và vận tốc dòng nước. A.25 / ;2,5 /km h km h B.5 / ;25 /km h km h C.30 / ;6 /km h km h D.6 / ;30 /km h km h Câu 23. Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong8h . Sau2h làm chung thì tổ một được điều đi làm việc nơi khác, tổ hai phải làm tiếp tục trong12h để hoàn thành công việc còn lại. Hỏi nếu làm riêng, thì mỗi tổ phải làm trong bao lâu thì hoàn thành công việc. A.12 ;14h h B.16 ;16h h C.15 ;15h h D.13 / ;17 /km h km h Câu 24. Một ô tô đi từ Hà Nội và dự định đến Huế lúc12h trưa. Nếu xe đi với vận tốc50 /km h thì sẽ đến Huế chậm hơn dự định là2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc là90 /km h thì sẽ đến nơi sớm hơn dự định là2 giờ. Tính độ dài quãng đường từ Hà Nội đến Huế và thời điểm xuất phát. A.460 ;4km h sáng B.400 ;5km h sáng C.400 ;4km h sáng D.450 ;5km h sáng CHỦ ĐỀ 3. BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘ T ẨN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Bất đẳng thức Bất đẳng thức: a>b hoặc a-b>0 Tính chất: a, b thuộc R thì ta có: Nếu a > b thì b < a Nếu a > b và b > c thì a > c Các phép toán: a > b a+c > b+c a > b a-c > b-c Hệ quả: a+c > b a > b-c a > b a+c > b+d
43 c > d + a > b a.c > b.c (nếu c>0) + a > b a.c < b.c (nếu c<0) Nếu a>b>0 và c>d>0 thì a.c>b.d Một vài bất đẳng thức quen thuộc Bình phương của một số là một số không âm Với mọi A => A2 ≥ 0 Đặc biệt (a + b)2 ≥ 0 (a - b)2 ≥ 0 Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Cho hai số a ≥ 0, b ≥ 0. Bất đẳng thức Cô-si được viết dưới các dạng a + b ≥ 2ab (1) a2 + b2 ≥ 2ab (2) (a + b)2 ≥ 4ab(3) Dấu “=” xảy ra khi a = b 2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình mà sau khi đã thực hiện các phép biến đổi và rút gọn cuối cùng ta đưa về dạng: ax +b > 0 (a ≠ 0) hoặc ax + b < 0 (a ≠ 0) B. BÀI TẬP 1. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN Câu 1. [NB] Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn ? A.2 21− x y B.2 1 < 0x − C.0. 2023 0+ x D.( )2 1 5− x x Đáp án: B Bất phương trình dạng0ax b+ (hoặc0ax b+ ,0ax b+ ,0ax b+ ) trong đóa vàb là hai số đã cho,0a , gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Nên2 1 < 0x − là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Câu 2. [NB] Bất phương trình nào sau đây không là bất phương trình bậc nhất một ẩn A.2 5 15 0x − B.5 > 0x− C.2 19 0x + D.11 - 5 0x Đáp án: A Ta thấy bất phương trình ở các đáp án B, C, D đều có dạng của bất phương trình bậc nhất một ẩn. Còn đáp án A là bất phương trình bậc 2, có2 5x . Do đó đáp án A không là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Câu 3. [NB] Bất phương trình2 6 1x + có nghiệm là: A.5 2 x B.5 2 x C.5 2 x − D.5 2 x Đáp án: C Ta có:2 6 1x + 2 1 6x −
442 5x −5 2 x − Vậy nghiệm của bất phương trình là5 2 x − Câu 4. [NB] Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn A.0 2 1 7 − y B.yy 210 − C.1 4 3 − yx D.8.04 + y Đáp án: B Bất phương trình dạng0ax b+ (hoặc0ax b+ ,0ax b+ ,0ax b+ ) trong đóa vàb là hai số đã cho,0a , gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Nênyy 210 − hay3 10 0y − là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Câu 5. [TH]3x là nghiệm của bất phương trình nào sau đây? A.6 29 0x − B.11 52 0x − C.2 19 0x + D.2 6 0x − Đáp án: D Bất phương trình6 29 0x − có nghiệm là29 6 x Bất phương trình11 52 0x − có nghiệm là52 11 x Bất phương trình2 19 0x + có nghiệm là19 2 x − Bất phương trình2 6 0x − có nghiệm là3x Câu 6. [TH] Bất phương trình3 5 4 2x x− + có nghiệm là: A.x > -7 B.x < 7 C.x < -7 D.x -7 Đáp án: C Ta có3 5 4 2x x− +3 4 2 5x x− +7x − Vậy nghiệm của bất phương trình là7x − Câu 7. [NB] Cho biết5 5a b− − , các bất đẳng thức nào sau đây đúng? A.a b B.5 5a b C.a b− − D.5 3 5 3a b− − Đáp án: D. Ta có:5 5a b− −5 .( 1) 5 .( 1)a b− − − − (liên hệ giữa thứ tự và phép nhân,1 0− )5 3 5 3a b− − Vậy khẳng định5 3 5 3a b− − là khẳng định đúng. Câu 8. [TH] Nếu2 2a c b c+ + thì bất đẳng thức nào sau đây đúng ? A.3 3a b− − B.2 2 a b C.2 2a b D.1 1 a b Đáp án: C
45 Ta có:2 2a c b c+ +a b (liên hệ giữa thứ tự và phép cộng)2 2a b (liên hệ giữa thứ tự và phép nhân) Câu 9. [TH] Cho biếta b , bất đẳng thức nào sau đây đúng? A.2 1 2 2a b+ + B.5 1 5 2a b+ + C.a b− − D.2 3 2 5a b− − Đáp án: A Ta cóa b2 2a b (liên hệ giữa thứ tự và phép nhân)2 1 2 1a b+ + (liên hệ giữa thứ tự và phép cộng)(1) Lại có0 10 2 1 1 2 1b b+ + + + (liên hệ giữa thứ tự và phép cộng)2 1 2 2b b+ + (2) Từ (1) và (2) suy ra2 1 2 2a b+ + Câu 10. [TH] ) Biết4 3a a . Khẳng định nào đúng? A.0a B.0a C.0a D.0a Đáp án: D Ta có4 3a a4 3 3 3a a a a− − (liên hệ giữa thứ tự và phép cộng)0a Cho biếta b . Khi đó ta có A.3 3 3a b− − − B.2 2 1a b + C.2 3a b D.5 1 5 1a b+ + Đáp án: B Ta có:a b5 5a b (liên hệ giữa thứ tự và phép nhân)5 1 5 1a b+ + (liên hệ giữa thứ tự và phép cộng) Câu 11. [TH] Cho1a b khẳng định sai là A.3( 1) 3( 1)a b− − − − B.3( 1) 3( 1)a b− − C.3(1 ) 3(1 )a b− − − − D.3(1 ) 3(1 )a b− − Đáp án: B Ta có:1a b 1 1a b− − (liên hệ giữa thứ tự và phép cộng)3( 1) 3( 1)a b− − (liên hệ giữa thứ tự và phép nhân) Vậy khẳng định3( 1) 3( 1)a b− − là sai Câu 13. [VD] Phương trìnhx -3 x +1 x + 7 + -1 11 3 9 có nghiệm là: A.-28 x > 31 B.3 x > 11 C.-1 x > 3 D.-7 x > 9 Đáp án: A
46 Ta có:x -3 x +1 x + 7 + -1 11 3 9 27x -81+ 99x + 99 > 33x + 231- 29793 84x −-28 x > 31 Vậy nghiệm của bất phương trình là-28 x > 31 2. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI Câu 1. Cho bất phương trình15 3 2 35 (*)x x+ − − . a) [NB] Bất phương trình (*) là bất phương trình bậc nhất một ẩn b) [TH] Biển đổi cả 2 vế của bất phương trình ta được5 50x − c) [TH] Nhân cả 2 vế của bất phương trình với1− ta được15 3 2 35x x− − + d) [VD] Bất phương trình (*) có nghiệm10x − Đáp án a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng a) Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng: ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0) trong đó a, b là hai số đã cho, a ≠ 0. Bất phương trình (*) không là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Chọn S b) Biển đổi cả 2 vế của bất phương trình ta được5 50x − . Chọn Đ c) Nhân cả 2 vế của bất phương trình với1− ta được15 3 2 35x x− − + . Chọn S d) Bất phương trình (*) có nghiệm10x − . Chọn Đ Câu 2. Nếua b thì : a)3a 1 3b 1− − − − b)( ) ( )3 a 1 3 b 1− − − − c)( ) ( )3 a 1 3 b 1− − − − d)( ) ( )3 a 1 3 b 1− − Đáp án: a) S b) Đ c) S d) S + Với a > b, nhân cả hai vế của bất đẳng thức với -3 ta được -3a < -3b. Tiếp tục cộng hai vế của bất đẳng thức với -1 ta được -3a - 1 < -3b - 1 nên A sai. + Vì a > b ⇔ a - 1 > b - 1 ⇔ -3(a - 1) < -3(b - 1) nên B đúng, C sai + Vì a > b ⇔ a - 1 > b - 1 ⇔ 3(a - 1) > 3(b - 1) nên D sai. Câu 3: Xét các số nguyên dương,a b thoả mãn:2a b( )1 a) [NB]( )1 không phải là một bất đẳng thức. b) [TH] Từ( )1 suy ra2 3 4 3a b− + − + . b) [TH] Khi3b thì8a . d) [VD] Choa là số nhỏ hơn5 . Khi đó có đúng5 cặp( );a b thoả mãn( )1 . Đáp án
47 a) Sai b) Sai c) Đúng d) Sai a.( )1 là một bất đẳng thức. Chọn Sai b. Từ( )1 suy ra2 4a b− − Khi đó2 3 4 3a b− + − + . Chọn Sai c. Với3,b b + thì4b , nên2 8b . Mà2a b nên8a . Chọn Đúng d. Với5,a a + thì1 4a . Mà2 2a b nên 2;3; 4a . + Nếu2a = thì2 2 1 , 1b b b b+ = . + Nếu3a = thì3 3 2 , 1 2 b b b b+ = . + Nếu4a = thì 4 2 2 , 1; 2b b b b+ . Vậy có4 cặp( );a b thoả mãn( )1 . Chọn Sai 3. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN Câu 1. [VD] Nghiệm của bất phương trìnhx 2 x 1 x 3 2 − − − làx .... Đáp án: -7x 2 x 1 x 3 2 − − −x 2 x 1 x 0 3 2 − − − + ( ) ( )2 x 2 6x 3 x 1 0 − − + − 2x 4 6x 3x 3 0 − − + − x 7 0 − − x 7 − Câu 2. [VD] Nghiệm của bất phương trình2 x(x 2) x (x 1)− + − làx .... Đáp án: 12 2 2 x(x 2) x (x 1) x 2x x x 2x 1 x 1 − + − − + − + Câu 3. [VD] Cho bất phương trình( ) 1 1 1 2 (2 ) 2 3 x x− − − , nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình trên là………….. Đáp án: 2 Câu 4. [VDC] Cho3 2 3 2 3 2M a b c b c a c a b= + + + + + + + + với0; 0; 0; 3a b c a b c + + = . Giá trị lớn nhất của M2 là:… Đáp án: 54
48 Theo BĐT Cauchy:6 (3 2 ) 3 2 3 2 . 6 3 2 2 a b c a b c a b c + + + + + + + = + Tương tự6 (3 2 ) 3 2 3 2 . 6 3 2 2 b c a b c a b c a + + + + + + + = + Và6 (3 2 ) 3 2 3 2 . 6 3 2 2 c a b c a b c a b + + + + + + + = + Nên3 2 3 2 3 2 6( 3 2 . 3 2 3 2 ) 9 2 a b c b c a c a b a b c b c a c a b + + + + + + + + + + + + + + + + +9 3( ) 3 2 . 3 2 3 2 3 6 6 a b c a b c b c a c a b + + + + + + + + + + + =3 6MaxM = Vậy GTLN của M là3 6 khi1a b c= = = . Suy ra2 max 54M = . Câu 5. [VD] Tổng các giá trị nguyên của x nhỏ hơn 10 là nghiệm của bất phươngtrình( ) 1 4 3 5 5x 1 2 x x x − − + − + là? Đáp án: 44( ) 1 4 3 5 5x 1 2 x x x − − + − + suy ra -2 < x < 10. Tổng các giá trị nguyên của x là 44 Câu 6. [VDC] . Cho các số thựca, b,c thỏa mãn:0 a, b,c 2 vàa b c 3+ + = . Giá trị lớn nhất của3 3 3 P a b c= + + là…. Đáp án: 9 Giả sửc là số lớn nhất trong 3 sốa, b,c suy raa b c 3c c 1+ + , kết hợp với điều kiện đề bài ta suy ra1 c 2 . Ta có:( ) ( ) 3 33 3 a b a b 3 c+ + = −( ) ( )( ) 3 3 2 P 3 c c 27 27c 9c 9 c 1 c 2 9 = − + = − + = − − + . Do1 c 2 nên( )( )9 c 1 c 2 0− − suy raP 9 , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia, b,c là hoán vị của bộ số( )0;1; 2 . 4. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Mẹ cho Mai 50000 đồng để mua bút và sách tham khảo Toán. Mai dự định mua một quyển sách tham khảo Toán có giá là 25000 đồng và một số cây bút có giá là 3000 đồng/ cây. Hỏi bạn Mai có thể mua được tối đa bao nhiêu cây bút? Bài 2. Bạn Anh có số tiền không vượt quá 700 000 đồng, gồm có 10 tờ tiền với các mệnh giá 100 000 đồng và 50 000 đồng. Hỏi bạn Anh có ít nhất bao nhiêu tờ tiền mệnh giá 50 000 đồng? Bài 3. Một ngân hàng đang áp dụng mức lãi suất gửi tiết kiệm với kì hạn một tháng là 0, 7% mỗi tháng. Hỏi bác An muốn có số tiền lãi hằng tháng ít nhất là 2 triệu đồng thì
49 số tiền cần gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu (đơn vị triệu đồng, làm tròn đến hàng đơn vị)? Bài 4. Để được xét tuyển vào lớp 10 chuyên của một trường THPT, mỗi thí sinh phải tham gia thi 4 môn: Ngữ văn, Toán, Tiếng Anh và môn Chuyên. Điểm thi các môn Ngữ văn, Toán, Tiếng Anh được tính hệ số 1, điểm môn Chuyên được tính hệ số 2. Một học sinh đạt điểm 3 môn Ngữ văn, Toán, Tiếng Anh lần lượt là: 7,5; 9,0; 8,5. Hỏi học sinh đó phải đạt điểm môn Chuyên ít nhất là bao nhiêu để có tổng điểm xét tuyển tối thiểu là 42? Bài 5. Một doanh nghiệp sản xuất giày da có tổng chi phí hằng tháng là 550 triệu đồng. Giá bán của mỗi đôi giày là 450 nghìn đồng. Hỏi trung bình doanh nghiệp phải bán được ít nhất bao nhiêu đôi giày mỗi tháng để thu được lợi nhuận ít nhất 1,2 tỉ đồng sau một năm? Bài 6. Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn 12 tháng là 5,2% một năm. a) Anh Tâm gửi 500 triệu vào ngân hàng này với lãi suất như trên. Hỏi sau một năm tổng số tiền anh Tâm nhận được là bao nhiêu? b) Chị Hân dự kiến gửi một khoản tiền vào ngân hàng này với lãi suất như trên và mong muốn sau một năm sẽ nhận được tiền lãi ít nhất là 50 triệu để chi tiêu. Hỏi số tiền chị Hân cần gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)? Bài 7. Mỗi bạn dự tuyển sẽ được ném 20 quả bóng vào rổ. Mỗi quả bóng ném vào rổ được cộng 3 điểm; mỗi quả bóng ném ra ngoài bị trừ 2 điểm. Nếu bạn nào có số điểm từ 20 điểm trở lên thì sẽ được chọn vào đội tuyển. Hỏi một học sinh muốn được chọn vào đội tuyển thì phải ném ít nhất bao nhiêu quả bóng vào rổ? Bài 8. Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn 3 tháng là 0,6%/tháng. Hỏi nếu muốn có số tiền lãi sau 3 tháng ít nhất là 9 triệu đồng thì số tiền gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu triệu đồng? Bài 9. Người ta dùng một loại xe tải để vận chuyển sữa tươi cho một nhà máy. Biết mỗi thùng sữa nặng trung bình 10 kg. Theo khuyến nghị, trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là 5,25 tấn. Hỏi xe đó có thể chở được tối đa bao nhiêu thùng sữa như vậy, biết bác lái xe nặng 65 kg? Bài 10. Một hãng taxi có giá mở cửa là 15 nghìn đồng cho 0,5 km đầu tiên và giá 12 nghìn đồng cho mỗi kilômét tiếp theo. Hỏi với 200 nghìn đồng thì cô Nga có thể di chuyển bằng taxi đến địa điểm cách nhà 18 km không? CHỦ ĐỀ 4: TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN. MỘ T SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG. I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
50 1. Khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn Tam giác ABC vuông tại A cóB = là góc nhọn 0 0 0 90 • AC cạnh đối của góc α • AB cạnh kề của góc α Các tỉ số lượng giác của góc nhọn α Công thức Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α. Kí hiệu là sin α 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑐𝑎̣𝑛ℎ đô ́𝑖 𝑐𝑎̣𝑛ℎ ℎ𝑢𝑦ê ̀𝑛 Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α. Kí hiệu cosα côs 𝛼 = 𝑐𝑎̣ 𝑛ℎ đô ́𝑖 𝑐𝑎̣ 𝑛ℎ ℎ𝑢𝑦ê ̀𝑛 Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α. Kí hiệu là tan α 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑐𝑎̣𝑛ℎ đô ́𝑖 𝑐𝑎̣𝑛ℎ ℎ𝑢𝑦ê ̀𝑛 Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α. Kí hiệu cot α 𝑐𝑜𝑡𝛼 = 𝑐𝑎̣𝑛ℎ đô ́𝑖 𝑐𝑎̣𝑛ℎ ℎ𝑢𝑦ê ̀𝑛 Lưu ý : +1 cot tan = +sin , cos , tan ,cot gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn . + Các tỉ số lượng giác của góc nhọn luôn dương. +sin 1;cos 1 vì trong tam giác vuông cạnh huyền có độ dài lớn nhất. 2. Bảng các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:α C B A cạnh huyền cạnh đối của α cạnh kề của α
51 3. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau * Định lý : Nếu hai góc phụ nhau thì + sin góc này bằng cos góc kia + tan góc này bằng cot góc kia. * Cụ thể : + = 0 90 , khi đó:sin cos sin cos tan cot cot tan = = = = 4. Mộ số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông * Định lý : + Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề. + Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc nhân với cot góc kề..sin .cos .sin .cos b a B a C c a C a B = = = =.tan .cot .tan .cot b c B a C c b C b B = = = = 5. Giải tam giác vuông Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai cạnh ( hoặc một góc nhọn và một cạnh) thì ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác vuông đó. Bài toán này gọi là bài toán Giải tam giác vuông. Trong đo đạc, khi người quan sát có hướng nhìn ngang theo tiaOx (hình bên) + GócxOA gọi là góc nghiêng lên hay góc nâng + GócxOB gọi là góc nghiêng xuống hay góc hạ. 6. Một số hệ thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác của góc nhọn. +2 2 sin cot 1. + = +sin tan cos = vàcos cot sin = suy ratan .cot 1 = +2 2 2 2 1 1 1 tan ; 1 cot cos sin + = + =
52 A. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN Câu 1. <NB>ChoABC vuông tạiA có3 ; 4AB cm AC cm= = . Khi đó khẳng định sai là A.4 5 sinB = B.3 5 cosB = C.3 tan 4 C = D.3 cot 5 B = Câu 2. <NB> Hệ thức nào sau đây sai? A.0 0 sin 38 cos52= B.0 0 cos 42 sin 48= . C.0 0 tan 50 40cot= D.0 0 20 tan80cot = . Câu 3. <NB> ChoABC vuông tạiA có8 , 6BC cm AC cm= = . Tính tỉ số lượng giáctan C (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2). A.tan 0,87C . B.tan 0,86C . C.tan 0,88C . D.tan 0,89C Câu 4. < NB> ChoABC vuông tạiA , khẳng định nào sau đây đúng? A.sinB cosC= . B.( )0 90cosB sin B= − C.tan sinB B cosB = . D. Cả A, B, C đều đúng Câu 5. < NB> Cho tam giácABC vuông tạiA , đường caoAH . Khi đó,sin B không bằng A.AH AB B.cosC C.AC BC . D.AH BC . Câu 6.<NB> ChoABC vuông tại 𝐴. Hệ thức nào sau đây là đúng? A..cosAB BC C= B..tanAB AC B= C..sinAB BC C= D..cotAB AC C= Câu 7.<NB> ChoMNP vuông tạiN . Hệ thức nào sau đây là đúng? A..cosNP MP P= . B..cosNP MN P= . C..tanNP MN P= . D..cotNP MP P= . Câu 8.<NB> ChoABC vuông tạiA cóBC = a; AC = b; AB = c . Hệ thức nào dưới đây sai? A. 𝑏 = a. sin 𝐵 = 𝑎 . côs 𝐶 B. a = c. tan 𝐵 = 𝑐 . côt 𝐶 C. 𝑎2 = 𝑏2 +𝑐2 D. 𝑐 = a. sin 𝐶 = 𝑎 . côs 𝐵 Câu 9.<NB> ChoABC vuông tạiA có, , , 50BC a AC b AB c ABC= = = = . Chọn khẳng định đúng? A..sin 50b c= . B..tan 50b a= . C..cot 50b c= . D..cot 50c b= . Câu 10.<NB> ChoMNP vuông tại 𝑃 có 𝑀𝑃 = 𝑎;0 32N = . Khi đó 𝑃𝑁 bằng: A.0 .sin 32PN a= B.0 .cos32PN a=
53 C.0 .cot 32PN a= D.0 .tan 32PN a= Câu 11.<TH> Cho tam giácABC vuông tạiA có5 cmAB = ,12 cmAC = và13 cmBC = . Khi đó tỉ số lượng giácsin B có giá trị bằng: A.5 12 B.1 13 C.12 13 D.5 13 Câu 12. <TH> Cho tam giácABC vuông tạiA có30ACB = , cạnh5 cmAB = . Độ dài cạnhAC bằng: A.10 cm 3 B.5 cm 3 C.5 3 cm D.5 2 cm 2 Câu 13. <TH> Cho tam giácABC vuông tạiA có10 cmBC = ,6 cmAC = . Tính tỉ số lượng giáctan C . A.0,75 B.0,76 C.0,77 D.0,78 Câu 14. <TH> Cho tam giácABC cân tạiA có120BAC = ,12 cmBC = . Tính độ dài đường caoAH . A.3 3 cmAH = . B.2 3 cmAH = . C.4 3 cmAH = . D.3 cmAH = Câu 15. <TH> Khẳng định nào sau đây SAI? A.cos35 sin 40 B.sin 35 cos40 C.sin 35 sin 40 D.cos35 cos40 Câu 16.<TH> Cho tam giácABC vuông tạiA (hình vẽ) có3AB cm= ,5BC cm= . Số đo gócB (làm tròn đến phút) bằng: A.53O B = B.53 7'O B = C.54O B = D.53 7'38"O B = Câu 17.<TH> ChoABC . Biết6AC cm= ,8AB cm==BC cm10 . Tính các tỉ số lượng giác của gócC . A.4 sin 5 C = ;3 cos 5 C = ;4 tan 3 C = ;3 cot 4 C = . B.3 sin 5 C = ;4 cos 5 C = ;3 tan 4 C = ;5 cot 4 C = . C.4 sin 3 C = ;3 cos 5 C = ;4 tan 5 C = ;3 cot 5 C = . D.3 sin 4 C = ;4 cos 5 C = ;5 tan 4 C = ;4 cot 5 C = .
54 Câu 18. <TH> ChoABC vuông tạiA , đường caoAH có15AC cm= ,6CH cm= . Tính tỉ số lượng giáccos B ? A.5 cos B = 21 B.21 cos B = 5 C.3 cos B = 5 D.2 cos B = 5 Câu 19. <TH> Cho hình vẽ 1. Hệ thức nào dưới đây đúng? A.sinHC BC B= B.cosHC BC B= C.tanHC BC B= D.cotHC BC B= Câu 20. <TH> Cho hình vẽ 1. Hệ thức nào dưới đây đúng? A..cosAB AD B= B..sinAB AD B= C.sin AD AB B = D.cos AD AB B = Câu 21. <TH> Cho hình vẽ 1. Hệ thức nào dưới đây đúng? A..tanBD AD B= B..sinBD AB B= C..cosBD AB B= D.cot HC HB B = Câu 22. <TH> Cho hình vẽ 1. Hệ thức nào dưới đây sai? A..tanBH BC B= B..cosBH HC B= C.tan BH BC B = D.AB AD BC CH = Câu 23.<TH> Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a không đổi, = C 0 0 (0 90 ) .Công thức tính diện tích tam giác ABC theo a và A.21 sin .cos 2 a B.2 sin .cosa C.2 2 sin .cosa D.2 3 sin .cosa Câu 24. <TH> Cho tam giác DEF nhọn. Đường cao EI. Chọn khẳng định sai: A..sinEI DE D= B..cosEI DE DEI= C..sinEI EF F= D..cosEI EF E= Câu 15. <TH> Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Chọn khẳng định đúng: A..cos .cosAB B AC C= B..sin .sinAB B AC C= C..sin .cosAB B AB B= D..sin .cosAC C AC C= B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có3AB cm= ,5BC cm= . a) <NB>5 cos 3 B = b) <TH>4AC cm= Hình 1
55 c)<TH>0 36C d) <VD>2 2 sin cos 1B B+ = Câu 2: Cho tam giácABC vuông cân tại A, biết4AB = . a) <NB>1 cos 2 B = b) <TH>1 sin 2 B = c) <TH>tan 1C = d)<VD>1 cot 2 C = Câu 3: ∆ABC vuông tại A (hình vẽ), (góc làm tròn đến độ). a) <NB>sin AC ABC BC = b) <NB>s AC co ACB AB = c) <TH>3 tan 4 ACB = . d) <VD>36ACB = Câu 4: Cho hình vẽ, biết ∆ABC vuông tạiA , có60ABC = ,4 cmAC = . a) <NB>s AB co ABC BC = b) <TH>3 3 AH BH = c) <TH>3 cos 2 C = d) <VD> Độ dài cạnhAH bằng( )2 3 cm . Câu 5: Cho hình vẽ, biết tam giácABC vuông tạiA , có30ACB = ,4 cmAB = . Trong mỗi ý a), b), c), d) ở dưới đây, thí sinh chọn đúng hoặc sai a) <NB>tan AB ABC AC = b) <TH>AH AC AB BC = c) <TH>sin = cosABC ACB d) <VD>4 3 ( ). 3 AC cm= Câu 6: Ông Hùng dùng một tấm ván dài 1,2m để dẫn xe từ mặt đường lên thềm nhà (như hình vẽ), biết mặt đường AC và tấm ván BC tạo thành một góc 300. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở dưới đây, thí sinh chọn đúng hoặc sai.8 6 A C B60° 4 H B A C30° 4 H B A C
56 a) <NB> Độ cao của thềm nhà là độ dài doạn thẳng AB. b) <TH>sin AB C AC = c) <TH>. os .AB BC c C= d) <VD>0,6( ).AB m= Câu 7: Cho hình vẽ, biết tam giácABC vuông tạiA , có10AB cm= ;30ACB = . Kẻ tia phân giácBD của gócABC (D AC ). a) <NB>sin AB C AC = . b) <TH>tan ABC bằng3 . c) <VD>20( )BC cm= . d) <VD>5 3 ( )AD cm= Câu 8. Cho hình vẽ (Hình 1), biết35ABC = ,AH BC⊥ ,45HAC = và4AB cm= . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2) a) <NB> Số đo gócACB bằng 450 b) <TH> Độ dài đường caoAH bằng2 cm. c) <TH> Độ dài cạnhAC bằng2 cm. d) <VD> Độ dàiBC bằng5,46 cm. Câu 9. Cho hình vẽ ( Hình 2), biết tam giácABC vuông tạiA ,3AB AC= . TrênAB lấy các điểm,D E sao choAD DE EB= = . Trong mỗi ý a), b), c), d) ở dưới đây, thí sinh chọn đúng hoặc sai. a) <NB> Số đo gócACD bằng 300 b) <TH> Độ dài cạnhCD bằng2AC cm. c) <TH> Số đo góc0 30AEC d) <VD>5 tan tan 6 AEC ABC+ = Câu 10. Cho tam giácMNP có0 0 105 ; 45 ;MH BC; 6NMP MNP NP= = ⊥ = cm. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở dưới đây, thí sinh chọn đúng hoặc sai. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2) a) <NB> Số đo gócMPN bằng 300 b)<TH> Độ dài cạnhMH bằng 2,20 cm30° A C B10cm 30° D CA B4cm 45° CHB A 30°Hình 2 BED C A
57 c) <TH> Độ dàiMN bằng3,11 cm. d) <VD> Độ dàiMP bằng2,54 cm. Câu 11. Cho tam giácEBD có0 0 90 ; 40EDB BED= = ,10ED = cm. Trên cạnhBD lấyC sao cho3CD = cm, QuaC kẻ đường vuông góc vớiBD cắtBE tạiA . Trong mỗi ý a), b), c), d) ở dưới đây, thí sinh chọn đúng hoặc sai. ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) a) <NB> Số đo gócBAC bằng 400 b) <TH> Độ dài cạnhAE bằng4,67 cm c) <TH> Độ dàiAC bằng6,43 cm. d) <VD> Độ dàiAB bằng8,38 cm. Câu 12. Cho tam giácABC có cạnhAB bằng2 cm,AC bằng3 cm đường cao,BE CF cắt nhau ở H. (Các kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). a) <NB> Độ dài đoạnAE bằng1 ,74 cm b) <TH> Độ dài đường caoBE bằng1,74 cm. c) <TH> Diện tích của tam giácABC bằng5,20 cm2 d) <VD> Tỉ số độ dàiFE BC bằng2 cm. Câu 13. Cho tam giác vuôngABC với các cạnh góc vuông5 ;AB cm=8AC cm= (độ dài đoạn thẳng làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, số đo góc làm tròn đến độ). a) CạnhBC xấp xỉ bằng9,4 cm b)tan AB C BC = c) Số đo gócC xấp xỉ bằng d) Số đo gócB bằng50 Câu 14. Cho tam giácABC với các cạnh góc vuông4 ;AB cm= cạnh huyền8BC cm= (độ dài đoạn thẳng làm tròn đến chữa số thập phân thứ nhất, số đo góc làm tròn đến độ). a) CạnhAC xấp xỉ bằng6,9 cm b)1 cos 2 B = c) Số đo gócB bằng d) Số đo gócC bằng45 Câu 15. Cho tam giácABC có chân đường cao AH nằm giữa B và C. Biết3 ; 6 ; 60HB cm HC cm HAC= = = (độ dài đoạn thẳng làm tròn đến chữa số thập phân thứ nhất, số đo góc làm tròn đến độ). a) Số đo gócACH bằng40 b) Cạnh3 3 AC = cm c) Số đo gócBAC bằng101 d) Độ dài cạnhAB bằng3 cm
58 Câu 16. Cho hình vẽ sau (độ dài đoạn thẳng làm tròn đến chữa số thập phân thứ nhất, số đo góc làm tròn đến độ). a)cos AB ABC BC = b) Số đo gócABC xấp xỉ bằng54 c)tan AB AC C = d) CạnhBD xấp xỉ bằng6,9 cm C. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN Câu 1. <TH> Cho tam giác vuông có một góc nhọn bằng35 và cạnh đối diện với góc này bằng6 .cm Tính độ dài cạnh huyền của tam giác ? (Viết kết quả ở dạng thập phân, làm tròn đến hàng phần trăm)? Câu 2. <TH> Cho hình thoiDABC có hai đường chéo2 3AC cm= vàD 2C cm= . Tính số đoBCD ? Câu 3. <TH> Giá trị của biểu thức:0 0 0 cos 60 1 1 sin 60 tan 30 + + là:..…. Câu 4. <TH> ChoABC vuông tạiA , biết10 , 60AC cm C= = . Diện tíchABC là:…. Câu 5. <TH> ChoABC có60ABC = . Hình chiếu củaAB trênBC có độ dài là 4 cm,AC dài gấp đôiAB . Số đoACB là:..... Câu 6. <TH> ChoABC vuông tạiA , biết3AC = ,4AB = . Khi đócos B bằng…. Câu 7. <TH> ChoABC vuông tạiA , biết6AB = ,5 tan 12 B = . Khi đóAC có độ dài là:…….. Câu 8. <TH> ChoABC vuông tạiC , biết1,2 cmBC = ,0,9 cmAC = . Khi đócos sinB B− có giá trị là:…… Câu 9. <TH> ChoABC vuông tạiA , đường caoAH có11 cmCH = ,12 cmBH = . Khi đó tỉ số lượng giáccosC có giá trị là:… (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Câu 10: Cho là góc nhọn bất kỳ. Khi đó6 6 2 2 sin cos 3sin cosC = + + có giá trị là: ……. Câu 11. <TH> Cho tam giácABC vuông tạiA , biết góc0 30C = , cạnh4BC cm= . Độ dài cạnhAB là:……. Câu 12. <TH> Cho tam giácMNP vuông tạiM , biết góc0 60N = , cạnh6NP cm= . Độ dài cạnhMN là:……D 12cm C BA 7cm
59C BA Câu 13. <TH> Cho tam giácDEF vuông tạiD , biết góc0 30F = , cạnh6DF cm= Độ dài cạnhDE là Câu 14. <TH> Cho tam giácABC vuông tạiA , biết góc0 60B = , cạnh3AC cm= . Độ dài cạnhAB là:……. Câu 15. <TH> Cho tam giácDEF vuông tạiD , biết góc0 60E = , cạn10DF cm= . Diện tích tam giácDEF là:..... Câu 16. <TH> Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm, số đo=ABC ......... . (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) Câu 17. <TH> Cho tam giác OPQ vuông tại O có35OPQ = , OP = 8 cm, độ dài cạnh OQ = ........ (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Câu 18. <TH> Cho tam giác DEF nhọn, có đường cao DH, sin E = ............... Câu 19. <TH> Cho tam giác MNK vuông tại M, biết MK = 4cm, MN = 5cm, sin K = ............ (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Câu 20. <TH> Cho hình vẽ dưới đây, biết0 40 ,KQH =0 80PKQ = , KP = 8 cm, độ dài đoạn thẳng KH = .................(Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Câu 21. <VD> Từ đỉnh một tòa nhà mắt người cách mặt đất50 mét, người ta nhìn thấy một ô tô đang đỗ trên mặt đường dưới một góc40 so với phương nằm ngang. Hỏi khoảng cách giữa ô tô và tòa nhà đó là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
60 Câu 22. <VD> Tính chiều cao của cây (đơn vị mét) trong hình bên, biết rằng người đo đứng cách cây2,56 mét và khoảng cách từ mắt người đo đến mặt đất là1,6 mét, góc ngắm bằng90 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Câu 23. <VD> Một cây tre bị gẫy ngang thân (như hình vẽ), ngọn tre vừa chạm đất và tạo với mặt đất một góc30 biết khoảng cách từ vị trí ngọn tre chạm đất tới gốc cây là4,5 mét. Chiều cao ban đầu của cây tre là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Câu 24. <VD> Một tòa nhà có chiều caoh mét. Khi tia nắng tạo với mặt đất một góc67 thì bóng của tòa nhà trên mặt đất dài30 mét. Tính chiều caoh của tòa nhà (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). Câu 25. <VD> Một khúc sông rộng250 mét. Một chiếc thuyền muốn qua sông theo phương vuông góc với bờ nhưng bị dòng nước đẩy xiên một góc , nên phải đi khoảng320 mét mới sang được bờ bên kia. Tính góc (làm tròn đến độ).C B AB C A
61 Câu 26. <VD> Một cột đèn có bóng trên mặt đất dàim7,2 . Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ42 . Tính chiều cao của cột đèn? (làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số) Câu 27. <VD> Một khúc sông rộng khoảng280 m . Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng340 m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy con thuyền đó đi một góc bao nhiêu (làm tròn đến phút)? Câu 28. <VD> Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là28 và có độ cao là2,1 m . Tính độ dài của mặt cầu trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Câu 29. <VDC> Nếu một chiếc máy bay bay lên với vận tốc540 km h và đường bay luôn tạọ với phương ngang một góc30 (hình vẽ) thì sau 2 phút máy bay ấy sẽ lên cao được khoảng bao nhiêu kilômét theo phương thẳng đứng?
62 Câu 30. <VDC> Tính chiều cao của một ngọn núi (làm tròn đến mét) biết tại2 điểm,A B cách nhau500 m người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là34 và38 (hình minh họa như dưới đây). 4. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1. Tam giác ABC có0 90 ; 29; 21A a b= = = . Độ dài c là: A.26c = B.19c = C.20c = D.23c = Câu 2. Tam giác vuôngABC có bình phương cạnh huyền bằng289 và diện tích là60 . Độ dài cảu hai cạnh góc vuông là: A.12 và13 . B.8 và15 . C.12 và17 . D. Cả A, B, C đều sai. Câu 3. Tam giác vuôngABC vuông tạiA ,20, 21b c= = . Độ dài đường caoAH là: A.15AH = B.18,33AH = C.420 29 AH = D.580 21 AH = Câu 4. Một tam giác vuông có cạnh góc vuông lớn gấp ba lần cạnh góc vuông nhỏ và diện tích là2 24cm . Khi đó số đo cạnh huyền là: A.13cm . B.2cm C.4 10 cm D. Một kết quả khác. Câu 5. Tam giácABC vuông tại đỉnhA ,8, 192b c= = ,( )AH BC H BC⊥ . Khi đó độ dài AH là: A.24 B.48 C.12 D.4,5
63 Câu 6. Với giả thiết câu 5,', 'b c lần lượt là hình chiếu của hai cạnh góc vuôngb vàc trên cạnh huyền. Kết luận nào sau đây là đúng nhất? A.' 'b c B.2 ' ' 3 b c= C.3 ' ' 4 b c D.1 ' ' 3 b c= Câu 7. Với giả thiết câu 5, tỉ số đồng dạng của hai tam giác HAB và HCA là: A.3k = B.3k = C.3 3 k = D.2 3k = Câu 8. Với giả thiết câu 5,M là trung điểm củaAB ,N là trung điểm củaAC . Kết luận nào sau đây đúng nhất? A.3AHM HNCS S= B.3AHM HNCS S= C.2AHM HNCS S= D. Cả A, B, C đều sai. Câu 9. Năm đoạn thẳng có độ dài lần lượt là:192; 4; 48; 12; 8 . Số tam giác vuông có thể có được từ ba trong các đoạn thẳng trên là: A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 Hãy chọn đáp án đúng Câu 10. Sử dụng kết quả câu 9 có hai tam giác vuông có diện tích tỉ lệ với nhau là: A. 2: 3 B. 3: 4 C. 1: 3 D. 1:3 Câu 11. Pháp biểu nào sau đây là đúng? A. Tồn tại tam giác vuông có ba cạnh là ba số tự nhiên lẻ liên tiếp. B. Tồn tại tam giác vuông có ba cạnh là ba số tự nhiên chẵn liên tiếp. C. Không có tam giác vuông nào có số đo chu vi lớn gấp đôi số đo diện tích của nó. D. Không có tam giác vuông nào có số đo ba cạnh là số vô tỉ. Câu 12. Hãy chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau đây? A. Không thể tồn tại một tam giác vuông có số đo hai cạnh là hai số thập phân và số đo cạnh còn lại là một số tự nhiên. B. Tồn tại một tam giác có số đo hai cạnh là hai số tự nhiên và số đo cạnh còn lại là số nguyên dương. C. Tồn tại một tam giác vuông có đường cao hạ xuống cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. D. Không thể tồn tại một tam giác vuông cân có số đo ba cạnh là ba số tự nhiên. Câu 13. Phát biểu nào sau đây là đúng nhất? A.sin cos với mọi .
64 B.tan cot vì1 cot tan = . C. Không có góc nào thỏa mãntan cot = . D. Tồn tại góc thỏa mãnsin cos = . Câu 14. Phát biểu nào sau đây là đúng nhất? A. Nếusin cos thìtan 1 . B. Nếusin cos thìcot 1 C. Nếutan thìcot . D.sin .cos là số nguyên. Câu 15. Biết0 30 = . Kết quả nào sau đây là đúng? A.2 sin cos 2,5 + = . B.2 sin cos 1,5 + = . C.2 sin cos 2 + = . D.2 sin cos 1, 25 + = . Câu 16. Biết0 60 = và2 2 cos 2sin cos sin P + = − . Kết quả nào sau đây là đúng? A.2P = B.2 3 P = . C.( )8 1 2 3 11 P − = D.( )8 1 2 3 11 P − = + Câu 17. Biết0 30 = vàtan cot 2 2 tan 2 cot P + = − . Kết quả nào sau đây là đúng? A.4 3 3 P = B.2 3 P = C.2 3 3 P = D.2 3P = Câu 18. Biết0 30 = và2 2 sin 2 tan 2 cos cot P + = − . Kết quả nào sau đây đúng? A.2 3 6 3 3 2 P + = − B.3 3 6 3 3 2 P + = − C.3 3 2 3 3 2 P + = − D.3 6 3 2 P + = − Câu 19. Cho2 2 cos tan 2 sin 2 cot P − = + và0 30 = . Hãy chọn giá trị đúng của P. A.8 3 19 13 P + = − B.8 3 19 13 P − = C.8 3 19 13 P − = D.19 8 3 13 P − = Câu 20. Cho0 0 0 0 0 0 0 0 cos 45 sin 30 tan 30 tan 45 : sin 60 sin 45 tan 45 cot 60 P − − = − − . Kết quả nào sau đây đúng?
65 A.6 3 2 2P = + − − . B.6 3 2 2 2P = + + − . C.3 2 6 2P = + − − . D.6 3 2 2P = + − + . Câu 21. Cho tam giác vuôngABC ; biết0 0 90 , 60 , 5A B c= = = khi đó ta có độ dàib là: A.5 3 3 b = B.5 3b = C.2,5b = D.10b = Câu 22. Cho tam giác vuôngABC biết0 0 90 , 30 , 6 3A B a= = = . Khi đó ta có độ dàib là: A.3 2b = B.3 3b = C.9b = D.4,5. 3b = Câu 23. Với tam giác vuôngABC có0 0 90 , 60 , 10A B b= = = thì độ dàia là: A.15 3a = B.10 3a = C.20 3 3 a = D.20 3a = Câu 24. Với tam giác vuôngABC có0 0 90 , 60 , 12A C b= = = thì độ dài'b là: A.' 8b = B.' 6b = C.' 6 3b = D.' 3 3b = Câu 25. Với giả thiết câu 24, độ dài của'c là: A.' 8 3c = B.' 9 3c = C.' 6 3c = D.' 18c = Câu 26. Cho tam giácABC có5, 4, 3a b c= = = . Kết quả nào sau đây là đúng? A.sin 0,75C = B.sin 0,8C = C.sin 0,6C = D.sin 1,3C = . Câu 27. Với giả thiết câu 24, kết quả nào sau đây là đúng ? A.osB 0,75c = B.os 0,6c = C.osB 0,8c = D.sin 1,3C = . Câu 28. Với giả thiết câu 24. GọiAH là đường cao thuộc cạnhBC vàBAH = . Kết quả nào sau đây là đúng? A.cos 0,6. = B.cos 0,75. = C.cos 0,8. = D.2 3 cos . 5 = Câu 29. Cho tam giác vuôngABC( )0 90A = ,( ), 6, 3.AH BC H BC AH BH⊥ = = Kết quả nào sau đây là đúng? A.3 sin . 3 B = B.3 sin . 2 B = C.2 5 sin . 5 B = D.3 sin . 6 B = Câu 30. Với giả thiết câu 29, kết quả nào sau đây là đúng ?
66 A.3 sin . 3 C = B.3 sin . 6 C = C.5 sin . 5 C = D.5 sin . 2 C = Câu 31. Cho tam giác vuôngABC có0 90A = ,( ), 6, 12.AH BC H BC BH HC⊥ = = Kết quả nào sau đây là đúng? A.0 30 .B = B.0 60 .B = C.0 70 .B = D.0 45 .B = Câu 32. Với giả thiết câu 31, kết quả nào sau đây là đúng ? A.3 tan . 3 C = B.tan 3.C = C.3 tan . 6 C = D.tan 2 3.C = Câu 33. Với giả thiết câu 31, kết quả nào sau đây là đúng ? A.3 tan . 2 BAH = B.3 tan . 3 BAH = C.tan 3.BAH = D.tan 1.BAH = Câu 34. Cho tam giác vuôngABC có0 90A = ,0 30 , 18.B a= = Kết quả nào sau đây là đúng? A.12 3.c = B.9 3.c = C.6 3.c = D.12.c = Câu 35. Với giả thiết câu 34, kết quả nào sau đây là đúng? A.12.b = B.18.b = C.9.b = D.9 3.c = Câu 36. Với giả thiết câu 34 và( ).HA BC H BC⊥ Kết quả nào sau đây là đúng? A.4.AH = B.14.AH = C.4,5.AH = D.4,5 3.AH =
