ilovepdf merged ( Materi Peluang )

Peluang 1 P E L U A N G A. Kaidah Pencacahan Kaidah pencacahan adalah aturan membilang untuk mengetahui banyaknya kejadian atau objek-objek tertentu yang muncul. Dikatakan pencacahan karena hasilnya berupa sebuah bilangan cacah. Terdapat tiga aturan dalam mencacah, yakni, aturan pengisian tempat yang tersedia, aturan permutasi dan aturan kombinasi 1. Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia Aturan pengisian tempat yang tersedia, dibagi menjadi tiga cara, yakni : (1) Aturan Tabel (2) Aturan Diagram Cabang (3) Aturan Perkalian Terurut Untuk lebih mendalami ketiga aturan tersebut, ikutilah contoh-contoh soal berikut ini: 01. Seseorang mempunyai tiga pasang sepatu dan lima pasang kaus kaki. Dengan aturan tabel tentukanlah banyaknya cara orang tersebut dalam mengenakan sepatu dan kaus kaki Jawab Misalkan sepatu : P1 , P2 , P2 Kaus kaki : K1 , K2 , K3 , K4 , K5 K / P K1 K2 K3 K4 K5 P1 P1K1 P1K2 P1K3 P1K4 P1K5 P2 P2K1 P2K2 P2K3 P2K4 P2K5 P3 P3K1 P3K2 P3K3 P3K4 P3K5 Jadi banyaknya susunan = 15 pasang 02. Ahmad dan Budi adalah calon ketua OSIS di suatu SMA, sedangkan Mahmud, Cici, dan Gani adalah calon wakil ketua, serta Yuli dan Susi adalah calon sekretaris. Dengan menggunakan diagram cabang tentukanlah banyaknya kemungkinan pasangan pengurus inti OSIS di SMA tersebut

Peluang 2BACABAMYAMSACYACSAGYAGSBMYBMSBCYBCSBGYBGS = 4 x 3 x 3 = 36 rute = 6 rute = 3 rute 9 rute + Jawab Jadi terdapat 12 macam kemungkinan susunan pengurus 03. Terdapat empat jalan yang menghubungkan kota P dan kota Q, tiga jalan yang menghubungkan kota Q dan kota R serta tiga jalan dari kota R ke kota S. Tentukanlah banyaknya rute perjalanan seseorang dari koa P ke kota S Jawab 4 3 3 04. Gambar disamping adalah peta rute perjalanan ditiga kota A, B dan C. Tentukanlah banyaknya rute perjalanan dari kota A ke kota C Jawab 3 2 3MCGYSYSYSMCGYSYSYS

Peluang 3 = 5 x 4 x 3 = 60 bilangan = 5 x 5 x 5 = 125 bilangan = 3 x 4 x 3 = 36 bilangan = 3 x 4 x 2 = 24 bilangan = 96 bilangan = 48 bilangan 05. Tentukanlah banyaknya bilangan yang terdiri atas tiga angka yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 5, 6 dan 7 jika : (a) angka-angkanya tidak boleh muncul berulang (b) angka-angkanya boleh muncul berulang Jawab (a) Angka-angkanya : 3, 4, 5, 6, 7. Disusun 3 angka 5 4 3 (b) Angka-angkanya : 3, 4, 5, 6, 7. Disusun 3 angka 5 5 5 06. Tentukanlah banyaknya bilangan yang terdiri atas tiga angka berlainan yang dapat disusun dari angka-angka 2, 3, 4, 5 dan 6 jika bilangan itu nilainya harus: (a) genap (b) ganjil Jawab (a) Angka-angkanya : 2, 3, 4, 5, 6. Disusun 3 angka dan nilainya genap 3 4 3 (b) Angka-angkanya : 2, 3, 4, 5, 6. Disusun 3 angka dan nilainya ganjil 3 4 2 07. Tentukan banyaknya bilangan ribuan yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5 jika bilangan itu nilainya : (a) lebih dari 2000 (b) kurang dari 3000 Jawab (a) Angka-angkanya : 1, 2, 3, 4 dan 5. Disusun 4 angka dan nilainya lebih dari 2000 4 4 3 2 (b) Angka-angkanya : 1, 2, 3, 4 dan 5. Disusun 4 angka dan nilainya kurang dari 3000 2 4 3 2

Peluang 1 P E L U A N G A. Kaidah Pencacahan 2. Permutasi Sebelum membahas permutasi akan dikenalkan terlebih dahulu notasi faktorial, yaitu : Jika n bilangan asli, maka n faktorial ditulis n ! didefinisikan sebagai berikut n ! = n (n - 1) (n - 2) (n - 3) … 3. 2. 1 Dan nol faktorial didefinisikan sebagai 0 ! = 1 Sebagai contoh 01. Hitunglah setiap nilai faktorial berikut ini (a) 3! . 4! (b)2!.4! 6! (c)5!.6! 2!.8! Jawab Jawab (a) 3! = 3 x 2 x 1 = 6 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Jadi 3! . 4! = 6 x 24 = 144 (b)2!.4! 6! =1)x1)(2x2x3x(4 1x2x3x4x5x6 =1x2 5x6 = 15 Atau2!.4! 6! =1)x)(2(4! 4!x5x6 =1x2 5x6 = 15 (c)5!.6! 2!.8! =)2!x3x4x)(5(6! ))(2!6!x7x(8 =3x4x5 7x8 =3x5 7x2 =15 14

Peluang 2 02. Uraikanlah bentuk faktorial berikut ini : (a)6)!(n )!3(n   (b))!3(n 2)!(n   Jawab (a)6)!(n )!3(n   =6)!(n )!6)(n5)(n4)(n3(n   = (n – 3)(n – 4)(n – 5) (b))!3(n 2)!(n   =)!3(n )!3)(n2)(n1(nn1))(n2(n   = (n + 2)(n +–1)n(n – 1) (n – 2) Permutasi adalah proses pencacahan yang memperhatikan urutan atau formasi. Sebagai contoh diketahui himpunan P = {a, b, c, d}. Jika anggota himpunan P tersebut disusun dua-dua maka diperoleh himpunan yang anggotanya sebanyak 12 buah, yakni {ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc}. Banyaknya anggota himpunan ini dapat pula ditentukan dengan aturan permutasi, yakni : Jika n objek berlainan disusun r objek maka banyak susunannya dapat ditentukan dengan rumus :r)!(n n! r P n   Untuk soal diatas banyaknya anggota himpunan P adalah n = 4 dan disusun dua- dua berarti r = 2, sehingga :2)!(4 4! 24 P   =!2 !4 = 12 buah Jika yang disusun adalah seluruh anggota himpunan (n = r) maka banyaknya susunan dapat ditentukan dengan rumus :)!n(n n! nPn   =!0 !n = n!nP = n! Sebagai contoh empat buah roti yang berlainan akan disusun satu baris diatas meja, maka banyaknya susunan dapat ditententukan dengan cara :4P = 4! = 24 cara Jika diantara objek yang disusun ada objek-objek yang sama, maka banyaknya formasi susunan dapat ditentukan dengan aturan :! k !.....n3!.n2!.n1n n! nP  Dimana1n ,2n ,3n , … ,kn adalah banyaknya masing-masing unsur yang sama.

Peluang 3 Sebagai contoh banyaknya cara menyusun enam huruf dari huruf-huruf pada kata PANGAN adalah2!.2! 6! P6  =1.2.1.2 1.2.3.4.5.6 = 180 Sedangkan n objek berlainan disusun r objek dimana objek-objek tersebut boleh muncul berulang, maka banyaknya susunan yang dapat dibentuk dapat ditentukan dengan rumus nPr = nr Sebagai contoh dari anggota himpunan A = {p, q} disusun 6 objek dimana objek- objek tersebut boleh muncul berulang. Maka banyaknya susunan seluruhnya adalah … 2P6 = 2 6 = 32 susunan Jika n objek disusun n objek seluaruhnya, dimana formasi susunan dibuat melingkar (siklis) maka banyak susunan yang dapat dibentuk adalah Pn = (n – 1) ! Sebagai contoh enam tangkai bunga yang berlainan disusun melingkar diatas meja, maka banyaknya cara menyusunnya adalah : P6 = (6 – 1)! = 5! = 120 Untuk lebih lengkapnya ikutilah contoh soal berikut ini : 03. Tentukanlah banyaknya susunan tiga huruf dari huruf-huruf pada himpunan {a, b, c, d} dengan memperhatikan urutannya Jawab n = 4 dan r = 3, maka maka :)!3(4 4! 3P4   =!1 !4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 04. Terdapat 8 orang juru masak di suatu restoran. Dari 8 orang ini ditunjuk secara acak 3 orang untuk memasak gulai rendang, sayur lodeh dan sambal daging. Tentukanlah banyaknya cara penunjukan tersebut Jawab n = 8 dan r = 3, maka maka :

Peluang 4)!3(8 8! P38   =!5 !8 =!5 !5x6x7x8 = 8 x 7 x 6 = 336 05. Tentukanlah banyaknya susunan lima huruf dari huruf-huruf pada himpunan { p, q, r, s, t } jika urutannya diperhatikan Jawab n = 5 dan r = 5, maka maka :5!P5  = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 06. Enam orang siswa akan berbaris membentuk satu barisan. Tentukanlah banyaknya susunan barisan yang dapat mereka bentuk Jawab n = 6 dan r = 6, maka maka :6!P6  = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 07. Empat orang lelaki dan dua orang wanita berdiri membentuk satu barisan. Tentukanlah banyaknya susunan barisan yang dapat mereka bentuk jika : (a) Lelaki dan wanita boleh bercampur (b) Lelaki dan wanita tidak boleh bercampur Jawab (a) n = 6 dan r = 6, maka6!P6  = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 (b) Formasi lelaki :4!P4  = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Formasi wanita :2!P2  = 2 x 1 = 2 Formasi total = 2 (24 x 2) = 96 formasi

Peluang 5 08. Empat orang pria dan tiga orang wanita berdiri membentuk satu barisan. Jika formasi barisan mereka harus berselang-seling antara pria dan wanita, maka tentukanlah banyaknya formasi barisan tersebut Jawab Formasi lelaki :4!P4  = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Formasi wanita :3!P3  = 3 x 2 x 1 = 6 Formasi total = 24 x 6 = 144 formasi 09. Tentukanlah banyaknya susunan 9 huruf dari huruf-huruf pada kata “BABILONIA” Jawab2!.2!.2! 9! P9  =1.2.1.2.1.2 1.2.3.4.5.6.7.8.9 = 9 x 8 x 7 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 4.5360 susunan huruf 10. Tentukanlah banyaknya susunan 8 huruf dari huruf-huruf pada kata “MATAKAKI” Jawab3!.2! 8! P8  =1.2.1.2.3 1.2.3.4.5.6.7.8 = 8 x 7 x 6 x 5 x 2 x 1 = 3.360 susunan huruf 11. Empat buah ubin merah, 3 ubin kuning dan 2 ubin hijau akan disusun berderet satu baris. Tentukanlah banyaknya cara menyusun kesembilan ubin tersebut Jawab4!.3!.2! 9! P9  =1.2.1.2.3!.4 !4.5.6.7.8.9 = 9 x 4 x 7 x 5 = 1.260 susunan ubin

Peluang 6 12. Didalam sebuah rak terdapat delapan buku matematika yang terbagi ke dalam 3 kelompok bahasa, masing-masing tiga berbahasa Indonesia, tiga berbahasa Inggris dan 2 berbahasa Jerman. Buku-buku itu akan dibagikan kepada 7 orang siswa. Jika buku-buku berbahasa sejenis adalah sama, maka tentukanlah banyaknya cara pembagian tersebut Jawab7P =3!.3!.1! 7! +3!.2!.2! 7! +2!.3!.2! 7! =1)x2x3!.(3 3!x4x5x6x7 +1)x(21)x3!.(2 3!x4x5x6x7 +1)x(21)x3!.(2 3!x4x5x6x7 =1x2x3 4x5x6x7 +1)x(21)x(2 4x5x6x7 +1)x(21)x(2 4x5x6x7 = (7 x 5 x 4) + (7 x 6 x 5) + (7 x 6 x 5) = 140 + 210 + 210 = 560 cara 13. Tentukanlah banyaknya susunan tiga huruf dari huruf-huruf pada himpunan {a, b, c, d, e} jika huruf-huruf itu boleh muncul berulang Jawab n = 5 dan r = 3 maka :35 P =3 5 = 125 susunan huruf 14. Tentukanlah banyaknya bilangan yang terdiri atas 5 angka yang angka- angkanya disusun dari angka-angka 3 dan 4 Jawab n = 2 dan r = 5 maka :25 P =5 2 = 32 bilangan 15. Suatu paket soal pilihan ganda sebanyak 4 nomor dengan pilihan jawaban A, B, C, D, dan E. Jika siswa diminta menyilang salah satu pilihan yang dianggap paling benar, maka tentukanlah banyaknya formasi jawaban Jawab n = 5 dan r = 4 maka :45 P =4 5 = 625 formasi jawaban 16. Empat buah kursi a, b, c dan d akan disusun mengelilingi sebuah meja. Tentukanlah banyaknya susunan keempat kursi tersebut Jawab n = 4, r = 4 dan formasi melingkar maka :4 P = (4 – 1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 susunan

Peluang 1 P E L U A N G A. Kaidah Pencacahan 3. Kombinasi Kombinasi adalah pencacahan yang tidak memperhatikan urutan objek-objeknya. Jika suatu himpunan dengan n buah anggota (objek) akan disusun r objek tampa memperhatikaN urutannya, maka banyaknya susunan tersebut dirumuskan :r)!r!.(n n! r C n   Sebagai contoh akan dihitung banyaknya susunan dua huruf dari huruf-huruf pada himpunan {a, b, c, d} tanpa memperhatikan urutannya ab ac ad bc bd 6 susunan cd Jika masalah di atas diselesaikan dengan rumus, akan diperoleh: n = 4 dan r = 2 sehinggarCn =r)!r!.(n n!  =)!22!.(4 4!  =2!.2! 4! =1x2x1x2 1x2x3x4 = 6 Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini : 01. Diketahui himpunan A = {p, q, r, s, t}. Berapa banyaknya cara mengambil dua huruf dari huruf-huruf pada himpunan A jika urutannya tidak diperhatikan ? Jawab Diketahui n = 5 dan r = 2 Maka :rCn =r)!r!.(n n! 25 C =)!22!.(5 5!  =2!.3! 5! =3!x1x2 3!x4x5 = 10 susunan

Peluang 2 02. Dari 7 orang calon peserta paduan suara akan dipilih 5 orang untuk mengikuti festival paduan suara tingkat sekolah. Tentukanlah banyaknya cara pemilihan tersebut ! Jawab Diketahui n = 7 dan r = 5 Maka :rCn =r)!r!.(n n! 57 C =)!55!.(7 7!  =5!.2! 7! =5!x1x2 5!x6x7 = 21 cara 03. Tentukanlah nilai r jikar6 C = 2.r5 C Jawabr6 C = 2.r5 Cr)!r!.(6 6!  = 2.r)!r!.(5 5! r)!(6 5!x6  = 2.r)!(5 5! r)!(6 6  =r)!(5 2  6(5 – r)! = 2(6 – r)! 3(5 – r)! = (6 – r)(5 – r)! 3 = 6 – r r = 3 04. Dari 20 orang anggota English Club SMAN “Maju Jaya” yang terdiri dari 10 pria dan 10 wanita akan dipilih tim yang terdiri dari 4 pria dan 2 wanita untuk mengikuti lomba debat bahasa Inggris mewakili sekolah mereka. Tentukanlah banyaknya cara pemilihan tersebut ! Jawab Pria : n = 10 dan r = 4 maka410 C =4!.6! 10! =x.6!1x2x3x4 6!x7x8x9x10 = 210 Wanita : n = 10 dan r = 2 maka210 C =2!.8! 10! =x.8!1x2 8!x9x10 = 45 Jadi banyaknya cara pemilihan tersebut = 210 x 45 = 9450 cara

Peluang 3 05. Dalam sebuah keranjang terdapat 6 kelereng hitam dan 4 kelereng putih. Jika diambil 5 kelereng dari dalam keranjang tersebut, tentukanlah banyaknya kejadian terambilnya 3 kelereng hitam dan 2 kelereng putih Jawab K. Hitam : n = 6 dan r = 3 maka36 C =3!.3! 6! =x.3!1x2x3 3!x4x5x6 = 20 K. Merah : n = 4 dan r = 2 maka24 C =2!.2! 4! =x.2!1x2 2!x3x4 = 6 Jadi banyaknya cara pemilihan tersebut = 20 x 6 = 120 cara 06. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola kuning dan 4 bola hijau. Jika diambil dua bola dari dalam kotak tersebut, tentukanlah banyaknya kemungkinan terambilnya dua bola berwarna sama Jawab Terambilnya dua kelereng berwarna sama artinya Kuning-kuning atau hijau-hijau Banyaknya kemungkinan terambil dua bola kuning (kuning-kuning) K. Kuning : n = 5 dan r = 2 maka25 C =2!.3! 5! =x.3!1x2 3!x4x5 = 10 K. Hijau : n = 4 dan r = 0 maka04 C =4!.0! 4! = 1 Jadi banyaknya cara pengambilan tersebut = 10 x 1 = 10 cara Banyaknya kemungkinan terambil dua bola hijau (hijau-hijau) K. Kuning : n = 5 dan r = 0 maka05 C =5!.0! 5! = 1 K. Hijau : n = 4 dan r = 2 maka24 C =2!.2! 4! =x.2!1x2 2!x3x4 = 6 Jadi banyaknya cara pengambilan tersebut = 1 x 6 = 6 cara Sehingga Banyak cara seluruhnya = 10 + 6 = 16 cara Salah satu aplikasi dari aturan kombinasi adalah menentukan koefisien dari uraian bentuk (a + b)n. Namun bentuk ini dapat pula diuraikan dengan bantuan segitiga Pascal, yaitu (a + b)0 …………………………………………… 1 (a + b)1 …………………………………… 1 1 (a + b)2 ………………………… …. 1 2 1 (a + b)3 ……………………..……….1 3 3 1 (a + b)4 ………………….. 1 4 6 4 1 (a + b)5 …………….…1 5 10 10 5 1

Peluang 4 Sehingga bentuk (a + b)3 dan (a + b)4 misalnya, dapat diuraikan menjadi : (a + b)3 = 1.a3.b0 + 3.a3–1.b0+1 + 3.a3–2.b0+2 + 1.a3–3.b0+3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3 (a + b)4 = 1.a4.b0 + 4.a4–1.b0+1 + 6.a4–2.b0+2 + 4.a4–3.b0+3 + .a4–4.b0+4 = a4 + 4.a3.b + 6. a2.b2 + 4.a.b3 + b4 Dengan menggunakan aturan kombinasi, uraian bentuk (a + b)n dapat ditentukan dengan rumus Binomial Newton, yaitu :    n 0r rrn rn baC .nb)(a Sehinga bentuk (a + b)3 dan (a + b)4 misalnya, dapat diuraikan sebagai berikut : (a + b)3 = 3C0.a3.b0 + 3C1..a3–1.b0+1 + 3C2.a3–2.b0+2 + 3C3.a3–3.b0+3 = (1).a3.b0 + (3).a3–1.b0+1 + (3).a3–2.b0+2 + (1).a3–3.b0+3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3 (a + b)4 = 4C0.a4.b0 + 4C1.a4–1.b0+1 + 4C2.a4–2.b0+2 + 4C3.a4–3.b0+3 + 4C4.a4–4.b0+4 = (1).a4.b0 + (4).a4–1.b0+1 + (6).a4–2.b0+2 + (4).a4–3.b0+3 + (1).a4–4.b0+4 = a4 + 4.a3.b + 6. a2.b2 + 4.a.b3 + b4 Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini : 07. Uraikanlah bentuk (a + 2)4 Jawab (a + 2)4 = 4C0.a4.20 + 4C1.a4–1.20+1 + 4C2.a4–2.20+2 + 4C3.a4–3.20+3 + 4C4.a4–4.20+4 = (1).a4.20 + (4).a3.21 + (6).a2.22 + (4).a1.23 + (1).a0.24 = (1).a4.(1) + (4).a3.(2) + (6).a2.(4) + (4).a1.(8) + (1).a0.(16) = a4 + 8.a3 + 24.a2 + 32.a + 16 08. Uraikanlah bentuk (2x – y)3 Jawab (2x – y)3 = 3C0.(2x)3.y0 – 3C1.(2x)3–1.y0+1 + 3C2.(2x)3–2.20+2 – 3C3.(2x)3–3.y0+3 = (1).(2x)3.y0 – (3).(2x)2.y1 + (3).(2x)1.y2 – (1).(2x)0.y3 = (1).23.x3.(1) – (3).22.x2. y1 + (3).21.x1.y2 – (1).(1).y3 = (1).(8).x3.(1) – (3).(4).x2. y + (3).(2).x1.y2 – (1).(1).y3 = 8x3 – 12x2 + 6x.y2 – y3

Peluang 5 Sedangkan suku ke-p dari penguraian bentuk (a + b)n dapat ditentukan dengan rumusn pC 11p1pn ba  Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini : 09. Tentukanlah suku ke 4 dari uraian bentuk (a + b)8 Jawab (a + b)8 Maka n = 8 Suku ke 4 maka p = 4 Sehinggan C 1p1p1pn ba  =8 14C14148 ba  =8 3C35 ba =3!.5! 8!35 ba =1.5!x2x3 5!x6x7x835 ba = 5635 ba 10. Tentukanlah suku ke 6 dari uraian bentuk (2x – y)9 Jawab (2x – y)9 Maka n = 9 Suku ke 6 maka p = 6 Sehinggan C 1p1p1pn ba  =9 16C16169 y)((2x)   =9 5C54 y)((2x)  =5!.4! 9! 544 yx2 =1.5!x2x3x4 5!x6x7x8x9 54 y(16).x = –126.(16)54 yx = –201654 yx 11. Salah satu suku dari penjabaran bentuk (a + 3b)6 adalah m.a4.b2. Tentukanlah nilai m Jawab (a + 3b)6 Maka n = 6 Sehingga24 bam. =n C 1p1p1pn (3b)a 24 bam. =6 1pC1p1p6 (3b)a 24 bam. =6 1pC1pp7 (3b)a  maka p – 1 = 2 p =324 bam. =6 13C1337 (3b)a 

Peluang 624 bam. =6 2C24 (3b)a24 bam. =2!.4! 6!224 b3a24 bam. =x.4!1x2 4!x5x624 ba.924 bam. = 15(9)24 ba24 bam. = 13524 ba Jadi m = 135 12. Tentukanlah koefisien suku yang memuat x3 dari uraian bentuk (x + 2)5 Jawab (x + 2)5 Maka n = 5 Sehinggan C 1p1p1pn 2x  =5 1pC1p1p5 2x  =5 1pC1pp6 2x  maka 6 – p = 3 p = 3 =5 13C1336 2x  =5 2C23 2x =2!.3! 5!(4)x3 =3!x1x2 3!x4x53 .x(4) = 10.(4)3 x = 403 x Jadi koefisien suku yang memuat x3 adalah 40

Peluang 1 P E L U A N G A. Peluang Suatu Kejadian 1. Pengertian Percobaan, Ruang Sampel dan Kejadian Percobaan adalah suatu eksperimen yang hasilnya dapat dicacah Himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul dalam suatu percobaan disebut ruang contoh (Ruang sample). Sedangkan kejadian adalah himpunan bagian ruang contoh Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah contoh Soal berikut ini : 01. Pada pelantunan satu buah dadu, tentukanlah : (a) Ruang sampel (b) Kejadian munculnya mata dadu genap Jawab (a) sebuah dadu mempunyai enam muka (bidang), sehingga ruang sampelnya S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (b) Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu genap, maka A = {2, 4} 02. Pada pelantunan dua dadu, tentukanlah (a) banyaknya anggota ruang sampel (b) Kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi 4 Jawab (a) S = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66} Jadi n(S) = 36 (b) Jumlah dua mata dadu paling kecil 2, yakni {11} dan paling besar 12, yakni {66}, sehingga jumlah dua mata dadu yang habis dibagi 4 adalah 4, 8 dan 12. sehingga A = {13, 31, 22, 26, 62, 53, 35, 66} Jadi n(A) = 9 03. Diketahui himpunan P = {a, b, c, d, e}. Jika dari himpunan P tersebut diambil dua huruf tampa memperhatikan urutannya, maka tentukanlah : (a) Banyaknya anggota ruang sampel (b) Kejadian terambilnya dua huruf vocal (c) Kejadian terambilnya dua huruf konsonan Jawab (a) n(S) =25 C =)!22!.(5 5! 

Peluang 2 =2!.3! 5! =x.3!1x2 3!x4x5 = 10 Jika dicacah, kesepuluh anggota ruang sampel adalah : S = {ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de} (b) n(A) =22 C =)!22!.(2 2!  =2!.0! 2! = 1 Jika dicacah, anggota kejadian A adalah : A = {ae} (c) n(S) =23 C =)!22!.(3 3!  =2!.1! 3! =x.2!1 2!x3 = 3 Jika dicacah, ketiga anggota kejadian B adalah : B = {bc, bd, cd} 04. Diketahui himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5}. Jika dari himpunan A tersebut diambil dua angka dengan memperhatikan urutan, maka tentukanlah : (a) Banyaknya anggota ruang sampel (b) Kejadian terambilnya dua angka genap (c) Kejadian terambilnya dua angka ganjil Jawab (a) n(S) =25 P =)!2(5 5!  =3! 5! =3! 3!x4x5 = 20 Jika dicacah, kesepuluh anggota ruang sampel adalah : S = {12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54}

Peluang 3 (b) n(A) =22 P =)!2(2 2!  =0! 2! = 2 x 1 = 1 Jika dicacah, anggota kejadian A adalah : A = {24, 42} (c) n(S) =23 P =)!2(3 3!  =1! 3! =1 1x2x3 = 6 Jika dicacah, ketiga anggota kejadian B adalah B = {13, 15, 31, 35, 51, 53} 2. Peluang Suatu Kejadian Bila Suatu kejadian A dapat terjadi dalam n(A) cara dari seluruh n(S) cara yang mungkin, maka peluang (probabilitas) kejadian A dirumuskan:n(S) n(A) P(A)  Nilai peluang yang paling rendah adalah 0 yaitu peluang suatu kejadian yang tidak mungkin terjadi, dan nilai pelauang yang paling tinggi adalah 1 yaitu peluang suatu kejadian yang pasti terjadi Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah contoh Soal berikut ini : 05. Sebuah dadu dilantunkan satu kali. Tentukanlah peluang munculnya mata dadu ganjil Jawab n(S) = 6 n(A) = 3 Jadi P(A) =n(S) n(A) =6 3 =2 1 06. Dua buah dadu dilantunkan satu kali. Tentukanlah peluang munculnya dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi 5 Jawab n(S) = 6 x 6 = 36 A = {14, 41, 32, 23, 64, 46, 55} maka n(A) = 7 Jadi P(A) =n(S) n(A) =36 7

Peluang 4 07. Tiga buah angka diambil secara acak dari angka-angka pada himpunan A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Jika urutannya tidak diperhatikan tentukanlah peluang terambilnya ketiganya angka genap. Jawab n(S) =38 C =)!33!.(8 8!  =3!.5! 8! =x.5!1x2x3 5!x6x7x8 = 56 n(A) =34 C =)!33!.(4 4!  =3!.1! 4! =x.3!1 3!x4 = 4 Jadi P(A) =n(S) n(A) =56 4 =14 1 08. Empat buah uang logam dilantunkan serentak satu kali. Tentukanlah peluang munculnya dua “Gambar” pada pelantunan tersebut Jawab n(S) =4 2 = 16 Jika dicacah, keenam belas anggota ruang sampel adalah : S = {GGGG, GGGA, GGAG, GAGG, AGGG, GGAA, GAGA, AAGG, AGAG, AGGA, GAAG, GAAA, AGAA, AAGA, AAAG, AAAA} n(A) =2!.2! 4! =x.2!1x2 2!x3x4 = 6 Jika dicacah, keenam anggota kejadian A adalah : A = { GGAA, GAGA, AAGG, AGAG, AGGA, GAAG} Jadi P(A) =n(S) n(A) =16 6 =8 3 09. Dari delapan orang calon pengurus suatu yayasan yang terdiri dari 5 pria dan 3 wanita akan dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris dan bendahara. Tentukanlah peluang terpilihnya lelaki semua dari ketiga jabatan tersebut Jawab

Peluang 5 n(A) = 60 x 1 = 60 n(A) = 10 x 3 = 30 Pria = 5 diambil 335 P = 60 Wanita = 3 diambil 003 P = 1 Total = 8 diambil 338 P = 336 n(S) = 336 Jadi P(A) =n(S) n(A) P(A) =336 60 =28 5 10. Lima orang remaja terdiri dari 3 pria dan 2 wanita, akan berdiri secara acak membentuk satu barisan. Tentukanlah peluang formasi barisan mereka berselang-seling antara pria dan wanita Jawab n(S) =5 P = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 n(A) =3 P x2 P = 6 x 2 = 12 Jadi P(A) =n(S) n(A) P(A) =120 21 =10 1 11. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola putih dan 3 bola hitam. Jika diambil 4 bola dari dalam kotak itu, tentukanlah peluang terambilnya dua bola putih dan dua bola hitam. Jawab Putih = 5 diambil 225 P = 10 Hitam = 3 diambil 223 P = 3 Total = 8 diambil 448 P = 70 n(S) = 70 Jadi P(A) =n(S) n(A) P(A) =70 30 P(A)=7 3 12. Di suatu sekolah terdapat 10 calon pemain voli yang terdiri dari tiga orang kelas X, dua orang kelas XI dan lima orang kelas XII. Jika dipilih 6 siswa secara acak, tentukanlah peluang yang terpilih adalah dua siswa kelas X, dua kelas XI dan dua kelas XII

Peluang 6 n(A) = 3 x 1 x 10 = 30 Jawab Kelas X = 3 diambil 223 P = 3 Kelas XI = 2 diambil 222 P = 1 Kelas XII = 5 diambil 225 P = 10 Total = 10 diambil 6610 P = 210 n(S) = 210 Jadi P(A) =n(S) n(A) =210 30 =7 1 Bila P(A) adalah peluang kejadian A dan P(Ac) adalah peluang kejadian bukan A (dibaca komplomen kejadian A), maka berlaku hubungan : P(A) + P(Ac) = 1 Dalam hal ini berlaku : P(Ac) = 1 – P(A) atau P(A) = 1 – P(Ac) Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah contoh Soal berikut ini : 13. Pada pelantunan dua dadu sekaligus, tentukanlah peluang munculnya dua mata dadu yang jumlahnya lebih dari 3 Jawab Jika A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya lebih dari 3 makac A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya kurang dari atau sama dengan 3, artinya dua mata dadu yang jumlahnya 2 atau 3. Makac A = {11, 12, 21} n(c A ) = 3 dan n(S) = 36 Jadi P(A) = 1 – P(c A ) P(A) = 1 –36 3 P(A) =36 33 P(A) =12 11 14. Pada pelantunan dua dadu sekaligus, tentukanlah peluang munculnya dua mata dadu yang jumlahnya bukan 5 Jawab Jika A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya 5 makac A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya bukan 5, Sehingga A = {14, 41, 23, 32} dan n(A) = 4 serta n(S) = 36 Jadi P(c A ) = 1 – P(A) P(c A ) = 1 –36 4

Peluang 7 P(c A ) =36 32 P(c A ) =9 8 15. Pada pelantunan tiga buah uang logam sekaligus, tentukanlah peluang munculnya paling sedikit satu “Angka” pada pelantunan itu Jawab Jika A adalah kejadian munculnya paling sedikit satu “Angka” pada pelantunan itu makac A adalah kejadian munculnya tiga buah uang logam dengan muka “gambar” semua, artinyac A = {GGG} n(c A ) = 1 dan n(S) =3 2 = 8 Jadi P(c A ) = 1 – P(A) P(c A ) = 1 –8 1 P(c A ) =8 7 16. Dalam sebuah kerenjang terdapat empat kelereng kuning dan tiga kelereng hijau. Jika diambil dua kelereng dari dalam keranjang itu, maka tentukanlah peluang terambilnya dua kelereng berwarna sama Jawab Jika A adalah kejadian munculnya dua kelerenga berwarna sama makac A adalah kejadian munculnya dua kelereng yang berlainan warna, artinya n(c A ) =14 C x13 C = 4 x 3 = 12 n(S) =27 C =)!22!.(7 7!  =2!.5! 7! =x.5!1x2 5!x6x7 = 21 Jadi P(c A ) = 1 – P(A) P(c A ) = 1 –21 12 P(c A ) =21 9 P(c A ) =7 3

Peluang 8 Frekwensi harapan munculnya kejadian A adalah hasil kali peluang kejadian A dan banyaknya percobaan. Atau F(A) = n. P(A) Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah contoh Soal berikut ini : 17. Empat buah uang logam dilantunkah serentak sebanyak 640 kali. Tentukanlah frekwensi harapan munculnya tiga “Gambar” pada uang-uang logam terebut Jawab n(S) =4 2 = 16 n(A) =3!.1! 4! =1x3! 3!x4 = 4 , yaitu A = {AGGG, GAGG, GGAG, GGGA} n = 640 Jadi F(A) = 640 x16 4 = 160 kali 18. Sebuah kendaraan diuji sebanyak 24 kali untuk mengetahui kualitas kelayakan mesinnya. Jika peluang nya lulus adalah 2/3, maka berapa kalikah kendaraan itu lulus dalam 24 kali pengujian tersebut ? Jawab P(A) =3 2 n = 24 Jadi F(A) = 24 x3 2 = 16 kali 19. Sebuah pesawat udara mengangkut 150 orang penumpang dari Yogyakarta ke Ujung Pandang. Jika cuaca buruk dan peluang setiap penumpang untuk selamat dalam penerbangan itu adalah 2/5 maka berapa penumpangkah diperkirakan akan meninggal jika pesawat mengalami kecelakaan ? Jawab Jika P(A) adalah peluang setiap penumpang untuk selamat dalam penerbangan itu maka P(c A ) adalah peluang setiap penumpang akan meninggal dalam penerbangan itu, maka P(c A ) = 1 –5 2 =5 3 Sehingga F(c A ) = 150 x5 3 = 90 penumpang

Peluang 9 20. Sebuah dadu dan dua uang logam dilantunkan serentak sebanyak 160 kali. Dari pelantunan itu berapa kalikah diharapkan munculnya satu “Gambar” dan satu “Angka” pada uang logam ? Jawab n(S) = 6 x 2 x 2 = 24 A = { GA1, GA2, GA3, GA4, GA5, GA6, AG1, AG2, AG3, AG4, AG5, AG6} maka n(A) = 12 n = 160 Jadi F(A) = 160 x24 12 = 80 kali

Peluang 1 P E L U A N G E. Peluang Kejadian Majemuk Peluang kejadian majemuk adalah rangkaian beberapa kejadian yang dihubungkan dengan “dan” (Dilambangkan dengan ) serta “atau” (Dilambangkan dengan ), dan dirumuskan : P (A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Skema pembagian kejadian majemuk 1. Kejadian Majemuk Saling Lepas Dua kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika dua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan, atau dengan kata lain tidak saling terkait (tidak mempunyai irisan). Dirumuskan : P(A B) = 0 P(A B) = P(A) + P(B) Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah contoh Soal berikut ini : 01. Dua buah dadu dilantunkan serentak satu kali. Jika A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang habis dibagi 5 dan B adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi 4, maka tentukanlah peluang : (a) P(A B) (b) P(A B) Jawab Kejadian Majemuk Saling Lepas P(A B) = 0 Tidak Saling Lepas P(A B) = Saling Bebas P(A B) = P(A).P(B) Tidak Saling Bebas P(A B) P(A).P(B) Saling Bebas Bersyarat Saling Bebas Tidak Bersyarat

Peluang 2 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , n(S) = 6 A = {5} , n(A) = 1 B = {4} , n(B) = 1 Karena A dan B saling lepas, maka: (a) P(A B) = 0 (b) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) =6 1 +6 1 P(A B) =3 1 02. Dua buah dadu dilantunkan serentak satu kali. Jika A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya 5 dan B adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang hasil kalinya 6, maka tentukanlah peluang : (a) P(A B) (b) P(A B) Jawab n(S) = 6 x 6 = 36 A = {14, 41, 23, 32} , n(A) = 4 B = {16, 61, 23, 32} , n(B) = 4 A B = {23, 32} , n(A B) = 2 Karena A dan B tidak saling lepas, maka: (a) P(A B) =36 2 =18 1 (b) P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) P(A B) =36 4 +36 4 –36 2 P(A B) =36 6 P(A B) =6 1 03. Sebuah dadu merah dan sebuah dadu putih dilantunkan serentak satu kali. Tentukanlah peluang munculnya angka 3 pada dadu merah atau angka 5 pada dadu putih Jawab n(S) = 6 x 6 = 36 A = {31, 32, 33, 34, 35, 36} , n(A) = 6 B = {15, 25, 35, 45, 55, 65} , n(B) = 6 A B = {35} , n(A B) = 1 Karena A dan B tidak saling lepas, maka: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) P(A B) =36 6 +36 6 –36 1 =36 11

Peluang 3 04. Dalam sebuah keranjang terdapat 4 buah apel merah dan 4 buah apel hijau. Jika diambil tiga buah apel secara acak dari dalam keranjang tersebut, tentukanlah peluang terpilihnya 2 apel merah dan 2 apel hijau Jawab Misalkan A adalah kejadian terambilnya 2 apel merah, dan B adalah kejadian terambilnya 2 apel hijau, maka A dan B saling lepas, Sehingga P(A B) = 0 05. Sebuah kantong berisi 5 bola merah dan 2 bola biru. Kantong lain berisi 3 bola merah dan 1 bola biru. Jika sebuah bola diambil secara acak dari salah satu kantong, maka tentukan pelauang terambilnya bola biru. Jawab P(1 biru) = P( 1 biru pada kantong pertama atau 1 biru pada kantong kedua) P(1 biru) = P(1 biru pada kantong pertama) + P(1 biru pada kantong kedua) P(1 biru) =      2 1      7 2 +      2 1      4 1 P(1 biru) =56 15 2. Kejadian Saling Bebas Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika muncul atau tidaknya kejadian A tidak mempengaruhi muncul atau tidaknya kejadian B. Dengan kata lain A dan B memiliki keterkaitan tetapi tidak saling mempengaruhi. Jika dirumuskan secara matematis, maka kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika memenuhi : P(A B) = P(A) x P(B) Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah contoh Soal berikut ini : 01. Dua dadu dilantunkan serentak satu kali. Misalkan A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya 8 dan B adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang hasil kalinya 12, maka selidikilah apakah A dan B saling bebas ? Jawab A = {26, 62, 35, 53, 44} , n(A) = 5 B = {34, 43, 62, 26} , n(B) = 4 A B = {62, 26} , n(A B) = 2 n(S) = 36 maka P(A) x P(B) =36 5 x36 4 =324 5 P(A B) =36 2 =18 1 Karena P(A B) ≠ P(A) x P(B) maka A dan B tidak saling bebas

Peluang 4 02. Dua dadu berwarna merah dan putih dilantunkan serentak satu kali. Misalkan A adalah kejadian munculnya angka 4 pada dadu merah dan B adalah kejadian munculnya angka 6 pada dadu putih, maka selidikilah apakah A dan B saling bebas ? Jawab A = {41, 42, 43, 44, 45, 46} , n(A) = 6 B = {16, 26, 36, 46, 56, 66} , n(B) = 6 A B = {46} , n(A B) = 1 n(S) = 36 maka P(A) x P(B) =36 6 x36 6 =36 1 P(A B) =36 1 Karena P(A B) = P(A) x P(B) maka A dan B saling bebas 03. Sebuah dadu dan dua buah uang logam dilantunkan serentak satu kali. Jika A adalah kejadian munculnya dua “Angka” pada uang logam dan B adalah kejadian munculnya angka 5 pada mata dadu, maka selidikilah apakah dua kejadian tersebut saling bebas ? dan tentukanlah peluang A atau B ! Jawab A = {AA1, AA 2, AA 3, AA 4, AA 5, AA 6} , n(A) = 6 B = {AA5, AG5, GA5, GG5} , n(B) = 4 A B = {AA5} , n(A B) = 1 n(S) = 2 x 2 x 6 = 24 maka P(A) x P(B) =24 6 x24 4 =24 1 P(A B) =24 1 Karena P(A B) = P(A) x P(B) maka A dan B saling bebas P (A B) = P(A) + P(B) – P(A B) P (A B) =24 6 +24 4 –24 1 P (A B) =8 3 04. Misalkan A dan B adalah dua kejadian saling bebas, dimana P(A) = 2/3 dan P(B) = 1/2. Maka tentukanlah : (a) P(A B) (b) P(A B)c (c) P(Ac B) Jawab (a) P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) =3 2 +2 1 –3 2 x2 1

Peluang 5 =6 4 +6 3 –6 2 =6 5 (b) P(A B)c = 1 – P(A B) = 1 – P(A).P(B) = 1 –3 2 x2 1 = 1 –3 1 =3 2 (c) P(Ac B) =)P(Ac x P(B) = [1 – P(A)] x P(B) = [1 –3 2 ] x2 1 =3 1 x2 1 =6 1 05. Dua orang sahabat Amir dan Budi bermaksud mengikuti ujian masuk perguruan tinggi. Jika peluang Amir lulus 3/4 dan peluang Budi lulus 1/3, maka tentukanlah peluang : (a) Kedua-duanya tidak lulus (b) Amir lulus tetapi Budi tidak lulus Jawab Jika P(A) adalah peluang Amir lulus, dan P(A) =4 3 maka)P(Ac = 1 –4 3 =4 1 Jika P(B) adalah peluang Budi lulus, dan P(B) =3 1 maka)P(Bc = 1 –3 1 =3 2 (a))BP(A cc  =4 1 x3 2 =6 1 (b))BP(A c  =4 3 x3 2 =2 1 06. Dalam sebuah kelas terdiri atas 30 siswa, dimana 16 orang diantaranya menyukai olah raga dan 12 orang menyukai seni serta 6 orang siswa tidak menyukai keduanya. Jika ditunjuk seorang siswa secara acak dalam kelas itu, tentukanlah peluang terpilihnya : (a) Siswa yang menyukai keduanya (b) Siswa yang menyukai olah raga saja

Peluang 6RSabcdTVKulkasabcd Jawab a + b + c + d = 30 …………………… (1) a + b = 16 ……………………………. (2) b + c = 12 ……………………………. (3) d = 6 …………………………………... (4) (a) Dari (1) (2) (4) diperoleh : a + b + c + d = 30 16 + c + 6 = 30 Jadi c = 8 Dari (3) diperoleh b + 8 = 12 Jadi b = 4 Jadi P(A) =30 4 =15 2 (b) Dari (2) diperoleh a + 4 = 16 Jadi a = 12 Sehingga P(B) =30 12 =5 2 07. Disuatu wilayah dilakukan survey terhadap kepemilikan TV dan kulkas. Hasilnya ternyata 25% dari penduduk di wilayah tersebut memiliki TV saja (tidak punya kulkas) dan 40% memiliki kulkas saja (tidak punya TV). Sedangkan 20% penduduk tidak memiliki keduanya. Jika dipilih seorang penduduk secara acak, tentukanlah peluang penduduk tersebut memiliki TV dirumahnya Jawab a + b + c + d = 100 ..………………… (1) a = 25 …………………………………. (2) c = 40 …………………………………. (3) d = 20 ………..………………………... (4) Dari (1) (2) (3) (4) diperoleh : a + b + c + d = 100 25 + b + 40 + 20 = 100 Jadi b = 15 Jadi banyaknya penduduk yang mempunyai TV = a + b = 25 + 15 = 40 orang. Sehingga P(A) =100 40 =5 2 = 40%

Peluang 1 P E L U A N G F. Kejadian Majemuk Saling bebas Bersyarat Dua Kejadian A dan B dikatakan bebas bersyarat jika memenuhi syarat saling bebas dan terjadinya secara berturut-turut. Dirumuskan P(A B) = P(A) . P(B / A) Dimana : . P(B /A) dibaca Peluang kejadian B setelah A Dari rumus ini dapat pula diturunkan rumus : P(B/A) =P(A) B)P(A  =n(S) n(A) )S(n B)n(A  =n(A) B)n(A  Jadi P(B/A) =n(A) B)∩n(A Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah contoh Soal berikut ini : 01. Dua buah dadu dilantunkan serentak satu kali. Jika A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang hasil kalinya 12, dan B adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya 8, tentukanlah : (a) P(A/B) (b) P(B/A) Jawab A = {34, 43, 62, 26} , n(A) = 4 B = {26, 62, 53, 35, 44} , n(B) = 5 A B = {26, 62} , n(A B) = 2 Sehingga (a) P(A/B) =n(B) B)∩n(A =5 2 (b) P(B/A) =n(A) B)∩n(A =4 2 =2 1 02. Dua dadu berwarna merah dan putih dilantunkan serentak satu kali. Misalkan A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang habis dibagi 3 pada dadu merah, dan B adalah kejadian munculnya mata dadu ganjil pada dadu putih, maka tentukanlah (a) P(A/B) (b) P(B/A) Jawab

Peluang 2MatFisabcd A = {12, 21, 51, 15, 42, 24, 33, 63, 36, 45, 54, 66} , n(A) = 12 B = {11, 21, 31, 41, 51, 61, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 15, 25, 35, 45, 55, 65}, n(B) = 18 A B = {21, 15, 51, 63, 45. 33} , n(A B) = 6 Sehingga (a) P(A/B) =n(B) B)∩n(A =18 6 =3 1 (b) P(B/A) =n(A) B)∩n(A =12 6 =2 1 03. Dua dadu dilantunkan serentak satu kali. Jika yang muncul adalah dua mata dadu yang jumlahnya 6, maka berapakah peluang pada salah satu dadu muncul angka 4 ? Jawab B = {15, 51, 42, 24, 33}, n(B) = 5 A B = {42, 24} , n(A B) = 2 Sehingga P(A/B) =n(B) B)∩n(A =5 2 04. Sebuah dadu dan dua uang logam dilantunkan serentak satu kali. Jika yang muncul adalah angka 5 pada dadu, maka tentukanlah peluang pada uang logam muncul satu “Angka” Jawab B = {AA5, AG5, GA5, GG5}, n(B) = 4 A B = { AG5, GA5} , n(A B) = 2 Sehingga P(A/B) =n(B) B)∩n(A =4 2 =2 1 05. Didalalm kelas yang terdiri atas 40 siswa, 34 diantaranya menyukai matematika dan 22 siswa menyukai fisika serta 2 siswa tidak menyukai keduanya. Jika seorang siswa dipilih secara acak, maka tentukan peluang siswa itu menyukai matematika setelah tahu dia menyukai fisika Jawab a + b + c + d = 40 ………………. (1) a + b = 34 ……………………….. (2) b + c = 22 ………………………… (3) d = 2 …………………………….. (4) Dari (1),(2) dan (4) diperoleh 34 + c + 2 = 40 maka c = 4 b + c = 22 maka b = 18 Sehingga P(M/F) =n(F) F)∩n(M =22 18 =11 9

Peluang 3 06. Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola hijau dan 6 bola kuning. Jika diambil empat bola satu-persatu dari dalam kotak tersebut, tentukanlah peluang bahwa pada pengambilan pertama dan kedua terambil bola hijau serta pada pengambilan ketiga dan keempat terambil bola kuning. Dimana pengambilan itu disyaratkan bahwa : (a) Tampa pengembalian (b) Dengan pengembalian Jawab (a) P(H H K K) = P(H) x P(H) x P(K) x P(K) =10 4 x9 3 x8 6 x7 5 =14 1 (b) P(H H K K) = P(H) x P(H) x P(K) x P(K) =10 4 x10 4 x10 6 x10 6 =625 36 07. Dalam sebuah kantong terdapat 5 bola hitam dan 5 bola putih. Jika dari dalam kantong itu diambil dua bola tiga kali berturut-turut, maka tentukanlah peluang bahwa pada pengambilan pertama, kedua dan ketiga berturut-turut terambil dua bola hitam, dua bola hitam dan dua bola putih. Dimana pengambilan itu disyaratkan bahwa : (a) Tampa pengembalian (b) Dengan pengembalian Jawab (a) P(H H P) = P(H) x P(H) x P(P) =210 25 C C x28 23 C C x26 25 C C =45 10 x28 3 x15 10 =63 1 (b) P(H H P) = P(H) x P(H) x P(P) =210 25 C C x210 25 C C x210 25 C C =45 10 x45 10 x45 10 =729 8

Statikstik Inferensial 1 STATISTIK INFERENSIAL A. Distribusi Binomial Bentuk eksponen binomial adalah bentuk eksponen dengan dua variabel, yakni (a + b)n Bentuk ini dapat dapat diuraikan dengan konfigurasi Segitiga Pascal, yaitu (a + b)0 …………………………………………… 1 (a + b)1 …………………………………… 1 1 (a + b)2 ………………………… …. 1 2 1 (a + b)3 ……………………..……….1 3 3 1 (a + b)4 ………………….. 1 4 6 4 1 (a + b)5 …………….…1 5 10 10 5 1 Sehingga bentuk (a + b)3 dan (a + b)4 misalnya, dapat diuraikan menjadi bentuk polinom segagai berikut: (a + b)3 = 1.a3.b0 + 3.a3–1.b0+1 + 3.a3–2.b0+2 + 1.a3–3.b0+3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3 (a + b)4 = 1.a4.b0 + 4.a4–1.b0+1 + 6.a4–2.b0+2 + 4.a4–3.b0+3 + .a4–4.b0+4 = a4 + 4.a3.b + 6. a2.b2 + 4.a.b3 + b4 Dengan aturan kombinasi, uraian polinom bentuk (a + b)n dapat ditentukan dengan rumus Binomial Newton, yaitu :    n 0r rrn rn baC .nb)(a Sehinga bentuk (a + b)3 dan (a + b)4 misalnya, dapat diuraikan menjadi polinom sebagai berikut : (a + b)3 = 3C0.a3.b0 + 3C1..a3–1.b0+1 + 3C2.a3–2.b0+2 + 3C3.a3–3.b0+3 = (1).a3.b0 + (3).a3–1.b0+1 + (3).a3–2.b0+2 + (1).a3–3.b0+3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3 (a + b)4 = 4C0.a4.b0 + 4C1.a4–1.b0+1 + 4C2.a4–2.b0+2 + 4C3.a4–3.b0+3 + 4C4.a4–4.b0+4 = (1).a4.b0 + (4).a4–1.b0+1 + (6).a4–2.b0+2 + (4).a4–3.b0+3 + (1).a4–4.b0+4 = a4 + 4.a3.b + 6. a2.b2 + 4.a.b3 + b4

Statikstik Inferensial 2 Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini : 01. Tentukanlah suku ke 4 dari uraian polinom bentuk (p + q)8 Jawab (p + q)8 Maka n = 8 Suku ke 4 maka r = 3 Sehingga suku ke-4 adalah338 38 q.pC  =3!.5! 8!35 qp =1.5!x2x3 5!x6x7x835 qp = 5635 qp Eksperimen binomial adalah suatu eksperimen yang memberi hanya dua hasil yang mungkin, yakni “sukses” dan “gagal”. (ditemukan oleh James Bernoulli) Variabel acak X adalah jumlah hasil sukses untuk n kali percobaan dalam eksperimen binomial Jika p adalah peluang sukses dan q adalah peluang gagal dalam setiap kali percobaan, maka berlaku : p + q = 1 Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini: 02. Pada eksperimen melantunkan Sebuah dadu 4 kali, berapakah banyaknya kejadian 2 kali sukses munculnya mata dadu prima? Jawab Misalkan kejadian sukses = S dan kejadian gagal = G, maka untuk 4 kali percobaan diperoleh cacahan : {SSGG, SGSG, SGGS, GSGS, GGSS, GSSG} Jadi X = 6 kejadian 03. Pada eksperimen melantunkan Sebuah dadu 5 kali, x adalah variabel yang menyatakan banyaknya kejadian sukses munculnya mata dadu 2 atau mata dadu 6 Tentukanakah : (a) Banyaknya kejadian 3 kali sukses dalam eksperimen itu (b) Peluang kejadian 3 kali sukses alam eksperimen itu (c) Peluang kejadian 1 kali sukses alam eksperimen itu Jawab (a) n(x = 3) =35 C =3!.2! 5! =3!1.xx2 3!x4x5 = 10 (b) Misalkan A = {2, 6} n(A) = 2 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6 Maka P(A) =6 2 =3 1 Sehingga p =3 1 dan q = 1 –3 1 =3 2 Jadi peluang sukses 3 kali : P(x=3) = 1032 3 2 3 1             =243 80

Statikstik Inferensial 3 (c) n(x = 1) =15 C =1!.4! 5! =4!1.x 4!x5 = 5 p =3 1 dan q = 1 –3 1 =3 2 sehingga P(x=1) = 514 3 2 3 1             =243 10 Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa dalam eksperimen binomial dengan peluang sukses sebesar p dan peluang gagal sebesar q = 1 – p untuk setiap percobaan, maka peluang x sukses dari n percobaan ulang dirumuskan : P(X = x) =xn C .x p .xn q  Bentuk P(X = x) diatas merupakan fungsi distribusi binomial Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 04. Sebuah eksperimen melantunkan dua dadu serentak 5 kali. Jika A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi tiga, maka tentukan peluang sukses 3 kali percobaan dalam eksperimen itu. Jawab Diketahui : n = 5 x = 3 maka A = {12, 21, 15, 51, 42, 24, 33, 36, 63, 45, 54, 66} n(A) = 12 dan n(S) = 36. Peluang sukses adalah p =36 12 =3 1 Peluang gagal adalah q = 1 – p = 1 –3 1 =3 2 Sehingga peluang sukses 3 kali percobaan dalam eksperimen itu adalah : P(X = 3) =35 C .3 3 1       .35 3 2        P(X = 3) =!2!3 5! .      27 1 .      9 4 P(X = 3) =243 40 05. Suatu percobaan melantunkan 4 uang logam secara serentak. Jika percobaan itu diulangi sebanyak 5 kali, maka berapa peluang sukses munculnya tiga “gambar” sebanyak dua kali dalam percobaan itu ? Jawab Diketahui : n = 5 dan x = 2 maka A = {GGGA, GGAG, GAGG, AGGG} n(A) = 4 dan n(S) =4 2 = 16. Peluang sukses adalah p =16 4 =4 1

Statikstik Inferensial 4 Peluang gagal adalah q = 1 – p = 1 –4 1 =4 3 Sehingga peluang sukses 2 kali percobaan dalam eksperimen itu adalah : P(X = 3) =25 C .2 4 1       .25 4 3        P(X = 3) =!3!2 5! .      16 1 .      64 27 P(X = 3) =512 135 06. Sebuah tes terdiri dari 10 pertanyaan pilihan ganda dengan 4 pilihan jawaban. Sebagai suatu eksperimen, anda memilih jawaban secara acak tanpa membaca pertanyaannya. Berapa peluang anda menjawab dengan benar 6 nomor ? Jawab Diketahui : n = 10 dan x = 6 Peluang sukses menjawab benar satu nomor adalah p =4 1 Peluang gagal (menjawab salah satu nomor) adalah q = 1 – p = 1 –4 1 =4 3 Sehingga peluang sukses menjawab 6 nomor benar dalam eksperimen itu adalah : P(X = 6) =610 C .6 4 1       .4 4 3       P(X = 3) =!4!6 10! .        10 4 4 3 P(X = 3) = 0,016222 Dalam eksperimen binomial dengan n kali percobaan ulang dimungkinkan untuk mengetahui peluang sukses paling banyak r kali atau paling sedikit r kali, dimana r ≤ n, dengan menggunakan rumus : P(X ≤ r) = P(X = 1) + P(X = 2) + … + P(X = r) dan P(X ≥ r) = P(X = r) + P(X = r+1) + … + P(X = n) Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

Statikstik Inferensial 5 07. Salah satu tugas layanan pelanggan dari suatu perusahaan telepon adalah kecepatan melayani gangguan dirumah. Menurut data peluang gangguan pada layanan rumah bisa diperbaiki pada hari pengaduan adalah 0,8. Untuk enam gangguan pertama yang dilaporkan pada suatu hari tertentu, tentukan peluang paling banyak 4 gangguan bisa diperbaiki pada hari yang sama Jawab Diketahui : Peluang sukses p = 0,8 dan peluang gagal q = 1 – 0,8 = 0,2 Misalkan X adalah banyak gangguan bisa diperbaiki pada hari terima laporan, maka : P(X = 0) =06 C .0 )8,0( .6 )2,0( = (1)(1)(0,000064) = 0,000064 P(X = 1) =16 C .1 )8,0( .5 )2,0( = (6)(0,8)(0,00032) = 0,001536 P(X = 2) =26 C .2 )8,0( .4 )2,0( = (15)(0,64)(0,0016) = 0,001536 P(X = 3) =36 C .3 )8,0( .3 )2,0( = (20)(0,512)(0,008) = 0,08192 P(X = 4) =46 C .4 )8,0( .2 )2,0( = (15)(0,4096)(0,04) = 0,24576 Sehingga peluang paling banyak 4 gangguan bisa diperbaiki pada hari terima laporan adalah : P(X ≤ 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) P(X ≤ 4) = 0,000064 + 0,001536 + 0,001536 + 0,08192 + 0,24576 P(X ≤ 4) = 0,330816 08. Suatu paket soal ujian dengan 10 nomor soal pilihan ganda dimana setiap soal mengandung 5 obtion pilihan jawaban. Misalkan seorang siswa memilih jawaban secara acak untuk setiap soal, maka berapakah peluang siswa tersebut akan gagal dalam ujian ? (Anggap siswa tidak lulus jika jawaban benarnya paling banyak 5) Jawab Diketahui : Peluang sukses p = 1/5 = 0,2 dan peluang gagal q = 1 – 0,2 = 0,8 Misalkan X adalah banyak jawaban benar yang diperoleh siswa, maka : P(X = 0) =010 C .0 )2,0( .10 )8,0( = (1)(1)(0.10737) = 0.10737 P(X = 1) =110 C .1 )2,0( .9 )8,0( = (10)(0,2)(0,13422) = 0.268435456 P(X = 2) =210 C .2 )2,0( .8 )8,0( = (45)(0,04)(0,16777) = 0.301989888 P(X = 3) =310 C .3 )2,0( .7 )8,0( = (120)(0,008)(0,210) = 0.201326592 P(X = 4) =410 C .4 )2,0( .6 )8,0( = (210)(0,0016)(0,262) = 0.088080384 P(X = 5) =510 C .5 )2,0( .5 )8,0( = (252)(0,0003)(0,328) = 0.0264241152

Statikstik Inferensial 6 Sehingga peluang siswa tersebut akan gagal dalam ujian adalah : P(X ≤ 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) P(X ≤ 5) = 0.10737 + 0.268435456 + 0.301989888 + 0.201326592 + 0.088080384 + 0.0264241152 P(X ≤ 5) = 0.993630617600001 09. Suatu pasangan pengantin baru bermaksud memiliki enam anak. Jika keinginan mereka tewujud, maka tentukan peluang lebih banyak anak lelaki daripada anak perempuan yang mereka miliki Jawab Diketahui : Peluang sukses p = 1/2 dan peluang gagal q = 1 – (1/2) = 1/2 Misalkan X adalah banyaknya anak lelaki yang mereka miliki, maka : P(X = 4) =46 C .4 )2/1( .2 )2/1( = (15)6 )2/1( P(X = 1) =56 C .5 )2/1( .1 )2/1( = (6)6 )2/1( P(X = 2) =66 C .6 )2/1( .0 )2/1( = (1)6 )2/1( Sehingga peluang mereka memiliki lebih banyak anak lelaki adalah : Jadi P(X ≥ 4) = (15 + 6 +1)6 )2/1( P(X ≥ 4) = 11/32