RÓWNANIA PODWYŻKI I OBNIŻKI ZADANIA TEKSTOWE POTĘGI PIERWIASTKI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE STĘŻENIA PROCENTOWE PROCENTY Edubook PDF + kody QR do wideo nauczyciela Zestaw ratunkowy pewniaki do zaliczenia na każdym sprawdzianie czy egzaminie NOTACJA WYKŁADNICZA MINUS PRZED NAWIASEM
Spis treści Chcesz mieć Szybkie wejście do modułu ? Kliknij bezpośrednio w przycisk przy danym module
Potęga zbudowana jest z dwóch liczb dolnej i górnej. Dolna liczba wydaje się być większa, a górna liczba mniejsza. Czyli wygląda to tak: to nie jest to samo co Wyobraź sobie że: Dolna liczba (podstawa) to facet, który będzie się klonował. Górna liczba (wykładnik) to szef, który mówi, ile tych klonów ma być i że mają się między sobą mnożyć. Jeśli widzisz to znaczy, że dwójka klonuje się 3 razy: . Szef powiedział 3, więc są 3 dwójki. Wynik to 8, a nie 6! Moduł 1. Potęgi i pierwiastki Lekcja 1: Podstawa i wykładnik, czyli kto tu rządzi? Uważaj na pułapkę przy potęgowaniu! Musisz pamiętać, co zrobić, gdy pojawia się minus przy liczbie. Zobacz dwie sytuacje: Minus w nawiasie: Minus ma nawias, więc też się klonuje. Dwa minusy dają plus. Minus poza nawiasem: Minus stoi smutny z boku, potęgowanie dotyczy tylko trójki!
Zadanie 1.1. Oblicz wartość potęgi: Moduł 1. Potęgi i pierwiastki Zadania do samodzielnego rozwiązania Nie wiesz, jak zrobić to zadanie lub chcesz sprawdzić sposób roziązania? Zobacz, jak rozwiązuję je krok po kroku. Zeskanuj kod QR, aby przejść do wideo a) b) c) d) e) f)
Twój cel: Upraszczać długie tasiemce matematyczne bez obliczania wielkich liczb. Zobacz: Jeśli bazy (dolne liczby) są takie same, to przy mnożeniu góry się dodają, a przy dzieleniu (czyli w kresce ułamkowej) góry się odejmują. Baza zostaje bez zmian, nie ruszaj jej! Tutaj działają takie wzory: Moduł 1. Potęgi i pierwiastki Lekcja 2: Mnożenie i dzielenie potęg (Magiczne dodawanie i odejmowanie)? Rozwiązane zadanie z komentarzem: Uprość wyrażenie: Krok 1: Góra się mnoży, więc dodajemy wykładniki: 6 + 3 = 9. Mamy . Krok 2: Kreska ułamkowa to dzielenie, więc odejmujemy dół od góry: 9 - 7 = 2. Rozwiązanie: . Tutaj jest mnożenie Tutaj jest dzielenie
Zadanie1.2. Uprość wyrażenia: Moduł 1. Potęgi i pierwiastki Zadania do samodzielnego rozwiązania Nie wiesz, jak zrobić to zadanie lub chcesz sprawdzić sposób roziązania? Zobacz, jak rozwiązuję je krok po kroku. Zeskanuj kod QR, aby przejść do wideo z rozwiązywaniem zadania. a) b) c) d) e)
Rozwiązane zadanie z komentarzem: Uprość wyrażenie: Krok 1: Góra, czy wykładniki się mnoży, więc masz: 2 3 = 6. Wynik wynosi . Twój cel: Umieć obliczać, gdy potęga ma jeszcze jeden wykładnik Zobacz: Nawias działa jak brama. Jeśli wykładnik stoi tuż za nawiasem, a w środku jest inny wykładnik, to te dwa wykładniki trzeba pomnożyć. Tutaj działają taki wzór: Moduł 1. Potęgi i pierwiastki Lekcja 3: Potęgowanie potęgi (Górny poziom wtargnięcia) Tutaj jest mnożenie wykładników. Uważaj na pułapkę z egzaminu: Masz dwa wyrażenia: Nie mył ich. To nie jest to samo! i = a =
Rozwiązane zadania krok po kroku z komentarzem: Masz liczbę: 450 000 Krok 1: Postaw wirtualnie przecinek między cyframi 4 i 5, bo wtedy otrzymasz 4,5 czyli liczbę, która jest większa niż 1, ale mniejsza od 10. Krok 2: Policz, o ile miejsc w prawo musisz przesunąć ten przecinek, żeby wrócić do oryginalnej liczby (o 5 miejsc). Wynik wynosi: . Czyli widzisz, że liczba miejsc do przeskoczenia równa jest wykładnikowi (5) przy liczbie 10. Teraz druga strona medalu, czyli notacja wykładnicza przy bardzo małych liczbach. Masz liczbę: 0,00003 Krok 1: Postaw wirtualnie przecinek za cyfrą 3. Krok 2: Policz, o ile miejsc w lewo musisz wrócić, żeby przecinek wrócił do oryginalnej liczby (o 5 miejsc). Zapis w notacji wykładniczej będzie wyglądał tak: . Przy liczbie 10 wykładnik jest ujemny, bo przy powrocie przecinka zza cyfry 3 do wersji początkowej idziemy w lewo. Twój cel: Ogarnąć pewniak z egzaminu ósmoklasisty Zobacz: „Naukowcy są leniwi. Nie chcą pisać, że odległość do gwiazdy to 150000000000 metrów. Dlatego wymyślili notację wykładniczą. Z przodu stoi zawsze JEDNA liczba (liczba 1 lub większa, ale mniejsza niż 10), potem przecinek i reszta, a na końcu razy 10 do odpowiedniego wykładnika. Moduł 1. Potęgi i pierwiastki Lekcja 4: Notacja Wykładnicza (Kosmiczne i mikroskopijne liczby)
Zadanie 1.4. Zapisz w notacji wykładniczej: Moduł 1. Potęgi i pierwiastki Zadania do samodzielnego rozwiązania Nie wiesz, jak zrobić to zadanie lub chcesz sprawdzić sposób roziązania? Zobacz, jak rozwiązuję je krok po kroku. Zeskanuj kod QR, aby przejść do wideo z rozwiązywaniem zadania. a) b) c) d) e) 2000000 = 140000000 = 0,000006 = 0,00035 = 0,00307 =
Twój cel: Obliczać pierwiastek kwadratowy i sześcienny z liczb, bo to egzaminacyjny pewniak. Zobacz: „Pierwiastek to zabawa w detektywa. Znak pyta Cię: 'Jaka liczba pomnożona przez samą siebie dała 25?'. Odpowiedź to 5, bo . Z kolei pierwiastek trzeciego stopnia szuka liczby, która pomnożona trzy razy przez siebie da 8. Odpowiedź to 2, bo . Aby łatwo obliczać pierwiastki mam dla Ciebie ściągę z tych najczęściej używanych. Ta ściąga na pewno będzie dla Ciebie bardzo skuteczna w obliczeniach, bo te liczby są zawsze w zadaniach używane! Moduł 1. Potęgi i pierwiastki Lekcja 5: Pierwiastki drugiego i trzeciego stopnia (Matematyczny detektyw) Pierwiastek drugiego stopnia, czyli pierwiastek kwadratowy Pierwiastek trzeciego stopnia, czyli pierwiastek sześcienny
Moduł 1. Potęgi i pierwiastki Twój cel: Wiedzieć, co zrobić gdy pod pierwiastkiem jest liczba np. 12 i nie możesz skorzystać ze ściągi i nie ma też innej liczby jako “ładnego” wyniku. Zobacz: „Liczba 12 nie ma ładnego pierwiastka. Ale możemy ją sprytnie rozłożyć na dwie liczby, z których jedna jest 'ładna' i da się spierwiastkować.” Czwórka jest „ładna”, więc wyciągamy z niej pierwiastek ( ). Trójka jest „brzydka”, więc zostaje uwięziona pod pierwiastkiem. Czyli: Lekcja 6: Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka. Wynik: Czytasz: dwa pierwiastki z 3. Dwa to czynnik przed pierwiastkiem, a liczba 2 pozostaje po pierwiastkiem. W przypadku większych liczb, czyli np. 72 możesz zrobić rozkład na czynniki pierwsze (takie dzielenie z kreską). Zobacz: 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1 Liczba 72 =
Rozwiązanie zadania krok po kroku z komentarzem: Ania ma pewną liczbę znaczków, a Tomek ma dwa razy więcej znaczków niż Ania. Zapisz wyrażenie opisujące ile znaczków mają razem Ania i Tomek. LIczbę znaczków oznacz literką od pierwszej litery wyrazu. Liczba znaczków Ani = z Liczba znaczków Tomka to 2 razy więcej znaczków niż Ani = 2z Wyrażenie opisujące sumę znaczków Ani i Tomka: z + 2z = 3z Moduł 2. Wyrażenia algebraiczne Twój cel: Zapisywać wyrażenia algebraiczne na podstawie opisu. Zobacz: Zamiast pisać, że Tomek ma trzy jabłka i cztery banany, możesz zapisać krócej, czyli zamiast całych słów stosujesz tylko pierwsze litery: 3j + 4b. Nie możesz dodać tych liczb 3 i 4, bo przecież dotyczą innych owoców. Lekcja 1: Co to w ogóle jest i po co mi litery? (Zasada koszyka z owocami) Zwróć uwagę, że między liczbą “3” a literą “j” nie ma widocznego żadnego znaku, to oznacza, że tam jest mnożenie, czyli 3 jabłka to “3 razy j”. Rozwiązanie zadania krok po kroku z komentarzem: Ania ma pewną liczbę znaczków, a Tomek ma o 35 znaczków więcej niż ma Ania. Zapisz wyrażenie opisujące ile znaczków mają razem Ania i Tomek. Liczbę znaczków oznacz literką od pierwszej litery wyrazu. Liczba znaczków Ani = z Liczba znaczków Tomka to o 35 znaczków więcej niż Ani = 35 + z. Wyrażenie opisujące sumę znaczków Ani i Tomka: z + z + 35 = 2z + 35.
Zadanie 2.1. Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego rozwiązanie zadania tekstowego: Moduł 2. Wyrażenia algebraiczne Zadania do samodzielnego rozwiązania Nie wiesz, jak zrobić to zadanie lub chcesz sprawdzić sposób roziązania? Zobacz, jak rozwiązuję je krok po kroku. Zeskanuj kod QR, aby przejść do wideo z rozwiązywaniem zadania. a) Tomek kupił pewną liczbę zeszytów, a Adam kupił o 2 zeszyty więcej niż Tomek. Ile zeszytów kupili chłopcy razem? Zapisz wyrażenie algebraiczne opisujące sumę zeszytów chłopców. b) Monika kupiła pewną liczbę kilogramów jabłek po 5zł za kilogram i pewną liczbę kilogramów bananów po 6zł za kilogram. Zapisz wyrażenie algebraiczne, opisujące kwotę do zapłaty za zakupione owoce. c) Kasia kupiła pewną liczbę bułek, a Asia kupiła 3 razy więcej bułek od Kasi. Zapisz wyrażenie algebraiczne, opisujące liczbę wszystkich zakupionych bułek
Zobacz: Czy 2 jabłka i 3 banany to 5 jabłko-bananów? Nie, to nadal są 2 jabłka i 3 banany. Wyrażenia 2x + 3y nie da się bardziej uprościć i tak je zostawiamy! Druga pułapka Podobnie jest z takim wyrażeniem: Redukcja wyrazów podobnych wygląda tak, że najpierw rozpoznajesz te same litery i zwracasz też uwagę, czy mają potęgi, a potem wykonujesz działania na liczbach, które stoją przed liczbami. Zobacz na ten przykład z komentarzem: Dane jest wyrażenie: Moduł 2. Wyrażenia algebraiczne Twój cel: Uporządkować wyrażenie algebraiczne, czyli dopasowywać te same wyrazy do siebie. Zobacz: Redukcja to po prostu sprzątanie pokoju. Wyobraź sobie, że masz na podłodze porozrzucane klocki. Nie mieszasz klocków LEGO z puzzlami. W matematyce dodajemy do siebie tylko TE SAME litery (wyrazy podobne). Jabłka do jabłek, banany do bananów.” Lekcja 2: Redukcja wyrazów podobnych (Wielkie sprzątanie) Musisz uważać na pułapki: Pierwsza pułapka: Gdy masz wyrażenie 2x + 3y to nie możesz zapisać, że to jest 5xy. Wiesz dlaczego? Tego też nie możemy dalej dodać. To są dwa różne wyrazy. Inaczej mówiąc to jest tak, jakbyś chciał dodać jabłko do szarlotki. Przecież to się dwie różne rzeczy. Tylko te wyrazy w czerwonej pętelce są podobne, bo mają taką samą literkę.
Pewnie myślisz sobie, że przecież są jeszcze inne wyrazy, gdzie występuje litera x. No tak, ale to już jest ta literka w potędze (więc tak, jak ta “szarlotka”), a znowu x i y to już też inny wyraz, bo występuje grupa liter. Czyli przy redukcji będzie tak: 1.Wykonujemy w pamięci działanie: 2 - 6 = - 4 (wyrazy w pętelkach) 2. Zapisujemy po redukcji: Czyli najpierw pomarańczowe pętelki: wyrazy 5x i (-x) i jeszcze (-6x). Wykonujesz działania na liczbach i do wyniku dopiszesz literę. 5 - 1 - 6 = 4 - 6 = - 2. Będzie wtedy (-2x). 3.To jest już wyrażenie po redukcji. Już więcej nic nie możesz dalej zredukować. Moduł 2. Wyrażenia algebraiczne Inny przykład do wykonania redukcji wyrazów podobnych (wyrazy podobne są zaznaczane pętelką w tym samym kolorze i koniecznie zwróć uwagę, że pętelka “zahacza” też o znak, który stoi przed wyrazem - to bardzo ważne, bo to jest znak liczby przed literą i to mówi Tobie, jakie masz zrobić działanie między tymi wyrazami podobnymi): Teraz niebieskie pętelki: wyrazy 9y i (- y). Wykonujesz działania na liczbach i do wyniku dopiszesz literę. 9 - 1 = 8. Będzie wtedy 8y. Teraz zielone pętelki: wyrazy 2xy i 10xy. Wykonujesz działania na liczbach i do wyniku dopiszesz litery. 2 + 10 = 12. Będzie wtedy 12xy. Po redukcji wyrażenie będzie wyglądać tak: .
Liczbę 2 mnożysz po kolei przez każdy wyraz z nawiasu. Pamiętaj o znakach liczb. Przy literze y stoi znak minus, więc mnożysz 2 razy (-1) i dopisujesz literę y. Przy pozostałych wyrazach nie ma znaku zapisanego, więc to oznacza, że jest “+”. Moduł 2. Wyrażenia algebraiczneTwój cel: Wiedzieć, jak opuścić nawias, przed którym stoi liczba. Użyj wyobraźni: “Liczba przed nawiasem to dostawca pizzy. Nawias to dom, w którym mieszka kilku lokatorów (np. 2x oraz - 3). Kurier musi wręczyć pizzę KAŻDEMU lokatorowi w tym domu. Nie może dać tylko pierwszemu!” Lub zapamiętaj, że jak coś stoi przed nawiasem to znaczy, że dotyczy każdego wyrazu z nawiasu. Lekcja 3: Mnożenie jednomianu przez sumę (Roznosiciel pizzy) Przykładowe rozwiązanie zadań z komentarzem: Liczba przed nawiasem oznacza, że trzeba wziąć połowę z każdej liczby z nawiasu. Połowa 4 to 2 i dopisujemy literę, połowa z liczby (-10) to (-5) Przykład: a) b)
Zadanie 2.2. Zredukuj wyrazy podobne w wyrażeniach: Moduł 2. Wyrażenia algebraiczne Zadania do samodzielnego rozwiązania Nie wiesz, jak zrobić to zadanie lub chcesz sprawdzić sposób roziązania? Zobacz, jak rozwiązuję je krok po kroku. Zeskanuj kod QR, aby przejść do wideo z rozwiązywaniem zadania. a) b) c) d) e) f) g)
Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci: Moduł 2. Wyrażenia algebraiczneTwój cel: Skutecznie opuszczać nawiasy ze zmianą znaku na przeciwny. Użyj wyobraźni: „Minus przed nawiasem to matematyczny czarnoksiężnik. Ma potężną moc: kiedy likwidujesz nawias, ten minus ZMIENIA ZNAKI wszystkim lokatorom w środku na absolutnie przeciwne. Plus zamienia w minus, a minus w plus. Sam czarnoksiężnik po wykonaniu czaru znika.” Lekcja 4: Minus przed nawiasem (Najgroźniejsza pułapka w 7 klasie) Przykładowe rozwiązanie zadań z komentarzem: Czyli: Uwaga: „Widzisz minus przed nawiasem? Zatrzymaj się, weź głęboki oddech i zmień WSZYSTKIE znaki przy liczbach, gdy będziesz opuszczać nawias!” Żeby doprowadzić wyrażenie do najprostszej postaci musisz usunąć nawias i zapisać to wyrażenie już bez nawiasów. Nie możesz jednak tak po prostu wymazać gumką nawiasów i działać dalej. Trzeba uważnie postąpić i zmienić znaki liczb przy literach na przeciwne, czyli jak liczba jest dodatnia to przechodzi na ujemną, a gdy ujemna to robi się dodatnia. Widzisz, że jak 3x było w nawiasie, to było dodatnie, więc bez nawiasu robi sięujemne - zaznaczyłam to czerwonym kolorem. Liczba 5 była w nawiasie dodatnia, a po opuszczeniu nawiasu jest ujemna - zaznaczyłam to zielonym kolorem.
Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci: Moduł 2. Wyrażenia algebraiczne Teraz kolejny krok w tym wyrażeniu to redukcja wyrazów podobnych. Inne Przykładowe rozwiązanie zadania z komentarzem: Teraz będę wykonywać działania w nawiasie, zanim opuszczę nawias: Czyli 7 - 3 = 4, więc przy literze x zapisuję 4, wychodzi wtedy 4x. Wyraz (-5) nie ma wyrazu podobnego. Czyli wynik 4x - 5 kończy uproszczenie tego wyrażenia. W tym wyrażeniu przed nawiasem oprócz minusa stoi też liczba 2. To oznacza, że ten minus przepiszemy, a liczbę dwa pomnożymy przez wyrazy z nawiasu, pozostając narazie jeszcze w tym nawiasie. Czyli zapisuję ponownie to wyrażenie i jego dalszy ciąg. Podkreślę wyrazy podobne kolorem czerownym: Teraz jest czas na opuszczenie nawiasów: Czy widzisz, że po liczbie 3 pojawiło się dodawanie? To właśnie jest możliwe, gdy mamy sytuację minus i minus obok siebie. Wtedy wychodzi plus.
Moduł 2. Wyrażenia algebraiczne Żeby lepiej zapamiętać taką sytuację i sposób rozwiązania pokazuję moim uczniom taki zapis - pojawienie się “buźki z bródką”: Pierwsze dwa wyrazy, czyli 4x i 5 przepisujesz, a potem dopisujesz już liczby ze zmienionym znakiem podczas opuszczania nawiasu. Kolejny krok to redukcja wyrazów podobnych. Zostały podkreślone na zielono - jedna para, oraz otoczone zieloną pętlą - druga para wyrazów. Po redukcji wyrażenie jest równe: Gdy już mamy opuszczony nawias, wykonujemy redukcję wyrazów podobnych: Inne Przykładowe rozwiązanie zadania z komentarzem:
Zadanie 2.3. Opuść nawiasy i zredukuj wyrazy podobne w wyrażeniach: Moduł 2. Wyrażenia algebraiczne Zadania do samodzielnego rozwiązania Nie wiesz, jak zrobić to zadanie lub chcesz sprawdzić sposób roziązania? Zobacz, jak rozwiązuję je krok po kroku. Zeskanuj kod QR, aby przejść do wideo z rozwiązywaniem zadania. a) b) c) Zadanie 2.4. Opuść nawiasy i zredukuj wyrazy podobne w wyrażeniach:
Moduł 2. Wyrażenia algebraiczneTwój cel: Wiedzieć, co to znaczy obliczyć wartość wyrażenia dla jakiejś konkretnej liczby zamiast niewiadomej. Ujawnienie tajemnicy: “To jest moment, w którym zabawa w chowanego się kończy. Wiemy już, co ukrywało się w pudełku z napisem x. Teraz wyjmujemy literę x, a w jej miejsce wkładamy konkretną liczbę. Pamiętaj tylko o niewidzialnym znaku mnożenia!” Lekcja 5: Obliczanie wartości liczbowej (Podstawianie pod literki) Zobacz: Oblicz wartość wyrażenia: dla x = - 2. Krok 1: Wstawiamy (-2) w nawiasie wszędzie tam, gdzie był x: Krok 2: Najpierw potęgowanie! Mamy: Krok 3: Wykonujemy mnożenie: Krok 4: Dwa minusy obok siebie dają plus! Odpowiedź: Wartość tego wyrażenia wynosi 22 dla x = - 2. Przykładowe rozwiązanie zadania z komentarzem:
Zadanie 2.5. Oblicz wartość podanego wyrażenia dla x = -1 : Moduł 2. Wyrażenia algebraiczne Zadania do samodzielnego rozwiązania Nie wiesz, jak zrobić to zadanie lub chcesz sprawdzić sposób roziązania? Zobacz, jak rozwiązuję je krok po kroku. Zeskanuj kod QR, aby przejść do wideo z rozwiązywaniem zadania. Zadanie 2.6. Oblicz wartość podanego wyrażenia x = : a) b)
Moduł 3. RównaniaTwój cel: Zrozumienie, że lewa strona (L) musi dokładnie równać się prawej stronie (P) oraz że równanie to proces, a nie zgadywanka. Wyobraź sobie starą wagę szalkową w sklepie. Żeby strzałka była idealnie na środku, na lewej i prawej szalce musi leżeć dokładnie taki sam ciężar. Znak równości (=) to ten środek wagi. Jeśli do lewej szalki dorzucisz 2 kg, waga się przechyli. Żeby wrócić do równowagi, musisz dokładnie to samo (dorzucić 2 kg) zrobić po prawej stronie. To najważniejsza zasada: co robisz z jednej strony równania, MUSISZ zrobić też z drugiej! Lekcja 1: Czym jest równanie? (Zasada wagi szalkowej) Przykładowe rozwiązanie zadania z komentarzem: Sprawdź, czy liczba 3 spełnia równanie 2x + 5 = 11. Instrukcja: Podstaw trójkę za x. Lewa strona to: Prawa strona to 11. Skoro 11 = 11, to liczba 3 jest rozwiązaniem (waga jest w równowadze!).
Moduł 3. Równania Twój cel: Opanowanie techniki segregowania: iksy na lewo, zwykłe liczby na prawo. Zobacz: Naszym ostatecznym celem jest doprowadzenie do sytuacji, w której iks (x) stoi zupełnie sam po lewej stronie, a po prawej mamy gotowy wynik (np. x = 5). Żeby to zrobić, musimy zrobić porządek. Umówmy się, że lewa strona to 'dom dla iksów', a prawa to 'dom dla zwykłych liczb'. Znak równości (=) to granica państwa. Jeśli jakakolwiek liczba lub iks chce uciec do drugiego domu i przekracza granicę, musi zmienić bilet – czyli ZMIENIĆ ZNAK na przeciwny! Plus zamienia się w minus, a minus w plus. Lekcja 2: Przenoszenie stronami, czyli „Zmień bilet przy przekraczaniu granicy” Przykładowe rozwiązanie zadania z komentarzem: Rozwiąż równanie: 5x - 3 = 2x + 9 Krok 1: Przenosimy 2x na lewą stronę (zmienia znak z + na -): 5x - 2x - 3 = 9 Krok 2: Przenosimy - 3 na prawą stronę (zmienia znak z - na +): 5x - 2x = 9 + 3 Krok 3: Redukujemy (robimy porządki w domach): 3x = 12.
Zadanie 3.1. Zrób porządki w równaniach, czyli doprowadź równanie do postaci takiej, jak w przykładowym zadaniu na poprzedniej stronie ebooka: Moduł 3. Równania Zadania do samodzielnego rozwiązania Nie wiesz, jak zrobić to zadanie lub chcesz sprawdzić sposób roziązania? Zobacz, jak rozwiązuję je krok po kroku. Zeskanuj kod QR, aby przejść do wideo z rozwiązywaniem zadania. a) b) c)
Moduł 3. Równania Twój cel: Wiedzieć co zrobić, gdy wyjdzie nam np. 3x = 12 albo 0,5x = 6, albo Zobacz: W poprzedniej lekcji doszliśmy do momentu 3x = 12. Ale my nie chcemy wiedzieć, ile to są trzy iksy! Chcemy czystego, pojedynczego x. Pamiętasz, że między 3 a x stoi niewidzialny znak mnożenia? Żeby uwolnić iksa, musimy zastosować operację przeciwną do mnożenia – czyli podzielić obie strony przez tę liczbę, która stoi przy x. Piszemy wtedy z boku ukośną kreskę / i dajemy komendę dla obu stron. Lekcja 3: Ostatnie cięcie, czyli pozbywanie się liczby przy iksie Przykładowe rozwiązanie zadania z komentarzem: Masz równanie: Musisz wykonać obustronnie dzielenie przez 3, czyli zapisujesz ten ukośnik i znak podzielić i przez ile, czyli przez 3:/ : 3 Czyli rozwiązaniem równania jest liczba 4.
Moduł 3. Równania Pułapka z ułamkiem: Co zrobić, gdy przy iksie stoi ułamek dziesiętny? Zobacz, gdy stoi ułamek dziesiętny to pomnóż najpierw obie strony równania przez 10, gdy ułamek ma jedno miejsce po przecinku, gdy ma dwa miejsca po przecinku to pomnóż przez 100 itd. Potem podziel obie strony równania przez liczbę, która stoi przy iksie i gotowe. Masz wtedy równanie:/ 10 Czyli rozwiązaniem równania jest liczba 12. Przykładowe rozwiązanie zadania z komentarzem: Masz równanie: Mnożysz przez 10 obie strony: Teraz dzielisz obie strony równania przez 5:/ : 5
Moduł 3. Równania Pułapka z ułamkiem: Co zrobić, gdy przy iksie stoi ułamek zwykły? Zobacz, gdy stoi ułamek zwykły to pomnóż najpierw obie strony równania przez taką samą liczbę, która jest w mianowniku ułamka (na dole). Potem podziel obie strony równania przez liczbę, która stoi przy iksie i gotowe. Masz wtedy równanie:/ 3 Czyli rozwiązaniem równania jest liczba 13,5. Przykładowe rozwiązanie zadania z komentarzem: Masz równanie: Mnożysz przez 3 obie strony: Teraz dzielisz obie strony równania przez 2:/ : 2
Moduł 3. Równania Twój cel: Połączyć umiejętności z Modułu 2 (wyrażenia algebraiczne) z rozwiązywaniem równań. To jest standardowe zadanie na dużą klasówkę lub egzamin. Lekcja 4: Wielkie Combo (Nawiasy + Równania) Algorytm „Mistrza Równań” : a.Rozbij nawiasy (pomnóż liczbę przed nawiasem przez każdy wyraz w środku – Zasada kuriera z pizzą). b.Uważaj na minusy przed nawiasami (Zasada czarnoksiężnika). c.Uporządkuj strony (iksy na lewo, liczby na prawo ze zmianą znaków – Zasada zmiany biletu). d.Zredukuj wyrazy po obu stronach. e.Podziel przez liczbę stojącą przy iksie. Masz równanie: a. Mnożenie przez liczbę spoza nawiasu:/ : 2 Czyli rozwiązaniem równania jest liczba 9,5. Przykładowe rozwiązanie zadania z komentarzem: b. Minus przed nawiasem i zmiana znaków po usunięciu nawiasu: c. Iksy po lewej, reszta na prawo ze zmianą znaku: d. Porządkowanie stron, czyli redukcja wyrazów podobnych: e. Dzielenie przez liczbę stojacą przy iksie:
Moduł 3. Równania Twój cel: Pokonać lęk przed długimi tekstami w zadaniach i zamiana słów na matematyczne równanie. Lekcja 5: Zadania tekstowe – jak zacząć i przeżyć? (Przekładaniec językowy) Twój Słowniczek polsko-matematyczny to genialny sposób na zrozumienie tekstu zadania: „O 5 więcej” , czyli niewiadoma/szukana + 5 „O 3 mniej”, czyli niewiadoma - 3 „2 razy więcej”, czyli niewiadoma/szukana razy 2 „Trzy razy mniej”, czyli niewiadoma/szukana podzielić na trzy (można też zapisać jedna trzecia tej niewiadomej) W klasie 7a jest o 4 chłopców więcej niż dziewcząt. Razem w klasie jest 24 uczniów. Ilu jest chłopców, a ile dziewcząt?” Dziewczęta (jest ich mniej): x Chłopcy (o 4 więcej): x + 4 Razem uczniów: 24 Układamy równanie: x + (x + 4) = 24 Opuszczamy nawias i redukujemy wyrazy podobne: 2x + 4 = 24 Porządkujemy równanie: 2x = 20 Wyliczamy iksa: x = 10. Odpowiedź: Dziewcząt jest 10, a chłopców 10 + 4 = 14. Przykładowe rozwiązanie zadania z komentarzem: Potocznie mówi się, że to są zadania z treścią, czyli po prostu tekst w języku polskim, który musisz przetłumaczyć na język matematyczny. Najważniejsze to wybrać, kto będzie naszym iksem (x). Zazwyczaj iksem nazywamy to, o co pyta nas autor w pytaniu na końcu zadania, albo najmniejszą rzecz w zadaniu.”
Zadanie 3.3. Tato jest cztery razy starszy od córki, a dwa lata temu był od niej pięć razy starszy. Za ile lat będzie trzy razy starszy od córki? Moduł 3. Równania Zadania do samodzielnego rozwiązania Nie wiesz, jak zrobić to zadanie lub chcesz sprawdzić sposób roziązania? Zobacz, jak rozwiązuję je krok po kroku. Zeskanuj kod QR, aby przejść do wideo z rozwiązywaniem zadania. Zadanie 3.4. Za 4 bilety normalne i 9 biletów ulgowych zapłacono 145zł. Bilet ulgowy był o 7zł tańszy od biletu normalnego. Oblicz, ile kosztował bilet normalny, a ile – ulgowy. Rozwiązanie 3.3 Rozwiązanie 3.4
Moduł 4. Procenty Twój cel: Odbudowanie podstaw. Zakodowanie w głowie, że procent nie istnieje samodzielnie – zawsze jest procentem z czegoś. Lekcja 1: Co to jest procent? (Zasada tabliczki czekolady) Wizualny słowniczek "Ekspresowych Procentów" (Do zapamiętania na już): 100% = 1 (całość) 50% = (połowa - dzielisz przez 2) 25% = (ćwiartka - dzielisz przez 4) 10% = (jedna dziesiąta - odcinasz jedno zero lub przesuwasz przecinek o jedno miejsce w lewo) „Słowo 'procent' pochodzi od łacińskiego 'per centum', czyli 'na sto'. Wyobraź sobie wielką tabliczkę czekolady, która ma dokładnie 100 kostek. Cała tabliczka to 100%. Jedna kostka to jedna ze stu, czyli jedna setna. Gdy widzisz napis 25%, w głowie od razu myśl: 'dwadzieścia pięć setnych'. Procent to po prostu ułamek ze stówką w mianowniku, ubrany w ładny znaczek %. Zamieniasz go, zdejmując procent i dopisując 100 na dole.”
Moduł 4. Procenty Twój cel: Nauczyć się prostego schematu na zadania typu „Oblicz 30% z liczby 70”. Lekcja 2: Obliczanie procentu z liczby (Operacja: Wymnóż ich!) „Słowo 'Z' w zadaniach matematycznych (np. procent Z liczby, ułamek Z liczby) prawie zawsze oznacza MNOŻENIE. Masz obliczyć 20% z 60? Zamień procent na ułamek i pomnóż go przez tę liczbę.” Zadanie z trikiem (Odcinanie zer): Oblicz 20% z 60. Krok 1: Zamieniamy procent na ułamek: Krok 2: Mnożymy: Trik Autora: Skróć zera na górze i na dole! Skreślamy dwa zera na górze (jedno przy 20, jedno przy 60) i dwa zera na dole (w stówce). Zostaje: . Czysta magia, zero ułamków! I sposób: Odpowiedź: 20% z liczby 60 to 12. Zadanie: Oblicz 20% z liczby 60.
Moduł 4. Procenty Gdy znasz, ile to jest 100%, wyznaczasz 10% i 1%. Piszesz wtedy tak: 100% to 60 10% to 6 1% to 0,6 W zadaniu mamy obliczyć 20% z liczby 60, czyli gdy mamy wyznaczone 10% to wystarczy tą liczbę, która odpowiada wartości 10% pomnożyć przez 2: II sposób: Odpowiedź: 20% z liczby 60 to 12.10% III sposób: Gdy znasz, ile to jest 100%, zapisujesz to jako proporcję: 100% to 60 20% to x Teraz zamiast wyrazu “to” rysujesz długą kreskę: 100% -------------------- 60 20% -------------------- x
Moduł 4. Procenty Odpowiedź: 20% z liczby 60 to 12. Iks to liczba, której szukamy, czyli tej, która odpowiada 20%. Teraz będziemy mnożyć “na krzyż”, czyli tak, jak pokazują strzałki:100% -------------------- 60 20% -------------------- x Krok 4: Rozwiązujesz jak zwykłe równanie: Krok 1: Zgodnie ze wskazaniami strzałek mnożymy 100 i x, oraz 60 i 20. Krok 2: Pomijamy symbol procentów i innych jednostek. Krok 3: Wykonujemy obliczenia tylko na samych liczbach. Trzeba tylko pamiętać, aby przy zapisywaniu proporcji ustawiać procenty pod procentami a pozostałe liczby pod sobą (powstaje kolumna procentów i kolumna innych liczb).
Zadanie 4.1. Oblicz (możesz wykonać kilkoma sposobami): a) 20% z liczby 50 b) 45% z liczby 220 c) 2% z liczby 83 Moduł 4. Procenty Zadania do samodzielnego rozwiązania Nie wiesz, jak zrobić to zadanie lub chcesz sprawdzić sposób roziązania? Zobacz, jak rozwiązuję je krok po kroku. Zeskanuj kod QR, aby przejść do wideo z rozwiązywaniem zadania.
Moduł 4. Procenty Twój cel: Szybko obliczyć cenę po zmianie, bez rozpisywania wielkich proporcji. Lekcja 3: Podwyżki i obniżki (Sklepowe rewolucje) Zobacz: Pierwsza sprytna droga do szybkiego obliczenia ceny po zmianie: Gdy sklep obniża cenę butów o 20%, większość uczniów najpierw liczy, ile wynosi te 20%, a potem odejmuje to od starej ceny. To dobra metoda, ale długa. Zrób to jak mistrz w jednym kroku! Jeśli cena na początku to 100%, a sklep daje obniżkę o 20%, to znaczy, że musisz zapłacić 80% nowej ceny (100 - 20 = 80). Liczysz po prostu 80% z początkowej kwoty i masz cenę po obniżce! A tutaj? Uwaga! Pułapka wielokrotnej zmiany cen (Pewniak na klasówkę): „Towar kosztował 100 zł. Najpierw podniesiono jego cenę o 10%, a potem nową cenę obniżono o 10%. Czy towar kosztuje znowu 100 zł?” Odpowiedź brzmi: „NIE! To najczęstszy haczyk. Pierwsza podwyżka była od 100 zł. Cena rośnie do 110 zł, bo 10% ze 100 to 10, czyli 100zł + 10zł = 110zł. Nowa cena to 110zł. Ale druga obniżka jest liczona już z tej nowej, wyższej kwoty, czyli liczysz 10% ze 110 zł i to jest 11 zł. 110zł - 11zł = 99zł. Odpowiedź: Końcowa cena to 99zł. Zawsze pilnuj, z jakiej kwoty w danym momencie liczysz procent!”
Zadanie 4.2. Rower kosztował 2000zł. Podczas sezonowej wyprzedaży jego cenę obniżono najpierw o 10%, a potem jeszcze o 20%. Jaka jest nowa cena roweru po tych dwóch obniżkach? Zadanie 4.3. Ewa lubi promocje podczas robienia zakupów. Na półce w sklepie były dwie różne oferty w promocji. Która oferta jest tańsza? Moduł 4. Procenty Zadania do samodzielnego rozwiązania Nie wiesz, jak zrobić to zadanie lub chcesz sprawdzić sposób roziązania? Zobacz, jak rozwiązuję je krok po kroku. Zeskanuj kod QR, aby przejść do wideo z rozwiązywaniem zadania.Cena przed promocją: 90złCena przed promocją: 80zł-25%-20%Rozwiązanie 4.2Rozwiązanie 4.3
Moduł 4. Procenty Twój cel: Oswojenie i opanowanie gotowego schematu na najtrudniejsze zadanie w tym dziale. Lekcja 4: Zadania z solankami, czyli „Stężenia procentowe” (Rozbijanie mikstury) Zobacz: Metoda trzech garnków: „Zadania z solanką (lub syropem cukrowym) polegają na tym, że mieszasz ze sobą wodę i sól. Najważniejsze to pamiętać, że woda paruje lub się dolewa, ale ilość czystej soli w garnku pozostaje bez zmian (chyba że dosypujesz czystej soli).” Garnek 1 + Garnek 2 = Garnek 3 (Mieszanka = nowy roztwór)+= 2% solanka 3 kg 0% woda 2 kg mieszanka = nowa solanka Jakie będzie steżenie procentowe nowej solanki? ? % Do 3 kg solanki o stężeniu 2% dolano 2 kg czystej wody. Jakie jest stężenie nowego roztworu?” Przykładowe rozwiązanie zadania z komentarzem: Garnek, który zawiera wodę oznaczasz jako 0%, bo woda jest czysta, wolna od soli, a procent oznacza zawartość soli w roztworze. 3 kg + 2 kg = 5 kg
Moduł 4. Procenty Zobacz: Teraz wykonujesz mnożenie na liczbach w każdym garnku osobno (procenty zapisujesz jako ułamki o mianowniku 100, a 0% to po prostu 0) 2% razy 3kg + 0% razy 2 kg = x% razy 5 kg%% Odpowiedź: Nowy roztwór ma stężenie procentowe równe 1,2%. Podsumowanie: Na początku w pierwszym garnku stężenie procentowe wynosiło 2% a ilość roztworu była równa 3kg. Po dolaniu 2kg wody roztwór uległ rozcieńczeniu, więc stężenie procentowe soli zmniejszyło się i w 5kg wynosi 1,2%.
Zadanie 4.4. Jakie będzie stężenie procentowe solanki o stężeniu 5% i wadze 100g, jeśli zostanie dolane do niej 30g wody? Moduł 4. Procenty Zadania do samodzielnego rozwiązania Nie wiesz, jak zrobić to zadanie lub chcesz sprawdzić sposób roziązania? Zobacz, jak rozwiązuję je krok po kroku. Zeskanuj kod QR, aby przejść do wideo z rozwiązywaniem zadania. Zadanie 4.5. Jakie będzie stężenie procentowe solanki o stężeniu 5% i wadze 100g, jeśli zostanie dodane do niej 20g soli? Zadanie 4.6. Jakie będzie stężenie procentowe solanki o stężeniu 5% i wadze 100g, jeśli zostanie dodana do niej solanka o stężeniu 30% i wadze 220g? Rozwiązanie 4.4 Rozwiązanie 4.6Rozwiązanie 4.5
MODUŁ TERMIN NAUKI PRZEROBIONY TAK/NIE/DO POWTÓRZENIA MODUŁ 1 MODUŁ 2 MODUŁ 3 MODUŁ 4 Dziękuję za zakup mojego Edubooka Zestaw ratunkowy. Mam nadzieję, że był pomocny w nauce matematyki w tych czterech ważnych modułach. Znajomość zagadnień opisanych przeze mnie oraz umiejętność rozwiązywania zadań zaproponowanych przy lekcjach, pozwoli bez problemu opanować wymagania na poszczególne sprawdziany z potęg, pierwiastków, wyrażeń algebraicznych, równań i procentów oraz na egzamin ósmoklasisty. Sylwia Toboła Podsumowanie Kilka słów od autora Zapraszam na moją stronę internetową po więcej materiałów do nauki matematyki Twoja Checklista
Chcesz wiedzieć więcej o równaniach pierwszego stopnia z jedną niewiadomą? Chcesz znać różne sposoby rozwiązywania równań? Edubook Równania zawiera szczegółowe opisy i rozwiązania równań Więcej szczegółów o tym pomocnym materiale znajdziesz kilkając w link: https://szkolamatematykionline.pl/edubook-2/ lub poprzez kod QR koniec