Peluang 1 P E L U A N G E. Peluang Kejadian Majemuk Peluang kejadian majemuk adalah rangkaian beberapa kejadian yang dihubungkan dengan “dan” (Dilambangkan dengan ) serta “atau” (Dilambangkan dengan ), dan dirumuskan : P (A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Skema pembagian kejadian majemuk 1. Kejadian Majemuk Saling Lepas Dua kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika dua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan, atau dengan kata lain tidak saling terkait (tidak mempunyai irisan). Dirumuskan : P(A B) = 0 P(A B) = P(A) + P(B) Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah contoh Soal berikut ini : 01. Dua buah dadu dilantunkan serentak satu kali. Jika A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang habis dibagi 5 dan B adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi 4, maka tentukanlah peluang : (a) P(A B) (b) P(A B) Jawab Kejadian Majemuk Saling Lepas P(A B) = 0 Tidak Saling Lepas P(A B) = Saling Bebas P(A B) = P(A).P(B) Tidak Saling Bebas P(A B) P(A).P(B) Saling Bebas Bersyarat Saling Bebas Tidak Bersyarat
Peluang 2 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , n(S) = 6 A = {5} , n(A) = 1 B = {4} , n(B) = 1 Karena A dan B saling lepas, maka: (a) P(A B) = 0 (b) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) =6 1 +6 1 P(A B) =3 1 02. Dua buah dadu dilantunkan serentak satu kali. Jika A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya 5 dan B adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang hasil kalinya 6, maka tentukanlah peluang : (a) P(A B) (b) P(A B) Jawab n(S) = 6 x 6 = 36 A = {14, 41, 23, 32} , n(A) = 4 B = {16, 61, 23, 32} , n(B) = 4 A B = {23, 32} , n(A B) = 2 Karena A dan B tidak saling lepas, maka: (a) P(A B) =36 2 =18 1 (b) P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) P(A B) =36 4 +36 4 –36 2 P(A B) =36 6 P(A B) =6 1 03. Sebuah dadu merah dan sebuah dadu putih dilantunkan serentak satu kali. Tentukanlah peluang munculnya angka 3 pada dadu merah atau angka 5 pada dadu putih Jawab n(S) = 6 x 6 = 36 A = {31, 32, 33, 34, 35, 36} , n(A) = 6 B = {15, 25, 35, 45, 55, 65} , n(B) = 6 A B = {35} , n(A B) = 1 Karena A dan B tidak saling lepas, maka: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) P(A B) =36 6 +36 6 –36 1 =36 11
Peluang 3 04. Dalam sebuah keranjang terdapat 4 buah apel merah dan 4 buah apel hijau. Jika diambil tiga buah apel secara acak dari dalam keranjang tersebut, tentukanlah peluang terpilihnya 2 apel merah dan 2 apel hijau Jawab Misalkan A adalah kejadian terambilnya 2 apel merah, dan B adalah kejadian terambilnya 2 apel hijau, maka A dan B saling lepas, Sehingga P(A B) = 0 05. Sebuah kantong berisi 5 bola merah dan 2 bola biru. Kantong lain berisi 3 bola merah dan 1 bola biru. Jika sebuah bola diambil secara acak dari salah satu kantong, maka tentukan pelauang terambilnya bola biru. Jawab P(1 biru) = P( 1 biru pada kantong pertama atau 1 biru pada kantong kedua) P(1 biru) = P(1 biru pada kantong pertama) + P(1 biru pada kantong kedua) P(1 biru) = 2 1 7 2 + 2 1 4 1 P(1 biru) =56 15 2. Kejadian Saling Bebas Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika muncul atau tidaknya kejadian A tidak mempengaruhi muncul atau tidaknya kejadian B. Dengan kata lain A dan B memiliki keterkaitan tetapi tidak saling mempengaruhi. Jika dirumuskan secara matematis, maka kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika memenuhi : P(A B) = P(A) x P(B) Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah contoh Soal berikut ini : 01. Dua dadu dilantunkan serentak satu kali. Misalkan A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya 8 dan B adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang hasil kalinya 12, maka selidikilah apakah A dan B saling bebas ? Jawab A = {26, 62, 35, 53, 44} , n(A) = 5 B = {34, 43, 62, 26} , n(B) = 4 A B = {62, 26} , n(A B) = 2 n(S) = 36 maka P(A) x P(B) =36 5 x36 4 =324 5 P(A B) =36 2 =18 1 Karena P(A B) ≠ P(A) x P(B) maka A dan B tidak saling bebas
Peluang 4 02. Dua dadu berwarna merah dan putih dilantunkan serentak satu kali. Misalkan A adalah kejadian munculnya angka 4 pada dadu merah dan B adalah kejadian munculnya angka 6 pada dadu putih, maka selidikilah apakah A dan B saling bebas ? Jawab A = {41, 42, 43, 44, 45, 46} , n(A) = 6 B = {16, 26, 36, 46, 56, 66} , n(B) = 6 A B = {46} , n(A B) = 1 n(S) = 36 maka P(A) x P(B) =36 6 x36 6 =36 1 P(A B) =36 1 Karena P(A B) = P(A) x P(B) maka A dan B saling bebas 03. Sebuah dadu dan dua buah uang logam dilantunkan serentak satu kali. Jika A adalah kejadian munculnya dua “Angka” pada uang logam dan B adalah kejadian munculnya angka 5 pada mata dadu, maka selidikilah apakah dua kejadian tersebut saling bebas ? dan tentukanlah peluang A atau B ! Jawab A = {AA1, AA 2, AA 3, AA 4, AA 5, AA 6} , n(A) = 6 B = {AA5, AG5, GA5, GG5} , n(B) = 4 A B = {AA5} , n(A B) = 1 n(S) = 2 x 2 x 6 = 24 maka P(A) x P(B) =24 6 x24 4 =24 1 P(A B) =24 1 Karena P(A B) = P(A) x P(B) maka A dan B saling bebas P (A B) = P(A) + P(B) – P(A B) P (A B) =24 6 +24 4 –24 1 P (A B) =8 3 04. Misalkan A dan B adalah dua kejadian saling bebas, dimana P(A) = 2/3 dan P(B) = 1/2. Maka tentukanlah : (a) P(A B) (b) P(A B)c (c) P(Ac B) Jawab (a) P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) =3 2 +2 1 –3 2 x2 1
Peluang 5 =6 4 +6 3 –6 2 =6 5 (b) P(A B)c = 1 – P(A B) = 1 – P(A).P(B) = 1 –3 2 x2 1 = 1 –3 1 =3 2 (c) P(Ac B) =)P(Ac x P(B) = [1 – P(A)] x P(B) = [1 –3 2 ] x2 1 =3 1 x2 1 =6 1 05. Dua orang sahabat Amir dan Budi bermaksud mengikuti ujian masuk perguruan tinggi. Jika peluang Amir lulus 3/4 dan peluang Budi lulus 1/3, maka tentukanlah peluang : (a) Kedua-duanya tidak lulus (b) Amir lulus tetapi Budi tidak lulus Jawab Jika P(A) adalah peluang Amir lulus, dan P(A) =4 3 maka)P(Ac = 1 –4 3 =4 1 Jika P(B) adalah peluang Budi lulus, dan P(B) =3 1 maka)P(Bc = 1 –3 1 =3 2 (a))BP(A cc =4 1 x3 2 =6 1 (b))BP(A c =4 3 x3 2 =2 1 06. Dalam sebuah kelas terdiri atas 30 siswa, dimana 16 orang diantaranya menyukai olah raga dan 12 orang menyukai seni serta 6 orang siswa tidak menyukai keduanya. Jika ditunjuk seorang siswa secara acak dalam kelas itu, tentukanlah peluang terpilihnya : (a) Siswa yang menyukai keduanya (b) Siswa yang menyukai olah raga saja
Peluang 6RSabcdTVKulkasabcd Jawab a + b + c + d = 30 …………………… (1) a + b = 16 ……………………………. (2) b + c = 12 ……………………………. (3) d = 6 …………………………………... (4) (a) Dari (1) (2) (4) diperoleh : a + b + c + d = 30 16 + c + 6 = 30 Jadi c = 8 Dari (3) diperoleh b + 8 = 12 Jadi b = 4 Jadi P(A) =30 4 =15 2 (b) Dari (2) diperoleh a + 4 = 16 Jadi a = 12 Sehingga P(B) =30 12 =5 2 07. Disuatu wilayah dilakukan survey terhadap kepemilikan TV dan kulkas. Hasilnya ternyata 25% dari penduduk di wilayah tersebut memiliki TV saja (tidak punya kulkas) dan 40% memiliki kulkas saja (tidak punya TV). Sedangkan 20% penduduk tidak memiliki keduanya. Jika dipilih seorang penduduk secara acak, tentukanlah peluang penduduk tersebut memiliki TV dirumahnya Jawab a + b + c + d = 100 ..………………… (1) a = 25 …………………………………. (2) c = 40 …………………………………. (3) d = 20 ………..………………………... (4) Dari (1) (2) (3) (4) diperoleh : a + b + c + d = 100 25 + b + 40 + 20 = 100 Jadi b = 15 Jadi banyaknya penduduk yang mempunyai TV = a + b = 25 + 15 = 40 orang. Sehingga P(A) =100 40 =5 2 = 40%