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Nom et Prénom : ……………………………………… Livret de Mathématiques 3ème
Rappels - Numérique E(§ oL ta o -o E o z .{, -(-r)*(-l)= ,( .( a -.3-?- x(-r\^(-g) =..a , (-z)x s = .(-3h Q- = I {I t . -lO (-z\= . -lO : 2 .lor(- {I) .=(§ c Ê o !I(§ S qJ L .gL(J .c) c(u 6 oL -o E o z + I 1,È= z 15 1o A A xo9= 2 a 2D x r5 I I I oC-- 2 . ? 15 2D t- X C D= IQ : 3oo q oL '6 P (o .Q.) o. oll .o .tL ,9L o- () 6xpô§""k a E E € f (-l-5)'*')- ff\kli^ : (-tÊ X ^1 _5+ (§ L .o E'= =u (§ (.) 2x,- = L- ('-r-)x (x.-r) (- r*) * (-r,) --3x - 1:< A= 5a2r. eo\r,r" Y- =. - 3 È q A A ,l t**-**" , Keàtr,^o ÿr-g-
.G, .g (§ c c o EL o o. oL .( â to 6 a f5 Lt '_1 6 6{ t J Rappels - Géométrie Z (u ooo (I, -c o- o E o E tQ) o\o -c IA o C L È G,rd. Çio,*h. rc*rÉb- a A k:t^qL (\ C tr.'' A ,1 0'r s^k cor.,. ô^ uL\ise On c^!-"-U 0.0 ôGÉ -,----.&" &*^ t1 denx )^ P3- p"Ld carrâ O... le^ @ O^?* O^ Co6tptv-_ 8- ?" carrd * III. * O^ .ru0coQr* e, Rdc^p"oo*. d- Pg$."â^r- t friqnÉ reÂarg " Cr,***æD.{- àa- ?s\€.À,,* .3^ ào- k,*^ç!n-b rec\a,, e. À Ç4'l^o1r- o &...Qo. U.r UÔ I U^ .>l Uk\ -J @ On c-!c^-q- gr" &^ I.i. àW
3ème Thème 1 : Notions de fonctions 1 Découvrir les notions de fonction, d’image et d’antécédent 2 Lire graphiquement des images et des antécédents 3 Utiliser les différentes représentations d’une fonction Thème 2 : Solides 4 Calculer des volumes de solides 5 Reconnaître une sphère, calculer son aire et son volume 6 Se repérer dans l’espace 7 Se repérer dans l’espace : sur une sphère Thème 3 : Arithmétique et Nombres Premiers 8 Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers 9 Rendre irréductible une fraction Thème 4 : Thalès 10 Utiliser le théorème de Thalès pour calculer des longueurs 11 Démontrer que des droites sont parallèles ou non Thème 5 : Puissances 12 Donner l’écriture scientifique d’un nombre 13 Utiliser les puissances d’un nombre quelconque Thème 6 : Calcul littéral (1ère partie) 14 Développer et réduire une expression (double-distributivité) 15 Développer à l’aide d’une identité remarquable 16 Prouver que deux expressions sont égales Thème 7 : Triangles semblables 17 Triangles semblables : définition et utilisation 18 Triangles semblables : démontrer que deux triangles sont semblables Thème 8 : Calcul littéral (2ème partie) 19 Factoriser une expression à l’aide d’un facteur commun 20 Factoriser à l’aide d’une identité remarquable Thème 9 : Statistiques 21 Calculer une moyenne / moyenne pondérée 22 Calculer une étendue 23 Déterminer la médiane d’une série statistique sous forme de liste 24 Calculer une médiane dans un tableau avec effectif Thème 10 : Trigonométrie 25 Découvrir les rapports trigonométriques 26 Choisir la fonction trigonométrique 27 Trigonométrie - Calculer une longueur 28 Trigonométrie - Calculer la mesure d’un angle Thème 11 : Proportionnalité / fonction linéaire 29 Découvrir les fonctions linéaires / lien avec la proportionnalité 30 Représenter graphiquement les fonctions linéaires 31 Appliquer et calculer avec des pourcentages Thème 12 : Transformations 32 Découvrir les homothéties 33 Faire des agrandissements et des réductions du plan Thème 13 : Fonctions affines 34 Découvrir les fonctions affines 35 Représenter graphiquement les fonctions affines Thème 14 : Probabilités 36 Connaître le vocabulaire des probabilités 37 Faire le lien entre fréquences et probabilités 38 Construire un arbre pondéré 39 Construire un arbre pondéré à deux étapes Thème 15 : Equations et inéquations 40 Résoudre des équations du 1er degré 41 Résoudre des équations-produits 42 Comparer des nombres / Effectuer des opérations 43 Résoudre des inéquations 44 Résoudre des équations du type 𝑥² = a Thème 16 : Sections 45 Reconnaître des sections de pavés droits, prismes droits et cylindres 46 Reconnaître des sections de pyramides, cônes et sphères 47 Effectuer des agrandissements ou des réductions de l’espace
Notion 1 Découvrir les notions de fonction, d’image et d’antécédent Niveau 5-4-3 Exercice 1 : C’est en travaillant sur une machine à calculer de son invention que le philosophe Leibniz formule, le premier, à la fin du XVIIème siècle, le terme de « fonction ». Il cherche à mettre en relation des nombres entre eux. Imaginez que vous êtes l’assistant de Leibniz. Vous devez construire une machine qui mettrait en relation 4 avec 11, mais aussi 5 avec 13. Quelle formule lui proposeriez-vous ? Définitions : Une ………………………. est un procédé de calcul qui, à un nombre (de départ), fait correspondre un nombre (de fin). Le nombre de départ est appelé ……………………………..( ……………..……………..) Le nombre de fin est appelé …………………………………. (……………..……………..) On note : Méthode : La fonction qui, à un nombre, associe son carré peut se noter : ........................................ Le tableau de valeurs ci-dessous donne les images de quelques nombres par la fonction. ….. antécédent -3 -1 0 3 ….. image …. …. …. …. 16 16 L’image de -1 est ………… On peut noter…………………………………….. Les antécédents de 9 sont ………et……… On peut noter……………………………………. Exercice 2 : On définit la fonction t qui, à la masse d’une lettre, associe son tarif pour la France d’outre-mer. 1/ Quelle est l’image de 100 par t ? Interpréter ce résultat dans le cadre du problème. ...................... .......................................................... 2/ Donner un antécédent de 8,90 par la fonction t. Qu’est-ce que cela signifie ? ......................................... .......................................................... Exercice 3 : On considère une fonction f telle que : 1/ Quelle est l’image par la fonction du nombre : a) 3 ? … b) 1 ? … c) -1 ? … 2/ Donner un antécédent par la fonction f du nombre : a) -1 ? … b) 1 ? … c) 2 ? … 3/ Donner un nombre dont l’image par f est 0. ............................................................. Exercice 4 : Soit j une fonction 1/ Quelle est l’image par la fonction j du nombre : a) 2 ? … b) 1 ? … c) 0 ? … 2/ Donner un antécédent par la fonction j du nombre : a) -1 ? … b) 1 ? … c) -2 ? … 3/ Donner un nombre dont l’image par j est 1. Exercice 5 : Soit g la fonction définie par 𝑔(𝑥) = 2(𝑥 − 3) Déterminer l’image par g du nombre a/ 5 b/ 3 c/ 2 d/ 0 e/ -1
Notion 2 Lire graphiquement des images et des antécédents Niveau 5-4-3 Exercice 1 : On définit la fonction h qui donne la hauteur d’eau (en mètres) dans le port de Saint-Malo en fonction de l’heure, un jour de janvier 2016, et dont voici un graphique. Avec la précision permise par ce dernier, répondre aux questions suivantes. 1/ Quelle est la hauteur d’eau dans le port à 8h ? ................................ Compléter la phrase suivante : « L’image de 8 par la …………………………… h est ………… » 2/ A quelle(s) heure(s) la hauteur d’eau est-elle de 10m ? .................. Traduire cette réponse avec les mots antécédent et fonction : ........................................................................................................................... 3/ 14 a-t-il un antécédent par la fonction h ? Interpréter le résultat dans le cadre du problème. ................................................................................................................................................................................................. Définition : Dans un repère, la ………………………………………………………….., ou ……………………………………………………………. d’une fonction f est formée de tous les points de coordonnées (..… ; ………..), pour toutes les valeurs de 𝑥 telles que f(𝑥) existe. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Exercice 2 : Ci-dessous la représentation graphique de la fonction f. a/ l’image de 4 par f : ................ b/ f(0) ............................................ c/ f(-3) ........................................... d/ des antécédents de 1 par f .......................................................... e/ des antécédents de 4 par f .......................................................... Exercice 3 : On considère la fonction p définie par la courbe suivante. 1/ Donner une valeur approchée de l’image de 2000 par la fonction p. 2/ Combien vaut p(2006) ? 3/ Chercher le ou les antécédents de 12 200 par p. Interpréter le résultat. Exercice 4 : On considère la fonction f définie par : 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2 1/ Compléter le tableau de valeurs suivant : 2/ Dans un repère orthogonal d’unités 1cm, représenter graphiquement la fonction f pour x compris entre -3 et 3. Exercice 5 : On considère la fonction f définie par : 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2 Dans un repère orthogonal d’unités 1cm, représenter graphiquement la fonction f pour x compris entre -3 et 3.
Notion 3 Utiliser les différentes représentations d’une fonction Niveau 5-4-3 Exercice 1: Propriété : Une fonction peut être définie par .............................................................................................. ......................................................................................................................................................................................... Exemple : Exercice 2 : On considère la fonction g définie par 𝑔(𝑥) = 4 𝑥2 + 4 1/ Compléter le tableau de valeurs suivant. 2/ Calculer l’image de 3 par la fonction g, puis celle de -3. Que remarque-t-on ? 3/ Léa pense qu’un nombre et son opposé ont toujours la même image par g. A-t-elle raison ? Expliquer. 4/ Représenter graphiquement la fonction g pour x compris entre - 2 et 2. On prendra 1cm pour une unité sur l’axe des abscisses et 10cm sur l’axe des ordonnées. On pourra si besoin ajouter des points afin que le tracé soit plus précis.
Exercices Thème 1 : Notions de Fonctions Troisième Voici la machine P qui calcule le périmètre d’un carré connaissant la mesure d’un côté. La machine P transforme : 3 en …… On note P : 3 ….. 𝑃(3) = … … 5 en …… On note P : 5 ….. 𝑃(5) = … … …… en 36 On note P : ….. 36 𝑃(… … ) = 36 𝑥 en …… On note 𝑃: 𝑥 ….. 𝑃(𝑥) = ⋯ … Voici la machine A qui calcule l’aire d’un carré connaissant la mesure d’un côté. La machine A transforme : 3 en …… On note A : 3 ….. 𝐴(3) = … … 5 en …… On note A : 5 ….. 𝐴(5) = … … …… en 36 On note A : ….. 36 𝐴(… … ) = 36 𝑥 en …… On note 𝐴: 𝑥 ….. 𝐴(𝑥) = ⋯ … Traduis chaque phrase par une égalité. a/ 4 a pour image g par la fonction f b/ -3 a pour image 0 par la fonction g c/ L’image de 17,2 par la fonction h est -17 d/ L’image de -31,8 par la fonction k est -3 e/ 4 a pour antécédent 5 par la fonction f f/ -3 a pour antécédent 0 par la fonction g g/ Un antécédent de 7,2 par la fonction h est -1 h/ Un antécédent de -5 par la fonction k est -8 Voici les informations sur une fonction k Complète le tableau grâce à ces indications. On considère la fonction h qui, à un nombre, associe le résultat obtenu avec le programme de calcul suivant. On donne 𝑓: 𝑥 → 𝑥2 − 2. Relier chaque nombre du nuage A à son image dans le nuage B. h est la fonction définie par ℎ(𝑥) = −7𝑥 Voici une machine que l’on assimile à une fonction. a/ Vérifier que la machine transforme 4 en 24. b/ Compléter : 𝑓(7) = …… L’image de 7 par la fonction f est …… Un antécédent de 90 par la fonction f est …… c/ Quelle est l’image de -8 par la fonction f ? d/ On note 𝑥 le nombre entré dans la machine. Parmi les expressions suivantes, quelle est celle de 𝑓(𝑥) ?
Exercices Thème 1 : Notions de Fonctions Troisième On considère la fonction h définie par : On donne : 𝑓: 𝑥 → 𝑥 + 5 et 𝑔: 𝑥 → − 1 2 𝑥2 − 3𝑥 + 5. 1/ Compléter le tableau suivant en utilisant la fonction « tableau de valeurs » de la calculatrice. 2/En modifiant les paramètres de valeurs de la calculatrice, trouver deux valeurs de 𝑥 telles que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). On donne 𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 3. Sofiane a calculé l’image de -1 par la fonction g et a trouvé 4. Son professeur lui dit qu’il s’est trompé. Expliquer l’erreur de Sofiane. On donne 𝑓(𝑥) = 6𝑥2 − 7𝑥 1/ Quelle est l’image de 2 par la fonction f ? 2/ Quelle est l’image de -3 par la fonction f ? 3/ Quelle est l’image de 2 3 par la fonction f ? Ce graphique représente une fonction f. a/ Place le point A de la courbe d’abscisse 4. b/ Quelle est l’ordonnée de A ? .......................... c/ Place le point B de la courbe d’abscisse 7. d/ Quelle est l’ordonnée de B ? .......................... e/ Place le point C de la courbe d’ordonnée 1 f/ Quelle est l’abscisse de C ?.............................. g/ Place le point D de la courbe d’ordonnée 2,5. h/ Quelle est l’abscisse de D ? ........................... Ce graphique représente une fonction g, pour x compris entre -5 et 12. a/ Place le point E de la courbe d’abscisse 1. b/ Quelle est l’ordonnée de E ? .......................... c/ Place le point F de la courbe d’abscisse 8. d/ Quelle est l’ordonnée de F ? .......................... e/ Place, sur la courbe, les points G1, G2, G3, … qui ont pour ordonnée 1. f/ Donne les coordonnées de chacun de ces points ........................................................................................ ........................................................................................ g/ Combien de points ont pour ordonnées -2 ? Ecris les coordonnées de ces points. ........................................................................................ ........................................................................................ On considère le programme de calcul suivant. a/ Quel nombre obtient-on si on choisit 2 comme nombre de départ ? Donne le résultat sous la forme du carré d’un nombre. b/ Même question avec le nombre 5. c/ On note x le nombre choisi au départ, et on appelle f la fonction qui, au nombre 𝑥, associe le résultat du programme. Quelles sont les images de 2 et de 5 par la fonction f ? d/ Exprime, en fonction de 𝑥, l’image de 𝑥 par la fonction f. Ecris l’expression sous la forme du carré d’un nombre. e/ Complète le tableau suivant. f/ Donne un antécédent de 1 par f. g/ Trace une représentation graphique de la fonction.
Exercices Thème 1 : Notions de Fonctions Troisième f est la fonction définie par ce graphique : a/ Quelle est l’image de 1 ? .......................................... b/ Quelle est l’image de -4 ? ....................................... c/ Donner un antécédent de 2. .................................... d/ Donner un antécédent de 3. ..................................... f est la fonction définie par ce graphique : a/ Quelle est l’image de 1 ? ........................................... b/ Quelle est l’image de -1 ? ......................................... c/ Donner un antécédent de 1. ...................................... d/ Donner un antécédent de 3. ..................................... f est la fonction définie par ce graphique : a/ Quelle est l’image de 1 ? .......................................... b/ Quelle est l’image de -1 ? ........................................ c/ Donner un antécédent de 2. .................................... d/ Donner un antécédent de 4. ................................... Voici la courbe représentative d’une fonction f définie sur [0 ;7]. Estimer les solutions des équations suivantes. a/ 𝑓(𝑥) = 2 ......................................................................... b/ 𝑓(𝑥) = 0 .......................................................................... c/ 𝑓(𝑥) = −1 ...................................................................... d/ 𝑓(𝑥) = 1 .......................................................................... Voici la courbe représentative d’une fonction h définie sur [-5 ;5]. Estimer les solutions des inéquations suivantes a/ ℎ(𝑥) ≥ 0 ......................................................................... b/ ℎ(𝑥) < −4 ...................................................................... c/ ℎ(𝑥) < −2 ...................................................................... d/ ℎ(𝑥) < 2 ......................................................................... On considère deux fonctions f et g définies sur [-1 ;6]. On a tracé leurs courbes représentatives dans le repère ci-contre. 1/ Résoudre 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ................................................................................................ 2/ Résoudre 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) ................................................................................................ A/ Lecture graphique On considère une fonction f dont on donne la représentation graphique sur [-3 ;4]. 1/ Déterminer l’image de 2. .......................................... 2/ Donner la valeur de 𝑓(−2) ........................................ 3/ Donner une valeur approchée des antécédents de 5 ...................................................................................... 4/ Résoudre 𝑓(𝑥) = 4 ..................................................... 5/ Résoudre 𝑓(𝑥) < 6 ..................................................... 6/ Résoudre 𝑓(𝑥) ≥ 8 ..................................................... B/ Calcul algébrique On admet que 𝑓(𝑥) = −0,5𝑥2 + 𝑥 + 8 pour tout réel 𝑥. 1/ Calculer l’image de 3. 2/ Le point A(-1 ; 6,6) appartient-il à la courbe de f ?
Pour chaque programme de calcul ① Le faire fonctionner pour deux valeurs de départ. ② Produire une expression littérale. ● choisir un nombre ; ● le multiplier par 8 ; ● retrancher 4 au résultat ; ● écrire le résultat final. ● choisir un nombre ; ● ajouter 5 ; ● calculer le carré du résultat obtenu ; ● annoncer le résultat final. ● choisir un nombre ; ● élever ce nombre au carré ; ● ajouter le nombre de départ ; ● retrancher 2 au résultat ; ● annoncer le résultat final. ● choisir un nombre ; ● soustraire 7 ; ● calculer le carré du résultat obtenu ; ● annoncer le résultat final. ● choisir un nombre ; ● ajouter 2 ; ● multiplier par 3 le résultat ; ● soustraire 2 au résultat obtenu ; ● écrire le résultat final. ● choisir un nombre entier positif ; ● élever ce nombre au carré ; ● ajouter 3 au résultat obtenu ; ● puis multiplier par 2 le résultat obtenu ; ● Soustraire 6 au résultat précédent ; ● Enfin, prendre la moitié du dernier résultat ; ● annoncer le résultat final. ● choisir un nombre ; ● multiplier ce nombre par 4 ; ● ajouter 6 au résultat obtenu ; ● annoncer le résultat final. ● choisir un nombre ; ● multiplier ce nombre par (-2) ; ● ajouter 5 au produit ; ● multiplier le résultat par 5 ; ● écrire le résultat obtenu. ● choisir un nombre ; ● ajouter 1 ; ● calculer le carré du résultat obtenu ; ● lui soustraire le carré du nombre de départ ; ● écrire le résultat final. ● … ● … ● 𝑥 ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● 𝑥 ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● 𝑥 ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● 𝑥 ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● 𝑥 ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● 𝑥 ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● 𝑥 ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● 𝑥 ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● 𝑥 ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ● … ① ① ②
1ère PARTIE On veut réaliser un script correspondant au programme de calcul suivant : Choisir un nombre Lui ajouter 3,5 Multiplier le résultat par 2 Retrancher 8,2 Annoncer le résultat Pour cela, il faut utiliser les commandes des catégories « capteurs », « opérateurs » et « variables ». 1/ Reproduire et compléter le script ci-dessous avec les valeurs appropriées. 2/ Faire fonctionner le script pour plusieurs valeurs de départ et remplir le tableau suivant : ……………. 1 3 4,5 12 -3 -5 -2,3 ……………. …… …… …… …… …… …… …… 2ème PARTIE Pour chacun des programmes de calculs ci-dessous, écrire le script permettant d’en calculer le résultat. Programme 1 Choisir un nombre Le multiplier par lui- même Soustraire 1 Programme 2 Choisir un nombre Ajouter 1 Multiplier par le nombre de départ Soustraire le nombre de départ Soustraire 1 Programme 3 Choisir un nombre Ajouter 1 Multiplier ce résultat par lui-même Soustraire le double du nombre de départ Soustraire 2 Tester ces programmes avec différentes valeurs et présenter les résultats dans un tableau. Que constate-t-on ?
Notion 4 Calculer des volumes de solides Niveau 5-4-3 Pavé droit Prisme droit Cylindre de révolution Volume = ………………………… Volume = ………………………… Volume = ………………………… Volume = ………………………… Volume = ………………………… Exemples : Calculer les volumes des solides suivants V =……………………… V =……………………… V =……………………… V =……………………… V =……………………… V =……………………… V =……………………… V =……………………… V =……………………… Pyramide Cône de révolution Sphère Volume = ………………………… Volume = ………………………… Volume = ………………………… Volume = ………………………… Exemples : Calculer les volumes des solides suivants V = ……………………… V = ……………………… V = ……………………… V = ……………………… V = ……………………… V = ……………………… V = ……………………… V = ……………………… V = ………………………
Notion 5 Reconnaître une sphère, calculer son aire et son volume Niveau 5-4-3 Exercice 1: Définition : ................................................................................................................................................................. ......................................................................................................................................................................................... Aire : Exemple : volume d’une boule de rayon 5m V = ................................................................. V = ................................................................. Volume : V = ................................................................. Exercice 2 : 1/ Calculer le volume d’une boule de rayon 3cm. V = ................................................ V = ................................................ V= .................................................. 2/ Calculer le volume d’une boule de diamètre 3cm. V = ................................................ V = ................................................ V= .................................................. Exercice 3 : Notre planète peut être considérée comme une sphère. La longueur d’un de ses grands cercles est d’environ 40 000km. 1/ Calculer la longueur du rayon terrestre (arrondir au km). 2/ Calculer l’aire de la surface terrestre (arrondir au millier de km2). Exercice 4 : On peut considèrer qu’une gélule est constituée de l’assemblage d’un cylindre de 12mm de hauteur et de 6mm de diamètre et de deux demi-sphères. 1/ Calculer le volume de cette gélule en mL. 2/ Le médicament contenu à l’intérieur occupe environ un tiers du volume. Calculer le volume du médicament contenu dans cette gélule.
Notion 6 Se repérer dans l’espace Niveau 5-4-3 Exercice 1 : A l’aide 64 petis cubes, on a formé un grand cube qui a été représenté en perspective. Pour se repérer sur ce grand cube, on a besoin de trois informations : quelle rangée : A, B, C ou D ? quelle ligne : 1 ; 2 ; 3 ou 4 ? quel étage : I, II, III ou IV ? Ainsi, le petit cube rouge est repéré par (B ; 3 ; IV). 1/ Donner le repérage correspond à chacun des autres cubes colorés. ................................................................................................................................................................................................. 2/ Où se trouve le cube repéré par (D ; 1 ; IV) ? celui repéré par (A ; 4 ; IV) ? celui repéré par (C ; 4 ; II) ? ................................................................................................................................................................................................. Définition : Pour repérer un point dans l’espace, il faut trois coordonnées : son ……………………………. 𝑥, son ……………………………. y et son ……………………………. z (ou cote z). Exemple : Le point A a pour coordonnées ( … ; … ; … ). Remarque : ............................................................................................... ............................................................................................... Exercice 2 : Dans un repère du plan, on a placé les points R, S, T et U. Pour chacun des points, indiquer ses coordonnées. Exercice 3 : On a représenté, en perspective cavalière, un carrelage formé de dalles carrées. Indiquer les coordonnées de chacun des points. Exercice 4 : Avec un logiciel de géométrie, on a représenté des pavés droits. Donner les coordonnées des points B, C, D, E, G et H dans chacune des deux figures. 1/ 2/ Exercice 5 : Pour tracer un plan de son garage avec un logicile de CAO, Margaux doit entrer les coordonnées de tous les points nommés sur sa figure ci-dessous. Trouver toutes ces coordonnées.
Notion 7 Se repérer dans l’espace : sur une sphère Niveau 5-4-3 Exercice 1 : 1/ La Terre peut être représentée par une sphère, découpée suivant des demi-cercles appelés méridiens. Chaque méridien est associé à une mesure d’angle appelée longitude. Les points Y, B, L et C repèrent respectivement les villes de New-York, Bombay, Lima et Santiago de Cuba. Comparer les longitudes de ces quatre villes. ........................................................................................................................................................................................ Quelle(s) précision(s) permettrai(en)t de différencier leurs positions ? ..................................................... ........................................................................................................................................................................................ 2/ Pour préciser la position d’un point sur un méridien, on ajoute sur la sphère des cercles parallèles à l’équateur. Ces cercles sont appelés parallèles et sont associés à une mesure d’angle appelée latitude. a/ Estimer les coordonnées de New-York (Y), Bombay (B), Lima (L) et Santiago de Cuba (C). .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. b/ Quels points, placés sur la sphère ci-contre, ont pour coordonnées (15°S ; 15°O) ?............................ (60°N ; 45°E) ? ........................................................................................................................................................... Définition : .......................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... Exemple : ............................................................................................................................. ............................................................................................................................................... Exercice 2 : Déterminer les coordonnées géographiques des points U, M, G et R sur la sphère ci-dessous. U ...................................................... M ..................................................... G ...................................................... R ...................................................... Exercice 3 : Parmi les points de l’exercice 2 : a/ quel point a la même latitude que le point M ? ......................................................... b/ quel point a la même longitude que le point M ? .......................................................... c/ quel point a pour coordonnées (60°N ; 20°E) ? .......................................................... Exercice 4 : Sur la sphère de l’exercice 2, placer les points : a/ A ( 60°N ; 60°E) b/ B (20°N ; 40°O) c/ C (60°N; 20°O)
Exercices Thème 2 : Volumes Troisième Compléter avec le nom de chaque solide et calculer le volume de chaque solide V = V = V = V = V = V = V = V = V = V = V = V = V = V = V = V = V = V = V = V = V = V = V = V = Un tube en plastique a la forme d’un cylindre creux de longueur 1,4m, de rayon intérieur 35mm, de rayon extérieur 42mm. Calculer une valeur approchée au dixième près du volume, en dm3, de plastique nécessaire à la réalisation de ce tube. Déterminer le volume de béton nécessaire pour réaliser ces deux marches d’escalier. Une quille en bois est formée d’un cylindre surmonté d’une boule qui ont tous deux le même diamètre de 6cm. La hauteur totale de la quille est 27cm. Calculer une valeur approchée au dixième près du volume, en cm3, de cette quille. Un carton contient exactement deux niveaux de quinze boîtes de conserve chacun. Chaque boîte cylindrique de hauteur 11,5cm a un diamètre de 10cm. Calculer une valeur approchée à l’unité près du volume, en cm3, laissé libre autour des boîtes de conserve.
Exercices Thème 2 : Volumes Troisième La pyramide du Louvre à Paris est une pyramide à base carrée de côté 35,4m et de hauteur 21,6m. C’est une réduction de la pyramide de Khéops en Egypte, qui mesure environ 230,5m de côté. 1/ Montrer que la hauteur de la pyramide de Khéops est d’environ 140,6m. 2/ Calculer le volume en m3 de la pyramide du Louvre (arrondir à l’unité). 3/ Par quel nombre peut-on multiplier le volume de la pyramide du Louvre pour obtenir celui de la pyramide de Khéops ? (arrondir à l’unité) Antoine crée des objets de décoration avec des vases, des billes et de l’eau colorée Pour sa nouvelle création, il décide d’utiliser le vase et les billes ayant les caractéristiques suivantes : Il met 150 billes dans le vase. Peut-il ajouter un litre d’eau colorée sans risquer le débordement ?
Notion 8 Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers Niveau 5-4-3 Exercice 1 : 1/ Nombres premiers : a/ Quels sont les diviseurs : de 11 ? …………… de 13 ? …………… de 5 ? …………… de 1 ? …………… b/ Un nombre qui a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même, est appelé un nombre premier Ecrire tous les nombres premiers parmi les nombres de 0 à 30. ........................................................................................................................................................................................ c/ Expliquer pourquoi les nombres suivants ne sont pas premiers : 32 : ............................................................................................................................................................................. 145 : ........................................................................................................................................................................... 351 : ........................................................................................................................................................................... 1200 : ......................................................................................................................................................................... 2/ Décomposition a/ On a demandé d’écrire le nombre 40 comme produit de nombres premiers. Quels produits vérifient cette consigne ? Entourer les bonnes réponses. Ecrire le nombre 180 comme produit de nombres premiers. ........................................................................................................................................................................................ Définition Un nombre premier est ............................................................................................................................... Liste des nombres premiers jusqu’à 31 : ................................................................................................. Méthode de décomposition : 504 donc 504 = …… …… …… Exercice 2 : En utilisant les critères de divisibilité, indiquer pourquoi les nombres suivants ne sont pas premiers. Exercice 3 : 1/ Trouver combien 29 possède de diviseurs. Que peut-on en déduire pour 29 ? 2/ Reprendre la question précédente pour 25. Exercice 4 : Décomposer les nombres suivants en un produit de facteurs premiers Exercice 5 : Décomposer en un produit de facteurs premiers les nombres suivants. a/ 96 b/ 165 c/168 d/196
Notion 9 Rendre irréductible une fraction Niveau 5-4-3 Exercice 1 : Dans un collège de 840 élèves, il y a 360 demi-pensionnaires. 360 840 représente la proportion d’élèves demi-pensionnaires du collège. On se propose de simplifier cette fraction à la main. a/ Les nombres 360 et 840 sont divisibles par 10. En déduire une fraction simplifiée de 360 840. ....................................................................................................... b/ La fraction obtenue est encore simplifiable par 4. Quelle fraction obtient-on ? ..................................... c/ Par quel nombre peut-on encore simplifier la fraction obtenue ? Quelle fraction obtient-on ? ............. d/ La fraction obtenue peut-elle être encore simplifiée ? Expliquer pourquoi. ............................................... On dit alors que cette fraction est irréductible. Pour rendre irréductible une fraction, on peut aussi écrire le numérateur et le dénominateur comme produits de facteurs premiers. a/ Vérifier que 360 = 23 × 32 × 5 et 840 = 23 × 3 × 5 × 7. b/ Utiliser les propriétés sur les puissances pour rendre irréductible la fraction 360 840................................... Définition Une fraction 𝑎 𝑏 est irréductible si ........................................................................................................................... Méthode pour rendre une fraction irréductible Rendre irréductible la fraction 204 72 204 = ………………………………………. 72 = ………………………………………. Exercice 2 : Expliquer pourquoi les fractions suivantes ne sont pas irréductibles. a/ ............................................................................. ................................................................................. b/ ............................................................................. ................................................................................. c/ ............................................................................. ................................................................................. d/ ............................................................................. ................................................................................. Exercice 3 : Simplifier les fractions suivantes pour les rendre irréductibles Exercice 4 : Rendre chaque fraction irréductible, si possible.
Exercices Thème 3 : Arithmétique et Nombres Premiers Troisième Entoure les nombres premiers dans la liste suivante. Pour les autres, explique pourquoi ils ne sont pas premiers. Pour chaque expression ci-dessous, indique s’il s’agit bien d’une décomposition en facteurs premiers, et si non indique pourquoi. Relie chaque nombre à sa décomposition en facteurs premiers. Décomposer chaque nombre en produits de nombres premiers. 45 ; 34 ; 48 ; 93 ; 110 ; 552 ; 425 ; 1000 Les fractions ci-dessous sont-elles irréductibles ? Utilise les décompositions en produit de facteurs premiers ci-dessous pour rendre les fractions irréductibles. a/ Décomposer chaque nombre en produits de nombres premiers : 68 ; 96 ; 180 b/ Simplifier chaque fraction : 96 68 ; 180 96 ; 68 180 Un pâtissier veut répartir 30 cookies et 45 macarons dans des sachets ayant la même répartition de cookies et de macarons, en utilisant tous les gâteaux. 1/ Peut-il faire 5 sachets ? 2/ Peut-il faire 6 sachets ? 3/ Donner un exemple de nombre de sachets qu’il pourra faire. Un chocolatier a fabriqué 392 pralines et 504 chocolats. Il souhaite les répartir jusqu’au dernier dans des boîtes constituées du même nombre de pralines et du même nombre de chocolat. 1/ Vérifier que ce chocolatier peut préparer 8 boîtes. Quelle est alors la composition de chaque boîte ? 2/ Peut-il préparer 49 boîtes ? 3/ Combien peut-il faire de boîtes au maximum ? 4/ Combien de sachets peut-il faire au maximum ? Avec quelle composition ? On s’intéresse à des engrenages composés de plusieurs roues. On fait tourner la roue de gauche d’un nombre entier de tours, dans le sens des aiguilles d’une montre. Dans chaque cas, détermine au bout de combien de tours l’engrenage est à nouveau dans la position initiale.
R J T O YR OT J YNotion 10 Théorème de Thalès : pour calculer des longueurs (dans des triangles) Niveau 5-4-3 Propriété : On considère : • Un triangle ABC ; • Un point M de la droite (AB), distinct de A ; • Un point N du droite (AC), distinct de A. Si les droites (MN) et (BC) sont ................................... alors on a : … … = … … = … … Remarque : Le tableau suivant est un tableau de proportionnalité : Côtés du triangle AMN → …. …. …. Côtés du triangle ABC → …. …. …. Rédaction type – Exemple 1 Sur la figure ci-dessous : (YT) // (OJ) RY = 4,5 cm RT = 3 cm ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. On utilise : ........................................................................................... RO = 5 cm On veut calculer RJ. … … = … … = … … … … = … … = … … … = ……………………… Rédaction type – Exemple 2 Sur la figure ci-contre : (YT) // (OJ) ; RT = 3 ; RO = 5 ; RY = 4,5. On veut calculer RJ. ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... On utilise : ..............................................................................
Exercice 1 : Les droites en gras sont parallèles. Dans chaque cas, écris les proportions égales. Exercice 2 : Dans les figures suivantes, les droites colorées sont parallèles. Ecrire les égalités de Thalès. Exercice 3 : Dans les figures suivantes, les droites colorées sont parallèles, associer chaque figure à une égalité des rapports des longueurs. Exercice 4 : Les droites (AB) et (TL) sont parallèles. On a HB=4cm, HT=10cm et HA=6,5cm. Calculer HL. Exercice 5 : On considère la figure suivante. a/ Calculer DE. b/ Calculer AC et BC. Exercice 6 : Des élèves participent à un cross. Avant l’épreuve, un plan leur a été remis. Il est représenté ci-après. On peut lire les indications suivantes : AB=400m ; AC=300m ; 𝐶𝐴𝐵̂ est droit ; BE=2AB et les droites (BC) et (DE) sont parallèles. a/ Calculer BC. b/ Calculer AD, puis CD. c/ Calculer DE. d/ Calculer la longueur du parcours ABCDE. Exercice 7 : Les droites (AB) et (DE) sont parallèles. Calculer AB et AC. Exercice 8 : En se retournant lors d’une marche arrière, la conductrice d’une camionnette voit le sol à 6m derrière son camion. Sur le schéma, la zone grisée correspond à ce que la conductrice ne voit pas lorsqu’elle regarde en arrière. 1/ Calculer DC. 2/ En déduire que ED=1,60m. 3/ Une fillette mesure 1,10m. Elle passe à 1,40m derrière la camionnette. La conductrice peut-elle la voir ? Expliquer.
Notion 11 Thalès : Démontrer que des droites sont ou ne sont pas parallèles Niveau 5-4-3 Propriété : Réciproque du théorème de Thalès : - un triangle ABC ; - un point M de la droite (AB) distinct de A ; - un point N de la droite (AC) distinct de A. Si … … = … … = … … Alors : .............................................................................. .............................................................................. Rédaction-Type - Méthode 1 : Démontrer que les droites (UV) et (ST) sont parallèles. ................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................ On utilise : le théorème de Thalès (réciproque / contraposée) … … = … … = … … … … = … … = … … Produits en croix : ................................................................................ ..................................................................................................... Conclusion : ........................................................................................ Rédaction-Type - Méthode 2 : Démontrer que les droites (AE) et (CD) ne sont pas parallèles. ................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................ On utilise : le théorème de Thalès (réciproque / contraposée)
Exercice 1 : Le triangle EFG est-il rectangle ? ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... Exercice 2 : Le triangle EOA est-il rectangle ? Exercice 3 : On considère la figure suivante qui n’est pas en vraie grandeur. 1/ Citer les deux triangles : ................................... 2/ Citer le sommet commun : ................................. 3/ Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles ? ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... Exercice 4 : On considère la figure ci-dessous qui n’est pas en vraie grandeur. 1/ Citer les deux triangles : ................................... 2/ Citer le sommet commun : ................................. 3/ Que peut-on dire des droites (IO) et (CU) ? ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... Exercice 5 : 1/ Tracer un triangle AIR rectangle en A tels que AI=7cm et AR=9cm. 2/ Placer le point P tel que A[PI] et AP=2,1cm. 3/ Placer le point S tel que A[RS] et AS=2,7cm. 4/ Les droites (RI) et (PS) sont-elles parallèles ? Justifier Exercice 6 : M Hajji veut aménager un cagibi sous son escalier. Voici les mesures qu’il a prises après avoir installé sa cloison. Sa cloison est-elle parallèle au mur ? Justifier.
Exercices Thème 4 : Thalès Troisième Ecris l’égalité de Thalès pour la configuration ci-contre, en sachant que les deux droites vertes sont parallèles. Même énoncé. a/ b/ Peux-tu appliquer le théorème de Thalès dans les configurations suivantes ? Pourquoi ? Calcule 𝑥 et 𝑦. Dans chaque cas, les droites vertes sont parallèles. Les points E, G et D sont alignés, les points F, G et H sont alignés. Les droites (EF) et (HD) sont parallèles. On sait que : GH = 15cm ; GF = 6cm ; GD = 14,2cm et HD = 7,3cm. Calcule les longueurs EF et EG. On considère la figure suivante où les points D, E et B sont alignés, les points A, F et B sont alignés. Calcule BE, AB et AF. On considère deux cônes opposés par le sommet et représentés sur la figure suivante. Les droites (AB) et (KI) se coupent en S. De plus, les triangles IBS et KAS sont rectangles respectivement en I et K. On a KA = 4,5cm ; KS = 6cm et SI = 4cm. Calcule BI. Calcule la hauteur de l’éolienne.
Exercices Thème 4 : Thalès Troisième Démontre que les droites vertes sont parallèles. Démontre que les droites vertes ne sont pas parallèles. Pour quelle valeur de x les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ? Pour consolider un bâtiment, des charpentiers ont construit un contrefort en bois. (Sur le schéma ci-contre, les mesures sont en mètres.) a/ En considérant que le montant [BS] est perpendiculaire au sol, calcule la longueur AS. b/ Calcule les longueurs SM et SN. c/ Démontre que la traverse [MN] est bien parallèle au sol. Sur la figure ci-dessous, les droites (DF) et (CE) sont sécantes en O. De plus, on donne : OE = 1203,17 ; OC = 1056, 23 ; OF = 1264, 09 et OD = 1109,71. Démontrer que les droites (EF) et (CD) sont parallèles. Les plateaux représentés par (AB) et (CD) pour la réalisation de cette desserte sont-ils parallèles ? Pour illustrer l’exercice, la figure suivante a été réalisée à main levée. L’unité de longueur est le centimètre. ABC est un triangle tel que : AB = 9 ; AC = 15 et BC = 12. a/ Démontre que ABC est rectangle en B. b/ Calcule l’aire du triangle ABC. c/ Trace en vraie grandeur le triangle ABC. E est le point du segment [AB] tel que AE = 3. F est le point du segment [AC] tel que AF = 5. d/ Démontre que la droite (EF) est parallèle à la droite (BC). e/ Calcule EF. f/ Calcule l’aire du trapèze BEFC.
Notion 12 Donner l’écriture scientifique d’un nombre Niveau 5-4-3 Exercice 1 : Trouver les caractéristiques des nombres écrits sous forme scientifique. Oui 6,54105 6,54105 6,54105 8,410-6 6105 Non 65,4105 65,4100 0,65410-5 0,00510-7 12,510-5 .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... Méthode : Ecrire en nombre en écriture décimale Exemple 1 : Exemple 2 : Exemple 3 : 123 456 0,758 452,89103 Exercice 2 : Donner l’écriture scientifique des nombres suivants a/ 0,082 = ..................................................... b/ 0, 000 000 195 = ................................... c/ 0, 000 6 = ................................................ d/ 0, 000 010 01 = ...................................... e/ 34,430 = .................................................. f/ 100 095,238 = ........................................ g/ 201 600 000 = ........................................ Exercice 3: 1/ Les expressions suivantes ne sont pas des écritures scientifiques. Entourer ce qui empêche d’avoir une écriture scientifique. Ecriture scientifique a) b) c) d) 2/ Compléter la colonne de l’écriture scientifique 3/ Ranger ces nombres par ordre croissant. .
Notion 13 Utiliser les puissances d’un nombre quelconque Niveau 5-4-3 Exercice 1 : Compléter le tableau suivant avec la calculatrice. Soit a un nombre non nul et n un nombre entier supérieur ou égal à 2. Définition : 𝒂𝒏 désigne le …………………….. de …… facteurs égaux à ……. et se lit « …………………………………» 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × … … … … … … … .× 𝑎 Exemples : ............................................................................................................................................................... L’écriture 𝒂−𝒏 désigne ………………………….. de ………. ................................................................................................................................................................... . Méthode : Dans une expression sans parenthèses, .................................................................................................... .................................................................................................................................................................... Exercice 2 : Ecrire sous la forme d’un nombre décimal a/ 111 = … b/ 63 = … c/ 64 = … d/ 75 = … e/ 27 = … f/ 72 = … g/ 1004 = … h/ 112 = … Exercice 3 : Ecrire sous la forme d’une puissance de 4. a/ 4 4 4 4 4 4 4 = ...................... b/ 4 4 4 4 4 4 16 = .................... c/ 43 45 = ...................................................... d/ 4 42 42 = ............................................... Exercice 4 : Calculer en détaillant les étapes. Exercice 5 : Calculer en détaillant les étapes. Exercice 6 : Voici la copie d’un élève Recopier et corriger sa copie.
Exercices Puissances Troisième Complète le tableau Complète avec l’exposant correspondant Complète Complète Complète le tableau Complète comme ci-dessous Complète les pointillés Colorie les cases qui contiennent un nombre en écriture décimale Ecris chaque nombre en écriture scientifique Ecris chaque nombre en écriture scientifique Voici les distances qui séparent le soleil de trois planètes du système solaire. Parmi ces trois planètes, quelle est celle qui est la plus éloignée du soleil ? Justifie.
Notion 14 Développer (et réduire) une expression Niveau 5-4-3 Exercice 1: a, b, c et d désignent les longueurs (dans la même unité) indiquées sur le rectangle ci- dessous. a/ Exprimer l’aire de ce rectangle sous forme d’un produit. .......................................................... b/ Exprimer l’aire de ce rectangle sous forme d’une somme de quatre termes. .......................................................... c/ Compléter l’égalité suivante : (𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑) = … + … + … + … Propriété : Double-distributivité Soient a, b, c et d des nombres relatifs (a + b) (c + d) = ………………………………………………… Exemples : Développer 𝐴 = (7𝑥 + 3)(2𝑥 + 1) 𝐵 = (−7𝑥 + 3)(−2𝑥 − 1) A = ............................................................... B = .................................................................................... Remarques : ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................. Exercice 2 : Compléter (𝟕 + 𝒙)(𝑦 + 3) = 𝟕 × … + 𝟕 × … + 𝒙 × … + 𝒙 × … Exercice 3 : Développer puis réduire a/ 𝐴 = (2 + 𝑥)(15 + 𝑦) b/ 𝐵 = (7 + 2𝑦)(𝑦 + 4) c/ 𝐶 = (3𝑥 + 25)(𝑥 + 1) d/ 𝐷 = (3𝑡 + 3)(5𝑡 + 4) Exercice 4 : Développer (et réduire) a/ 𝐸 = (𝑥 − 5)(10 + 7𝑥) b/ 𝐹 = (4𝑥 − 2)(𝑥 + 12) c/ 𝐺 = (𝑥 + 5)(10 − 7𝑥) d/ 𝐻 = (4𝑥 + 2)(−𝑥 − 12) e/ 𝐼 = (−𝑥 − 5)(10 − 7𝑥) f/ 𝐽 = (−4𝑥 + 2)(−𝑥 − 12) Exercice 5 : Soit x un nombre positif. L’unité est le centimètre. a/ Exprimer l’aire du rectangle ci-dessus en fonction de 𝑥. b/ Développer l’expression obtenue. c/ Calculer l’aire de ce rectangle de deux manières différentes lorsque 𝑥 = 0 𝑥 = 7
Notion 15 Développer à l’aide d’une identité remarquable Niveau 5-4-3 Exercice 1: Développer (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏). En remarquant que (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏), développer et réduire l’expression (𝑎 + 𝑏)2, puis (𝑎 − 𝑏)2 Propriété : Remarque : Soient a et b deux nombres relatifs. On a : Exemples : Développer une expression littérale B = (5𝑥 + 1)(5𝑥 − 1) C = (𝑥 + 6)2 D = (1 − 4𝑥)2 = = = Bilan : Bilan : Bilan : Exercice 2 : Développer a/ (3𝑥 + 2)(3𝑥 − 2) b/ (1 − 5𝑥)(1 + 5𝑥) c/ (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) d/ (𝑥 − 13)(𝑥 + 13) Exercice 3 : Compléter par un nombre ( … )² = 49 ( … )² = 36𝑥² ( … )² = 121𝑦4 Exercice 4 : Compléter le tableau suivant Forme factorisée Forme développée (𝑥 + 5)(𝑥 − 5) 𝑥2 − 49 (2𝑥 + 1)(2𝑥 − 1) (5𝑥 + 5)(5𝑥 − 5) 81𝑥2 − 100 Exercice 5 : Voici un programme de calcul. On note a le nombre choisi au départ et N celui obtenu. a/ Calculer N pour 𝑎 = 1. b/ Exprimer N en fonction de a. c/ Sara a trouvé une expression pour N : 𝑁 = (4𝑎 − 3)(4𝑎 + 3) Vérifier cette expression en remplaçant a par 1. La corriger si nécassaire. Exercice 6 : Développer a/ (7𝑥 + 5)2 b/ (𝑥 − 8)2 c/ (1 − 5𝑥)2
Notion 16 Prouver que deux expressions sont égales Niveau 5-4-3 Exercice 1: Voici ce qu’Eugène a obtenu sur un tableur : Voici ce que Lou a obtenu sur sa calculatrice : a/ A la vue de ces écrans, peut-on être certain que les expressions 𝐴 = 𝑥(3 + 𝑥) et 𝐵 = 𝑥2 + 3𝑥 sont égales pour : 𝑥 = −5 𝑥 = 0 𝑥 = 2,8 𝑥 = 108,6 b/ Les expressions 𝐴 = 𝑥(3 + 𝑥) et 𝐵 = 𝑥2 + 3𝑥 sont égales pour 𝑥 = 108,6. Comment peut-on le prouver ? c/ Prouver que les expressions 𝐴 = 𝑥(3 + 𝑥) et 𝐵 = 𝑥2 + 3𝑥 sont égales pour toutes les valeurs de 𝑥 possibles. Définition : Deux expressions sont égales si ................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................... Remarque : Pour prouver que deux expressions sont égales, ....................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................... Remarque : Pour prouver que deux expressions ne sont pas égales, .......................................................................... ........................................................................................................................................................................................................... Méthode 1 : Prouver que deux expressions sont égales : ............................................................................................ Prouver que 𝐴 = 7𝑥2 + 21𝑥 et 𝐵 = (𝑥 + 3) × 7𝑥 sont égales Méthode 2 : Prouver que deux expressions ne sont pas égales : .............................................................................. : Prouver que 𝐴 = 𝑥2 − 3𝑥 + 7 et 𝐵 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 4) ne sont pas égales Exercice 2 : Au vu des résultats de ce tableau, peut-on affirmer que les expressions de A et B sont égales ? ..................... Pourquoi ? ................... ........................................................................................... Exercice 3 : On considère les expressions 𝐴 = 5𝑥 − 𝑥2 et 𝐵 = 𝑥(5 − 𝑥). a/ Calculer les expressions A et B pour 𝑥 = 0, puis pour 𝑥 = 2, puis pour 𝑥 = 5. b/ Peut-on en déduire que A=B ? c/ Développer l’expression B. d/ Que peut-on en déduire pour A et B ? Exercice 4 : On considère les expressions 𝐴 = 5(𝑥 − 2𝑥) et 𝐵 = 5𝑥 + 2(4 − 𝑥2). a/ Développer l’expression A. b/ Développer l’expression B. c/ Que peut-on en déduire pour A et B ?
Développer les expressions suivantes : 1) 2(𝑥 + 4) 2) 5(𝑥 + 3) 3) −5(2𝑥 + 3) 4) −7(3𝑥 + 8) 5) −5(−3𝑥 − 9) 6) (3𝑥 + 3)(2𝑥 + 5) 7) (2𝑥 − 3)(6𝑥 + 7) 8) (2𝑥 + 3)(5𝑥 + 7) 9) (5𝑥 − 7)(−3𝑥 + 8) 10) (−5𝑥2 + 2𝑥 + 3)(−5𝑥 −9) 11) (−3𝑥 + 2)(−5𝑥 + 4) + 2(𝑥 − 4) 12) (−3𝑥 + 5)(−7𝑥 + 4) + 5(𝑥 − 4) 13) (−3𝑥 + 2)(−5𝑥 + 4) − 2(𝑥 − 4) 14) (3𝑥 + 2)(−5𝑥 + 7) + (3𝑥 − 2)(5𝑥 + 7) 15) (3𝑥 + 2)(−5𝑥 + 7) − (3𝑥 − 2)(5𝑥 + 7) 16) (3𝑥 + 5)(2𝑥 + 2)(5𝑥 + 1) 17) (−2𝑥 + 2)(−3𝑥 − 3)(−5𝑥 − 1) Si réussi Si faux Appeler le professeur 1 2 3 6 7 9 10 12 14 17 SOS 4 5 SOS 8 SOSSOS 11 SOS 13 15 16 SOS 1) 2𝑥 + 8 2) 5𝑥 + 15 3) −10𝑥 − 15 4) −21𝑥 − 56 5) 15𝑥 + 45 6) 6𝑥2 + 21𝑥 + 15 7) 12𝑥2 − 4𝑥 − 21 8) 10𝑥2 + 29𝑥 + 21 9) −15𝑥2 + 61𝑥 − 56 10) 25𝑥3 + 35𝑥2 − 33𝑥 − 27 11) 15𝑥2 − 20𝑥 12) 21𝑥2 − 42𝑥 13) 15𝑥2 − 24𝑥 + 16 14) 22𝑥 15) −30𝑥2 + 28 16) 30𝑥3 + 86𝑥2 + 66𝑥 + 10 17) −30𝑥3 + 54𝑥2 − 18𝑥 − 6
Exercices Thème 6 : Calcul Littéral (1ère partie) Troisième Développe chaque expression. Pour chaque question, une seule proposition est juste. Entoure-la. Développe chaque expression Relis chaque expression à sa forme réduite. Souligne d’une même couleur les termes qui peuvent être regroupés puis réduis. Complète la table de multiplication pour développer les expressions suivantes. Développe puis réduis chaque expression. Associe les expressions égales Développe puis réduis les expressions. Voici deux programmes de calculs. a/ Quel résultat obtient-on quand on applique le programme de calcul 1 au nombre 3 ? b/ Quel résultat obtient-on quand on applique le programme de calcul 2 au nombre 3 ? c/ Démontre qu’en choisissant le nombre -2, les deux programmes donnent le même résultat. d/ On décide de réaliser davantage d’essais. Pour cela, on utilise un tableur et on obtient la copie d’écran suivante. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B2, avant de la recopier vers le bas jusqu’à la cellule B5 ? e/ Les résultats affichés dans les colonnes B et C sont égaux. Lucie pense que pour n’importe quel nombre choisi au départ, les deux programmes donnent toujours le même résultat. A-t-elle raison ?
Notion 17 Triangles semblables : Définition et utilisation Niveau 5-4-3 Exercice 1 : ABC et DEF sont deux triangles tels que 𝐵𝐴𝐶̂ = 𝐸𝐷𝐹̂ = 25° et 𝐴𝐵𝐶̂ = 𝐷𝐸𝐹̂ = 40°. Expliquer pourquoi les angles 𝐴𝐶𝐵̂ et 𝐸𝐹𝐷̂ ont la même mesure. .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... On dit alors que ces deux triangles sont semblables. Définitions : ....................................................................................... ................................................................................................................ ...................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................... Remarque : ............................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................... Propriété : ................................................................................................................ ................................................................................................................ ...................................................................................................................................................................................................... Méthode : .................................................................................................................................................................................. ...................................................................................................................................................................................................... Exercice 2 : Les triangles ABC et MOI sont semblables. Compléter le tableau ci-dessous. Angles homologues Sommets homologues Côtés homologues 𝐴𝐵𝐶̂ et ……… B et … [AC] et …… 𝐵𝐴𝐶̂ et ……… A et … [BC] et …… 𝐴𝐶𝐵̂ et ……… C et … [AB] et …… Exercice 3 : 1/ Compléter le tableau suivant en y associant les angles homologues de chaque triangle ainsi que leurs mesures. Triangle ABC …… …… …… …… …… …… Triangle DEF …… …… …… …… …… …… 2/ Calculer les angles manquants. .............................................................................................. .............................................................................................. 3/ Quelle remarque peut-on faire concernant les triangles ? .......................................................................... 4/ Compléter le tableau suivant en y associant les côtés homologues de chaque triangle ainsi que leurs mesures. Triangle ABC …… …… …… …… …… …… Triangle DEF …… …… …… …… …… …… 5/ Calculer les longueurs manquantes .............................................................................................. ..............................................................................................
Notion 18 Triangles semblables : Démontrer que deux triangles sont semblables Niveau 5-4-3 Exercice 1 : 1/ Montrer que le tableau suivant est un tableau de proportionnalité 8 7 5,2 12 10,5 7,8 ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... 2/ Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité. 4 3,5 2,6 21 17,5 13 ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... Propriété : ................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... Méthode 1 : en utilisant les côtés homologues et leurs mesures ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... Triangle ABC …… …… …… …… …… …… Triangle DEF …… …… …… …… …… …… Méthode 2 : en utilisant les angles homologues et leurs mesures ......................................................................................................................................................................................... Remarque : .................................................................................................................................................................. ......................................................................................................................................................................................... Exercice 2 : Un triangle ABC est tel que 𝐴𝐵𝐶̂ = 50° et 𝐵𝐴𝐶̂ = 20°. Le triangle FGH est tel que 𝐹𝐺𝐻̂ = 110° et 𝐹𝐻𝐺̂ = 20°. Ces deux triangles sont-ils semblables ? (Justifier) ............................................................. ............................................................. ............................................................. ............................................................. ............................................................. ............................................................. ............................................................. ............................................................. Exercice 3 : Les triangles BUT et PRO sont-ils semblables ? (Justifier) ............................................................. ............................................................. ............................................................. ............................................................. ............................................................. ............................................................. Exercice 4 : Sur la figure ci- contre, les droites (AC) et (DE) sont parallèles. Les points B, E et C d’une part et B, D et A d’autre part sont alignés. 1/ Montrer que les triangles BDE et BAC sont semblables. 2/ Calculer BC 3/ En déduire AC et AD.
Exercices Thème 7 : Triangles Semblables Troisième Dans chaque cas ci-dessous, indique si les deux triangles sont semblables. On considère un triangle BUL, rectangle en B, tel que 𝐵𝑈𝐿̂ = 35°, et un triangle GOM, rectangle en G, tel que 𝐺𝑂𝑀̂ = 55°. Ces triangles sont-ils semblables ? Justifie. BUS est un triangle tel que : BU = 4cm, US = 5cm et SB = 6cm. CAR est un triangle semblable au triangle BUS. a/ Est-il possible que les dimensions du triangle CAR soient 8cm, 9cm et 10cm ? b/ On suppose que CA = 12cm. Combien peuvent alors mesurer [AR] et [RC] ? Donne plusieurs possibilités. Mary Read était une célèbre femme pirate, décédée le 8 avril 1721 en Jamaïque. Son bateau avait deux voiles : une grande et une petite. Ces deux voiles, assimilées à des triangles, peuvent être considérées semblables. 1/ Calculer le coefficient de réduction qui permet de passer de la grande voile à la petite. 2/ En déduire la hauteur de la petite voile. 3/ Calculer l’aire de la grande voile et en déduire celle de la petite de deux manières différentes. Dans chaque cas ci-dessous, indique si les deux triangles sont semblables. Mathys affirme : « Les angles vert et bleu ont la même mesure ». Pour estimer la hauteur de l’obélisque de la place de la Concorde à Paris, un touriste mesurant 1,84m regarde dans un miroir (M) dans lequel il arrive à voir le sommet S de l’obélisque. Les angles 𝐴𝑀𝑇̂ et 𝐵𝑀𝑆̂ ont la même mesure. Calculer la hauteur de l’obélisque. Les triangles ABE et IFH de ces deux rampes sont semblables. Calculer les longueurs IH et IF.
Notion 19 Factoriser à l’aide d’un facteur commun (2ème partie) Niveau 5-4-3 Exercice 1 : On considère l’expression 𝐺 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 1) + (𝑥 + 2)(𝑥 + 4). a/ L’expression G est une somme de deux termes. Quel est le premier terme ? ......................................... Quel est le deuxième terme ? ....................................... b/ Souligner en rouge le facteur commun à ces deux termes. c/ Compléter : 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 = 𝑘(… + ⋯ ). d/ On veut utiliser cette propriété pour factoriser l’expression G. Qui joue le rôle de k ?.......................... Le rôle de a ?.......................... Le rôle de b ?.......................... e/ Factoriser l’expression G........................................................................................................................................... Propriété : Factoriser, c’est . ................................................................................................................................................... On utilise la formule de distributivité suivante : Soient k, a et b des nombres relatifs k × a + k × b = ……………………… Remarque : Pour factoriser, il faut trouver le facteur commun k : c’est celui qui apparaît dans chacun des deux produits Exemples : Factoriser les expressions suivantes A = −2(𝑥 + 9) − (𝑥 + 9)(4𝑥 − 5) B = (4𝑥 + 5)2 + (2𝑥 − 9)(4𝑥 + 5) : Exercice 2 : Factoriser Exercice 3 : Factoriser Exercice 4 : Factoriser Exercice 5 : Factoriser
Notion 20 Factoriser à l’aide d’une identité remarquable Niveau 5-4-3 Soient a et b deux nombres relatifs. On a : Propriété : Remarques : … … … … … … … … … . = … … … …. … … … … … … … … … . = … … … …. … … … … … … … … … . = … … … …. Exemples C = 𝑥2 − 8𝑥 + 16 On utilise la ………… identité remarquable avec a = ….. et b = ….. car il y a … « morceaux » avec ……………… D = 49 − 𝑥2 On utilise la ………… identité remarquable avec a = ….. et b = …..car il y a … « morceaux » avec ………………. E = 25𝑥2 + 70𝑥 + 49 On utilise la ………… identité remarquable avec a = ….. et b = …..car il y a … « morceaux » avec ………………. Exercice 1 : Compléter les égalités suivantes : 81𝑥2 = (… … )2 49𝑥2 = (… … )2 Exercice 2 : Factoriser 𝐴 = 𝑥2 − 36 = .................................................... 𝐵 = 9 − 𝑦2 = ...................................................... 𝐶 = 16 − 𝑦2 = .................................................... Exercice 3 : Factoriser 𝐴 = 16𝑥2 − 9 = .................................................. 𝐵 = 49 − 25𝑦2 = ............................................... 𝐶 = 144𝑥2 − 36𝑦2 = ......................................... 𝐷 = 1 − 64𝑥2 = .................................................. Exercice 4 : Soit n un nombre entier. On pose : 𝐸 = 𝑛(𝑛 − 6) + 9 1/ Montrer que E est égal au carré d’un nombre entier lorsque : a/ n= 14 b/ n=15 ................................................................................ ................................................................................ 2/a/ Développer (𝑛 − 3)2 ................................................................................ ................................................................................ b/ En déduire que quel que soit le nombre n choisi, E est égal au carré d’un nombre entier. ................................................................................
Exercices Thème 8 : Calcul Littéral (2ème partie) Troisième Souligner le facteur commun dans chaque expression: A = 3𝑥 + 3𝑦 B = −3𝑎 + 3𝑏 C = 7𝑥 + 12𝑥 D = −6(3𝑥 – 2) – (3𝑥 – 2)(𝑥 – 4) E = (𝑥 + 2)(𝑥 + 1) + (𝑥 + 2)(7𝑥 – 5) F = (2𝑥 + 1)² + (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3) G = (𝑥 + 1)(2𝑥 – 3) + (𝑥 + 1)(5𝑥 + 1) H = (3𝑥 – 4)(2 – 𝑥) – (3𝑥 – 4)² Factoriser chaque expression A = 3𝑥 + 3𝑦 A = ..................................................................................... B = −3𝑎 + 3𝑏 B = ..................................................................................... C = 7𝑥 + 12𝑥 C = ..................................................................................... C = ..................................................................................... D = −6(3𝑥 – 2) – (3𝑥 – 2)(𝑥 – 4) D = ..................................................................................... D = ..................................................................................... E = (𝑥 + 2)(𝑥 + 1) + (𝑥 + 2)(7𝑥 – 5) E = ..................................................................................... E = ..................................................................................... F = (2𝑥 + 1)2 + (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3) F = ..................................................................................... F = ..................................................................................... G = (𝑥 + 1)(2𝑥 – 3) + (𝑥 + 1)(5𝑥 + 1) G = ..................................................................................... G = ..................................................................................... H = (3𝑥 – 4)(2 – 𝑥) – (3𝑥 – 4)² H = ..................................................................................... H = ..................................................................................... Faire apparaître le facteur commun, puis factoriser : A = (𝑥 + 1)(𝑥 + 2) + (2𝑥 + 2)(3𝑥 – 4) A = ..................................................................................... A = ..................................................................................... B = (𝑥 – 1)(2𝑥 + 1) + (6𝑥 + 3)(3 – 𝑥) B = ..................................................................................... B = ..................................................................................... C = (3𝑥 + 1)(2𝑥 + 6) – (𝑥 + 3)(5𝑥 – 1) C = ..................................................................................... C = ..................................................................................... On considère l’expression E = (𝑥 − 3)2 − (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) a/ Développe et réduis E. b/ Comment peut-on déduire, sans calculatrice, le résultat de 99 9972 − 99 999 × 99 998 ? c/ Factorise l’expression : F = (4𝑥 + 3)2 − (4𝑥 + 1)(7𝑥 − 6) Retrouver l’expression dont on connaît le carré : 4𝑥² = ( 𝟐𝒙 )² 9𝑥² = ( … … )² 49𝑥² = ( … … )² 36𝑥² = ( … … )² 81𝑥² = ( … … )² 25𝑥² = ( … … )² a/ Compléter l’égalité suivante : (𝑎 – 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = ............................................................... b/ Factoriser les expressions suivantes F = 4 – 64𝑥² = ................................................................... G = 16 – 9𝑥² = ................................................................ H = (𝑥 + 1)² – 4 = .......................................................... I = (𝑥 + 1)² – (2𝑥 + 3)² I = ....................................................................................... I = .......................................................................................
Notion 21 Calculer une moyenne / une moyenne pondérée Niveau 5-4-3 Exercice 1: Yann a prévu de vendre 15 tee-shirts à 8€ pièce, 9 tee-shirts à 11€ pièce et 6 tee-shirts à 20€ pièce. Finalement, il trouve que l’écart de prix entre les tee-shirts est trop important et décide de vendre tous ses tee-shirts au même prix. Quel prix doit afficher Yann pour obtenir la même recette ? ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Définition : La moyenne ......................................................................................................................................... On la calcule ................................................................................................................................................................ Exemple : Voici les notes obtenues par des élèves d’une classe de 3ème lors d’une évaluation : 11 ; 4 ; 8 ; 6 ; 14 ; 10 ; 9 ; 16 ; 10 ; 7 ; 10 ; 13 ; 14 ; 8 ; 10 ; 12 ; 7 ; 11 ; 7 ; 13 ; 10 ; 11 ; 5 ; 15 ; 9 ; 9 ; 11 ; 11 ; 14. Méthode 1: ........................................................................................................................................................................................ Méthode 2: Les valeurs sont Les effectifs sont La moyenne vaut : ............................................................................................................................................... Interprétation de la moyenne :........................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. Exercice 2 : Voici les résultats d’une enquête sur le nombre d’enfants par famille. Nombres d’enfants par famille 1 2 3 4 5 6 Effectif 6 9 5 4 0 1 1/ Calculer le nombre de personnes interrogées. ................................................................................. 2/ Déterminer le nombre total d’enfants qui correspond à cette enquête. ............................ 3/ Calculer le nombre moyen d’enfants par famille et interpréter le résultat obtenu. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. Exercice 3 : Voici les prix proposés sur un site de téléchargement de musique en ligne. Variété internationale Variété française Musique classique Comptine Prix unitaire 1,30€ 1,20€ 1,10€ 0,70€ 1/ Fabrice télécharge 5 titres de variété internationale et 6 morceaux de musique classique. Calculer le prix moyen d’un titre de son panier (arrondir au centime d’euro) ........................................................................... ......................................................................................... 2/ Pour la même somme que Fabrice, Ludovic télécharge 5 comptines et des titres de variété française. Déterminer le nombre de titres de variété française que Ludovic a téléchargé. .......................................... .........................................................................................
Notion 22 Calculer une étendue Niveau 5-4-3 Exercice 1: Yann a prévu de vendre 15 tee-shirts à 8€ pièce, 9 tee-shirts à 11€ pièce et 6 tee-shirts à 20€ pièce. Quel est le plus grand écart entre les différents tarifs ? ................................................................................. Définition : L’étendue .................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................. Méthode : Voici les notes obtenues par des élèves d’une classe de 3ème lors d’une évaluation en mathématiques : 11 ; 4 ; 8 ; 6 ; 14 ; 10 ; 9 ; 16 ; 10 ; 7 ; 10 ; 13 ; 14 ; 8 ; 10 ; 12 ; 7 ; 11 ; 7 ; 13 ; 10 ; 11 ; 5 ; 15 ; 9 ; 9 ; 11 ; 11 ; 14. Les valeurs sont Les effectifs sont L’étendue vaut : ................................................................................................................................................................. Exercice 2 : Calculer l’étendue de chaque série a/ 10 ; 12 ; 13 ; 18 ; 20 ........................................................................................... b/ 160 ; 250 ; 400 ........................................................................................... c/ 5,4 ; 2,7 ; 8 ; 6,3 ; 9,2 ; 7,1 ........................................................................................... Exercice 3 : Voici un diagramme qui représente la répartition des notes des 4ème Z à un contrôle de mathématiques. 1/ Déterminer l’effectif total de la classe. ..................................................................................... 2/ Calculer la moyenne des notes obtenues à ce devoir. ...................................................................... ..................................................................................... 3/ Déterminer l’étendue de cette série de notes. ..................................................................................... 4/ En 4ème Y, la moyenne est identique mais l’étendue est de 4 points. Dans quelle classe les notes sont-elles les plus dispersées ? Dans quelle classe les résultats sont-ils les plus homogènes ? ..................................................................................... ..................................................................................... 5/ En 4ème Y, la plus basse note est de 10. Quelle est la note la plus élevée de cette classe ? ..................................................................................... .....................................................................................
Notion 23 Déterminer la médiane d’une série statistique sous forme de listes Niveau 5-4-3 Exercice 1: Voici les performances en course à pied de deux groupes d’élèves de 4ème sur 60m. Groupe A : 10,4s ; 9,2s ; 7,1s ; 8,0s ; 7,3s ; 9,5s ; 8,3s ; 8,4s ; 9,4s ; 9,1s . Groupe B : 9,1s ; 8,8s ; 7,3s ; 10,1s ; 10,5s ; 7,7s ; 7,0s ; 10,5s ; 10,4s Pour chaque groupe, quel est le temps à ne pas dépasser pour être dans la moitié la plus rapide de ce groupe ? ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Définition : Dans une série de valeurs rangées ................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Autrement dit , .......................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................ Exemple 1: Dans une série statistique d’effectif impair Exemple 2: Dans une série statistique d’effectif pair Exercice 2 : Dans chacun des cas suivants, indiquer quelle position de la valeur qu’on doit prendre pour obtenir la médiane de la série. Toutes les valeurs sont rangées par ordre croissant. a/ Série de 61 valeurs ........................................... b/ Série de 24 valeurs .......................................... c/ Série de 2 017 valeurs ..................................... d/ Série de 2 020 valeurs .................................... Exercice 3 : Afin d’organiser un voyage au ski, on a demandé aux 23 élèves d’une classe leur pointure. 40 ; 38 ; 34 ; 36 ; 33 ; 37 ; 40 ; 34 ; 40 ; 41 ; 40 ; 34 ; 35 ; 33 ; 34 ; 39 ; 40 ; 41 ; 33 ; 34 ; 33 ; 38 ; 34. 1/ Quelle est l’étendue de cette série ? 2/ Déterminer la médiane de cette série. Interpréter le résultat obtenu. Exercice 4 : On a relevé les quantités d’eau tombées pendant une semaine. 1/ Calculer l’étendue de cette série. 2/ Déterminer la quantité médiane d’eau tombée pendant cette semaine. 3/ S’il était tombé 3mm de plus par jour, combien vaudrait l’étendue ? la médiane ?
Notion 24 Déterminer une médiane dans un tableau avec effectifs Niveau 5-4-3 Exercice 1: Les notes sur 10 des candidats à un concours de mathématiques sont regroupées dans le tableau suivant. a/ Donner l’étendue de cette série : …………………………… Donner l’effectif total : ......................................... b/ Combien de candidats ont-ils eu une note inférieure ou égale à 3 ?......... à 8 ? ……… c/ Compléter le tableau suivant. d/ En déduire la médiane de cette série de notes : ........................................................................................... Définition : Dans une série de valeurs rangées ......................................................................................... ................................................................................................................................................................................. Autrement dit , .................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. Exemple : On demande aux 128 membres d’une petite bibliothèque, le nombre de livres lus en un mois. Déterminer le nombre médian de livres lus par ces membres. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. Exercice 2 : Donner la position de la médiane pour chacune des séries suivantes. ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... Exercice 3 : On a relevé la température à un même instant mais à des endroits différents. 1/ Combien de relevés ont été effectués ? 2/ A combien d’endroits la température est-elle inférieure ou égale à -1°C ? 5°C ? 3/ Construire le tableau des effectifs cumulés. 4/ Déterminer la médiane et interpréter le résultat obtenu. Exercice 4 : On a demandé à des élèves la somme d’argent de poche que leurs parents leur donnent chaque mois. Voici les résultats 1/ Calculer l’étendue de cette série. 2/ Compléter le tableau suivant. 3/ Déterminer la médiane et interpréter le résultat. Nombre de livres lus 2 3 5 7 Effectif 33 31 45 19
Exercices Thème 9 : Statistiques Troisième On considère la série statistique suivante. Calculer la moyenne, l’étendue et la médiane de cette série. Détermine une série de 5 nombres dont la moyenne est 10, dont l’étendue est 10 et dont la médiane est 10. Le tableau suivant donne la répartition des notes des élèves d’une classe à la dernière évaluation. Détermine une approximation de la moyenne de la classe à ce devoir. Une entreprise emploie sept femmes et douze hommes. Leurs salaires nets mensuels en euros sont : a/ Calculer l’étendue de chacune de ces séries b/ Calculer le salaire moyen de chaque série c/ Détermine une médiane de chaque série d/ Interpréter les résultats précédents Un professeur d’EPS a organisé un concours de lancés de javelot. Voici les distances atteintes (en mètres) par ses 21 élèves. a/ Calculer la moyenne de cette série. Interpréter le résultat. b/ Compléter le tableau suivant. c/ Combien d’élèves ont lancé à 9m ou plus ? d/ Combien d’élèves ont lancé à au moins 9m ? e/ Combien d’élèves ont lancé au plus à 11,9m ? Lors d’un contrôle, on a pesé 25 boîtes de conserve à la sortie d’une chaine de remplissage. Voici l’histogramme représentant la répartition de ces boîtes suivant leur masse. a/ Complète le tableau suivant, où x désigne la masse en grammes. b/ Quel est le pourcentage du lot de ces 25 boites qui ont une masse strictement inférieure à 101 g ? c/ Détermine une approximation de la moyenne du poids de ces boîtes. On a relevé les précipitations mensuelles (en mm) de Lille en 2009.
Notion 25 Trigonométrie : Découvrir les rapports trigonométriques Niveau 5-4-3 Exercice 1 : On considère trois triangles rectangles ayant un angle de 35°. 1/ A l’aide d’une calculatrice, donner la valeur approchée au centième des quotients suivants. a/ 𝐴𝐶 𝐴𝐺 ≈ ⋯ 𝐵𝐷 𝐵𝐻 ≈ ⋯ 𝑆𝐸 𝑆𝐼 ≈ ⋯ Que constate-t-on ? ....................... b/ 𝐶𝐺 𝐴𝐺 ≈ ⋯ 𝐻𝐷 𝐵𝐻 ≈ ⋯ 𝐼𝐸 𝑆𝐼 ≈ ⋯ ............................................................. c/ 𝐶𝐺 𝐶𝐴 ≈ ⋯ 𝐸𝐼 𝐸𝑆 ≈ ⋯ 𝐷𝐻 𝐷𝐵 ≈ ⋯ 2/ A l’aide d’une calculatrice, donner une valeur approchée de : cos(35°) ……… sin(35°) ……… tan(35°) …… Vocabulaire : Définitions : Dans .............................................................................................................................................. Exercice 2 : On considère le triangle suivant. Associer chaque nombre de la coonne de gauche à une fraction. Exercice 3 : On considère le triangle ci-dessous. Compléter les égalités suivantes a/ cos(KBĜ) =…… b/ tan(KBĜ) =…… c/ sin(KBĜ) = …… d/ cos(BGK̂) = …… Exercice 4 : On considère le rectangle suivant. 1/ Montrer que AC=BD=5cm. 2/ Donner la valeur exacte de : a/ cos(𝐶𝐴𝐵̂) = .................................. b/ tan(𝐷𝐶𝐴̂) = .................................. c/ sin(𝐶𝐵𝐷̂) = ...................................
Notion 26 Trigonométrie : Choisir une fonction trigonométrique Niveau 5-4-3 Exercice 1 : On veut calculer les éléments manquants, marqués d’un 𝑥 ou d’un y, dans les triangles essinés ci-dessous, avec les longueurs à 0,1 cm près et les angles à 1° près. Compléter le tableau avec les informations demandées. Ce que l’on connait parmi : Angle Adjacent – Opposé - Hypoténuse Ce que l’on cherche parmi : Angle Adjacent – Opposé - Hypoténuse Initiales des côtés Fonction utilisée ................................................................................................................................................................................. Méthode : ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. Pour chaque exercice, noter quelle relation trigonométrique on peut utiliser. Exercice 2 : ABC est un triangle rectangle en A tel que AC = 2 cm et BC = 6 cm. Calculer la mesure de l’angle x. Exercice 3 : IJK est un triangle rectangle en K tel que x = 25° et IJ = 13 cm. Calculer la longueur de [IK]. Exercice 4 : DEF est un triangle rectangle en E tel que x = 62° et EF = 4 cm. Calculer la longueur de [DE]. A C B x I K x J F D x E
Notion 27 Trigonométrie : Calculer une longueur Niveau 5-4-3 Exercice 1 : On veut calculer les éléments manquants, marqués d’un 𝑥 ou d’un y, dans les triangles dessinés ci-dessous, avec les longueurs à 0,1 cm près et les angles à 1° près. Pour chaque figure, compléter les égalités suivantes : …………( … …̂) = ……… ……… …………( … …̂) = ……… ……… …………( … …̂) = ……… ……… …………( … …̂) = ……… ……… …………( … …̂) = ……… ……… …………( … …̂) = ……… ……… Méthode 1 : Calculer la longueur CB de ce Méthode 2 : Calculer la longueur DF de ce triangle rectangle au dixième près triangle rectangle au dixième près. .................................................................................. .................................................................................... .................................................................................. .................................................................................... .................................................................................. .................................................................................... .................................................................................. .................................................................................... .................................................................................. .................................................................................... .................................................................................. .................................................................................... .................................................................................. .................................................................................... Exercice 2 : Le triangle STU est rectangle en T. On sait que TS=4,5cm et 𝑆𝑈𝑇̂ = 41°. On veut calculer SU. 1/ éléments connus : ........................ 2/ élément cherché : ..................... 3/ formule utilisée : ........................ 4/ Calculer SU. Exercice 3 : Soit un triangle AHT tel que HT=10cm, 𝐴𝐻𝑇̂ = 35° et 𝐴𝑇𝐻̂ = 55°. 1/ Faire une figure à main levée. 2/ Montrer que le triangle AHT est rectangle. 3/ Calculer la longueur AT. 4/ Calculer la longueur AH de deux manières différentes. Exercice 4 : L’échelle d’un maçon est posée sur un mur de 4,5m de haut. L’angle entre le sol et l’échelle est de 73°. Calculer la longueur de l’échelle au centimètre
Notion 28 Trigonométrie : Calculer la mesure d’un angle Niveau 5-4-3 Exercice 1 : Pour déterminer un angle connaissant son sinus, on utilise la seconde fonction de la touche sin notée : sin-1 ou Arcsin . Sur d’autres calculatrices, on cherche cette fonction dans le menu. Pour déterminer l’angle 𝐴̂ dont le sinus est égal à 0,7 , on utilise la séquence Arcsin 0 , 7 . La calculatrice affiche 44,427004 . On écrit : 𝐴̂ ≈ 44° . A l’aide de la calculatrice, donner un arrondi au degré près des angles 𝐴̂ , 𝐵̂ , 𝐶̂ , 𝐷̂ et 𝐸̂ sachant que : • tan 𝐴̂ = 10 • cos 𝐵̂ = 0,7 • sin 𝐶̂ = 0,25 • tan 𝐷̂ = 1,7 • sin 𝐸̂ = 0,33 cos 𝐹̂ = 1,3 𝐴̂ ……… 𝐵̂ ……… 𝐶̂ ……… 𝐷̂ ……… 𝐸̂ ……… 𝐹̂ Méthode : Enoncé : On considère un triangle RST rectangle en R tel que RT = 2,8cm et RS = 5,7cm. Calculer la mesure de l’angle 𝑅𝑇𝑆̂ au degré près. Recherche et figure à main levée : Rédaction finale : Exercice 2 : Trouver la valeur approchée au degré près de l’angle 𝐴𝐵𝐶̂ dans chacun des cas suivants. a/ 𝑐𝑜𝑠𝐴𝐵𝐶̂ = 8 15 ............................ b/ 𝑠𝑖𝑛𝐴𝐵𝐶̂ = 2 3 ............................ c/ 𝑡𝑎𝑛𝐴𝐵𝐶̂ = 8 4 ............................ d/ 𝑠𝑖𝑛𝐴𝐵𝐶̂ = 0,5 ............................ Exercice 3 : On considère le triangle REC rectangle en E. Calculer la mesure de l’angle 𝑅𝐶𝐸̂ arrondie à l’unité Exercice 4 : On considère le triangle TAN, rectangle en T. Calculer la mesure de l’angle 𝑇𝐴𝑁̂ arrondie au dixième près. Exercice 5 : Le triangle GLE est rectangle en L Calculer la mesure de l’angle 𝐸𝐺𝐿̂ arrondie au dixième près. Exercice 6 : EFG est un triangle rectangle tel que EF=8cm et FG=6cm. 1/ Construire le triangle EFG en vraie grandeur. 2/ Calculer la mesure de l’angle 𝐸𝐹𝐺̂ arrondie au degré près. 3/ Vérifier la cohérence du résultat précédent en mesurant l’angle sur la figure.
Exercices Thème 10 : Trigonométrie Troisième Complète le tableau. Dans quel(s) triangle(s) peut-on écrire que Complète avec le tableau avec le numéro du triangle qui convient. Détermine la valeur de l’inconnue. A l’aide de la calculatrice, donne la valeur, arrondie au centième, des nombres suivants. Dans chaque cas ci-dessous, calcule la valeur SO, arrondie au dixième. Un vendeur souhaite rendre son magasin plus accessible aux personnes à mobilité réduite. Pour cela, il s’est renseigné sur les normes et a décidé d’installer une rampe d’accès avec une pente de 3°, comme sur ce schéma : A quelle distance du magasin, arrondie au centimètre, faut-il positionner la rampe ? Tout ça pour ça… Donne la valeur de 𝑥, arrondie au degré.
Exercices Thème 10 : Trigonométrie Troisième Dans chaque cas ci-dessous, calcule la mesure de l’angle 𝑀𝑁𝑂̂, et donne sa valeur arrondie au degré. A l’aide des informations ci-dessous, calcule la mesure, arrondie au degré, de l’angle 𝐴𝐼𝑂̂. Pour toucher le chapeau d’Averell, Lucky Luke va devoir incliner son pistolet avec précision. On suppose que les deux cow-boys se tiennent perpendiculairement au sol. On obtient la pente d’une route en calculant le quotient du dénivelé (c’est-à-dire le déplacement vertical) par le déplacement horizontal correspondant. Une pente s’exprime sous forme d’un pourcentage. Sur l’exemple ci-dessus, la pente de la route est : Classe les pentes suivantes dans l’ordre décroissant. On désire rajouter une sortie de cheminée au tracé d’une maison. Calcule EM, HC et HE afin de pouvoir obtenir une belle sortie de cheminée.
Notion 29 Découvrir les fonctions linéaires Niveau 5-4-3 Exercice 1 : 1/ Ecrire pour chaque programme la fonction associée. Programme 1 : ......................................................................................................................................................... Programme 2 :......................................................................................................................................................... Programme 3 : ....................................................................................................................................................... 2/ Pour quel programme a-t-on une situation de proportionnalité entre les images et les antécédents ? ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... Définition : Une fonction f est linéaire ........................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. Le nombre a est appelé : ................................................................................................................................... Exemple : f est la fonction linéaire de coefficient -3 donc : …….. …………………… ou … ………………… f(2) = ………………………..……….. noté également : ……………………….. f(5) = ………………………..………. ……………………….. Exercice 2 : Préciser pour chaque fonction si elle est linéaire. Justifier Exercice 3 : f est une fonction linéaire de coefficient 7. Calculer. ...................................................................................... Exercice 4 : f est une fonction linéaire de coefficient -0,5. Calculer. Exercice 5 : f est une fonction linéaire définie par 𝑓: 𝑥 → 6𝑥. Exercice 6 : f est une fonction linéaire. Retrouver son coefficient dans chacun des cas suivants. Exercice 7 : On considère une fonction linéaire f telle que 𝑓(6) = 2,4 1/ Déterminer l’expression de la fonction f. 2/ Calculer 𝑓(13). 3/ Trouver la valeur de 𝑥 telle que 𝑓(𝑥) = −1,6
Notion 30 Représenter graphiquement les fonctions linéaires Niveau 5-4-3 Exercice 1 : 1/ Compléter les tableaux suivants. 2/ A quelle fonction correspond chaque tableau ? ....................................................................................... 3/ Représenter graphiquement ces deux fonctions. Que constate-t-on ? ............................................. ................................................................................................................................................................................... Propriété : .......................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................. Définition : .......................................................................................................................................................... Exemple : Représentons graphiquement les fonctions linéaires On désignera par d1 et d2 leurs droites respectives. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
Exercice 2 : f est une fonction linéaire définie par 𝑓: 𝑥 → 3𝑥. 1/ Indiquer quel procédé permet d’obtenir l’image d’un nombre. ......................................................... ................................................................................. 2/ Calculer f(1). ................................................... 3/ Donner les coordonnées de deux points par lesquels passe la représentation graphique de f. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. 4/ Tracer la représentation graphique (en bleu) de la fonction f. Exercice 3 : a/ Tracer la représentation graphique (en rouge) de la fonction linéaire g définie par 𝑔: 𝑥 → 2𝑥. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. b/ Tracer la représentation graphique (en vert) de la fonction linéaire g définie par ℎ: 𝑥 → −1,5𝑥. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. Exercice 4 : Associer chaque fonction f, g et h à la droite qui la représente. 𝑓: 𝑥 → −0,5𝑥 ............................................. 𝑔: 𝑥 → 𝑥 ............................................. ℎ: 𝑥 → −3𝑥 ............................................. Exercice 5 : Déterminer la fonction linéaire f représentée ci-dessous. .................................................................................... .................................................................................... .................................................................................... Exercice 6 : 1/ Dans un repère, représenter graphiquement la fonction 𝑓: 𝑥 → − 1 3 𝑥. 2/ a/ Placer les points A(5 ;-1,5) et B(-3 ;1). b/ Le point A appartient-il à la représentation graphique de la fonction f ? Justifier par un calcul. ........................................................................................... ........................................................................................... b/ Même question pour le point B. ........................................................................................... ...........................................................................................
Notion 31 Appliquer et calculer avec des pourcentages Niveau 5-4-3 Exercice 1 : En France, le taux normal de la TVA (taxe sur la valeur ajoutée) est de 20%. Un commerçant doit augmenter de 20% le prix HT (hors taxes) des articles qu’il vend pour obtenir les prix de vente TTC (toutes taxes comprises). 1/ Comment connaître le prix de vente d’un article : a/ de 15€ hors taxes ?....................................................................................................................................... b/ de 230€ hors taxes ? ................................................................................................................................... 2/ Les commerçants utilisent souvent une unique opération. Comment obtenir directement les résultats par une seule multiplication ? ........................................................................................................ Propriété 1 : Calculer a% d’un nombre, ..................................................... ..................................................... ..................................................... Exemple 1 Calculer 30% du nombre 120 ..................................................... ..................................................... ..................................................... Propriété 2 : Augmentation Augmenter un nombre de a% ..................................................... ..................................................... ..................................................... Exemple 2 Calculer le prix d’un article qui coutait 120€ avant augmentation de 30% ..................................................... ..................................................... ..................................................... Propriété 3 : Diminution Diminuer un nombre de a% ..................................................... ..................................................... ..................................................... Exemple 3 Calculer le prix d’un article qui coutait 120€ avant diminution de 30% ..................................................... ..................................................... ..................................................... Remarque 1 : ........................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... Remarque 2 : ........................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... Exercice 2 : Associer chaque variation en pourcentage à la fonction linéaire correspondante. Exercice 3 : Un magasin effectue une remise (solde) de 20% sur l’ensemble du magasin. Afin d’aider les clients à évaluer les montants à payer, compléter le tableau. Exercice 4 : Compléter ce tableau Evolution Fonction associée Valeur initiale Valeur finale Augmentation de 5% 𝑥 → ……… 215€ ……… € Diminution de 35% 𝑥 → ……… 7,5L ……… L …………………… de ……… % 𝑥 → 1,16𝑥 80 kg ……… …………………… de ……… % 𝑥 → ……… 65m 59,8 m …………………… de ……… % 𝑥 → 1,3𝑥 ……… 15€ Exercice 5 : 1/Durant les soldes, un magasin de téléphonie propose d’abord une réduction de 30% sur les coques de portable. Calculer les prix de ces articles. ............................................................. ............................................................. ............................................................. 2/ Une semaine après, ce magasin diminue encore ses prix de 20%. a/ Calculer ces nouveau prix. ............................................................. b/ Y a-t-il eu une réduction globale de 50% ? ............................................................. .............................................................
Exercices Thème 11 : Proportionnalité/Fonction Linéaire Troisième Complète le tableau ci-dessous, en indiquant les fonctions linéaires et leur coefficient. f est une fonction linéaire de coefficient -5 a/ Complète le tableau de valeurs suivant. b/ Que peux-tu dire de ce tableau. Les droites (d1), (d2), (d3) et (d4) sont les représentations graphiques respectives des fonctions linéaires f1, f2, f3 et f4. a/ Quelles sont les coordonnées des points A1, A2, A3 et A4 ? ........................................................................................ b/ Déduis-en quatre égalités avec f1, f2, f3 et f4. .................................................................................... c/ Complète le tableau ci-dessous. d/ Déduis-en les expressions de f1, f2, f3 et f4. .................................................................................... .................................................................................... .................................................................................... .................................................................................... Trace les représentations graphiques. Complète le tableau ci-dessous. Complète les étiquettes ci-dessous (justifie).
Notion 32 Découvrir les homothéties Niveau 5-4-3 Exercice 1 : Définition : Remarque : ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................
Exercice 2 : On considère les figures suivantes. Indiquer les figures obtenues à partir de la figure bleue par une homothétie de centre N. Préciser le signe du rapport de l’homothétie trouvée. ............................................... ............................................... ............................................... ............................................... Exercice 3 : 1/ Reproduire sur quadrillage la figure suivante. 2/ Construire l’image B’C’D’E’ du quadrilatère BCDE par l’homothétie de centre A et de rapport 2. 3/ Construire l’image B’’C’’D’’E’’ du quadrilatère BCDE par l’homothétie de centre A et de rapport -2. Exercice 4 : 1/ Reproduire sur quadrillage la figure suivante. 2/ Construire l’image de la droite (AB) par l’homothétie de centre O et de rapport 2. 3/ Construire l’image de la droite (AB) par l’homothétie de centre O et de rapport− 1 2. Exercice 5 : 1/ Reproduire une figure de ce type dans laquelle C ’ est l’image de C par une homothétie h de centre O. 2/ Tracer A’B’C ‘ l’image du triangle ABC par l’homothétie h. Quel est le rapport k de cette homothétie ? Exercice 6 : Le pharaon 1/ Reproduire la figure ci-dessus. 2/ Construire son image par l’homothétie de centre B et de rapport 0,5. Exercice 7 : Les Daltons Après avoir observé ce dessin, Lili affirme qu’elle reconnait deux transformations géométriques. Antoine lui répond qu’elle se trompe. 1/ A quelles transformations Lili pense-t-elle ? ...................................................................................... ...................................................................................... 2/ Lequel des deux a raison ? Justifier. ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ......................................................................................
Notion 33 Faire des agrandissements et des réductions dans le plan Niveau 5-4-3 Exercice 1 : 1/ Construire un rectangle ABCD tel que AB=2cm et AD=3cm. 2/ Construire l’image A’B’C ‘D’ du rectangle ABCD par l’homothétie de centre A et de rapport 3. 3/ Calculer l’aire de chacun des rectangles. 4/ Par quel nombre a-t-on multiplié l’aire de ABCD pour obtenir l’aire de A’B’C ‘D’ ? Propriété 1 : ....................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................. Propriété 2 : ....................................................................................................................................................... Exemple : Aire de la figure initiale Homothétie de centre I et de rapport k Agrandissement ou réduction Aire de la figure transformée 10 cm2 1,5 …………………………… ………………………………………………… 10 cm2 0,4 …………………………… ………………………………………………… 10 cm2 -0,8 …………………………… ………………………………………………… 10 cm2 -2 …………………………… ………………………………………………… Exercice 2 : On considère une homothétie h de rapport k, un triangle T et son image T ’ par h. Choisir la (ou les) bonnes réponse(s). 1/ Si le périmètre de T est 15cm et le périmètre de T’ est 10cm, alors on peut avoir : 2/ Si l’aire de T est 15cm2 et l’aire de T ’ est 240cm2, alors on peut avoir : Exercice 3 : Si on transforme un triangle ABC par une homothétie de rapport 5, par combien sera multipliée : son aire ? ............................................................ son périmètre ? ................................................. Exercice 4 : Les droites (BC) et (DE) sont parallèles. 1/Quelle est la transformation qui permet d’obtenir le triangle ADE à partir du triangle ABC ? 2/ De combien de fois l’aire du triangle ADE est- elle plus grande que celle du triangle ABC ? Exercice 5 : On donne AB=6cm et AD=4cm. 1/ Quel est le centre et le rapport de l’homothétie qui transforme le rectangle ABCD en le rectangle IJKL ? 2a/ Calculer le périmètre de IJKL. b/ Calculer l’aire du rectangle IJKL.
Exercices Thème 12 : Transformations / Homothéties Troisième Dans les cas ci-dessous, indique si la figure F2 est l’image de la figure F1 par une homothétie de centre O. Si oui, préciser son rapport. Dans chaque cas ci-dessous, le triangle rouge est l’image du triangle bleu par une certaine transformation. Précise cette transformation (symétrie axiale, symétrie centrale, translation, rotation, homothétie), ainsi que les éléments caractéristiques (centre, axe, angle, rapport,…) Construis le centre de l’homothétie qui transforme la figure de gauche en la figure de droite. a/ b/ a/ Construis en bleu l’image du triangle gris par l’homothétie de centre O et de rapport 2. b/ Construis en rouge l’image du triangle gris par l’homothétie de centre O et de rapport 1 2. c/ Reproduire la figure initiale sur le cahier, placer le point O et reprendre les questions suivantes avec les rapports -2 et -1 2.
Notion 34 Découvrir les fonctions affines Niveau 5-4-3 Exercice 1 : Situation 1 : Jade achète 𝑥 litres d’essence. Le prix au litre est de 1,22€ Situation 2 : Jamel est abonné à un site marchand. Cela coûte 5€ par mois. Grâce à cet abonnement, il peut télécharger des musiques pour 0,25€ le titre. Il compte en télécharger 𝑥 le mois prochain. 1/ Compléter les tableaux suivants. 𝑥 5 8 15 20 𝑥 5 8 15 20 Prix situation 1 Prix situation 2 2/ Décrire chaque situation par une fonction ........................................................................................................................................................................................ 3/ Les deux fonctions sont-elles linéaires ? Justifier. .................................................................................... ........................................................................................................................................................................................ Définition : Une fonction f est affine .......................................................................................................... ................................................................................................................................................................................. Le nombre a est appelé : ................................................................................................................................... Le nombre b est appelé : .................................................................................................................................. Exemples On donne la fonction f : → 5𝑥 – 1. C’est une fonction …………………………… dans laquelle a = …… et b = …… • Calculer une image Calculer l’image de 2 par la fonction f ..................................................................................... Calculer l’image de -3 par la fonction f ..................................................................................... • Calculer un antécédent Calculer l’antécédent du nombre 7 par la fonction f. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ Cas particuliers • Si a = 0, alors f(𝑥) = a𝑥 + b devient f(𝑥) = b C’est une fonction ……………………. • Si b = 0, alors f(𝑥) = a𝑥 + b devient f(𝑥) = a𝑥 C’est une fonction …………………….
Exercice 2 : Préciser si les fonctions suivantes sont affines, linéaires, constantes ou autres (chercher quand c’est possible la valeur de a et de b) fonction Ecriture simplifiée a b réponse f : x 7x – 1 + 2x - 5 ……………………….. ….. ….. …………… g : x -6x × 4 ……………………….. ….. ….. …………… h : x x : 3 ……………………….. ….. ….. …………… i : x 3 : x ……………………….. ….. ….. …………… j : x 3 - 2x ……………………….. ….. ….. …………… k : x 2(2x – 1) – 4x ……………………….. ….. ….. …………… l : x x × x ……………………….. ….. ….. …………… Exercice 3 : f est la fonction affine définie par 𝑓: 𝑥 → 2𝑥 + 3. Calculer l’image par f de : a/ 4 ....................................................................... b/ 0 ....................................................................... c/ -3 ....................................................................... d/ -5 ....................................................................... Exercice 4 : g est la fonction affine définie par 𝑔: 𝑥 → −4𝑥 + 2. Calculer les images suivantes. a/ g(2) b/ g(-5) c/ g(1) d/ g(2,5) Exercice 5 : f est la fonction affine définie par 𝑓: 𝑥 → 3 2 𝑥 − 3. Calculer les images suivantes. a/ f(4) b/ f(-6) c/ f(-1) d/ f(5) Exercice 6 : f est la fonction affine définie par 𝑓: 𝑥 → 2𝑥 − 1. Calculer les antécédents par f de 5 ; 10 et - 4. Exercice 7 : On considère le rectangle suivant. 1/ Déterminer la fonction affine f qui à 𝑥 associe le périmètre de ce rectangle. 2/ Calculer l’image par f de 3,5 puis de 6. Exercice 8 : On considère les deux programmes de calculs suivants. 1/ Tester ces programmes pour 5 et pour -4. 2/ On considère les fonctions qui, au nombre 𝑥 de départ, associent le résultat. L’une des deux est une fonction affine. Laquelle ? Exercice 9 : Un site internet propose des livres de poche à un tarif unique de 3,50€. La livraison est de 7€, quel que soit le nombre de livres achetés. On considère la fonction p qui, au nombre 𝑥 de livres commandés, associe le prix total de la commande. 1/ Déterminer la fonction p. Est-ce une fonction affine. ................................................................................ .............................................................................................. 2/ Calculer p(12) et interpréter le résultat dans le contexte de l’énoncé. ...................................................... .............................................................................................. .............................................................................................. 3/ Calculer p(0,5). ........................................................... 4/ Calculer p(-1). ...............................................................
Notion 35 Représenter graphiquement les fonctions affines Niveau 5-4-3 Exercice 1 : f est la fonction affine définie par 𝑓: 𝑥 → 1,5𝑥 − 2. 1/ Calculer les images par f de -2 ; -1 ; 0 ; 2 ; 5 et 6 et compléter le tableau suivant 𝑥 -2 -1 0 2 5 6 𝑓(𝑥) 2/ En déduire les coordonnées de six points se trouvant sur la courbe représentative. ........................................................................................................................................................................................ 3/ Placer ces points dans un repère. Que constate-t-on ? .............................................................................. 4/ Calculer 𝑓(6)−𝑓(2) 6−2 . Que constate-t-on ? .................................................................................................. Propriété : La représentation graphique d’une fonction affine est ........................................................ ................................................................................................................................................................................. Exemple : Soit la fonction 𝑓(𝑥) = 2𝑥– 3. C’est une fonction ………………. (avec a = ……. et b = ……….). Sa représentation graphique est …………………………….. Dans un tableau de valeurs, on recherche 2 points pour les placer dans un repère. On choisit 2 valeurs de 𝑥 quelconques mais facilement lisibles dans le repère et on trouve leurs images par la fonction f. x f (x)
Exercice 2 : f est la fonction affine définie par 𝑓: 𝑥 → 𝑥 + 4. 1/ Calculer f(0) et f(1). 2/ Tracer un repère et placer deux points de la représentation graphique de f en utilisant les résultats de la question 1. 3/ Tracer la représentation graphique de f en justifiant. Exercice 3 : g est la fonction affine définie par 𝑔: 𝑥 → 0,5𝑥 − 1. 1/ Calculer l’image de 0 et l’image de 2. 2/ Tracer dans un reprère la représentation graphique de la fonction g en utilisant les résultats de la question 1. Exercice 4 : (AB) est la représentation graphique d’une fonction affine 𝑓: 𝑥 → 𝑎𝑥 + 𝑏. Déterminer pour chaque cas l’ordonnée à l’origine b et le coefficient directeur a. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. Exercice 5 : (d) est la représentation graphique d’une fonction affine 𝑓: 𝑥 → 𝑎𝑥 + 𝑏. 1/ Déterminer l’ordonnée à l’origine b. 2/ Déterminer le coefficient directeur a. En déduire l’expression de la fonction f. Exercice 6 : Tracer dans un repère la représentation graphique des fonctions suivantes. a/ 𝑓: 𝑥 → 5𝑥 − 7 b/ 𝑔: 𝑥 → −0,5𝑥 + 3 c/ ℎ: 𝑥 → −𝑥 − 2 Exercice 7 : On compare deux formules de lacations de DVD : Option 1 : chaque DVD est loué 3,50€ ; Option 2 : on paye un abonnement annuel de 12€ puis 2€ par DVD loué. On note 𝑥 le nombre de DVD loués sur l’année. 1/ Compléter le tableau suivant. 2/ Déterminer la fonction f qui modélise le prix à payer en €, en fonction de 𝑥, avec l’option 1. Quelle est la nature de cette fonction ? ................................................................................. 3/ Déterminer la fonction g qui modélise le prix à payer en €, en fonction de 𝑥, avec l’option 2. Quelle est la nature de cette fonction ? ................................................................................. 4/ Tracer les représentations graphiques de ces fonctions dans un repère. 5/ Quelle option permet de louer le plus de DVD si on dispode d’un budget de 70€ ? ................................................................................. 6/ On veut louer 1 DVD par mois, quelle est la meilleure option ? .................................................................................
Exercices Thème 13 : Fonctions affines Troisième Classe les fonctions suivantes dans le tableau ci-dessous. k est la fonction définie par 𝑘: 𝑥 → 2𝑥 − 5 On considère le programme de calcul suivant : « On multiplie par 3, puis on soustrait 4 » Pour mesurer la température, il existe différentes unités : en France, on utilise le degré Celsius ; aux Etats-Unis, on utilise le degré Fahrenheit. Pour passer des degré Celsius aux degré Fahrenheit, on multiplie le nombre de départ par 1,8 puis on ajoute 32 au résultat. On considère les représentations graphiques des fonctions f, g, h et u ci-dessous. f est une fonction affine de la forme 𝑎𝑥 + 𝑏 telle que : 𝑓(−5) = −9 et 𝑓(5) = 11. On souhaite déterminer l’expression de f, c’est- à-dire déterminer a et b. Détermine les fonctions f1 et f2 telles que : h est la fonction définie par ℎ(𝑥) = 3𝑥 − 5
Notion 36 Connaître le vocabulaire des probabilités Niveau 5-4-3 Définition : Une expérience aléatoire est .......................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................ Une issue ..................................................................................................................................................................... Un évènement .............................................................................................................................................................. Si, dans une expérience, toutes les issues possibles ont la même chance de se produire, alors la probabilité d’un évènement A est égale à : Exemples : On lance une pièce de monnaie et on regarde la face supérieure. Les issues possibles sont : ....................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................ On lance un dé à 20 faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du dessus. Les issues possibles sont : ........................................................................................................................................ p(« obtenir un multiple de 5 ») = …… p(« obtenir un nombre inférieur à 25 ») = …… p(« obtenir 26 ») = ........ Définition : L’équiprobabilité ................................................................................................................................. Un évènement certain ............................................................................................................................................... Un évènement impossible .......................................................................................................................................... Exercice 1 : Une boite contient 16 jetons numérotés de 1 à 16, indiscernables au toucher. Léa choisit les yeux fermés un jeton dans cette boite et, après avoir rouvert les yeux, elle note son numéro. a/ Lorsque Léa tire un jeton, quelles sont les résultats possibles ? ........................................... ................................................................ b/ Combien de ces résultats sont inférieurs à 10 ? ................................ c/ Est-ce une situation d’équiprobabilité ? ............................. c/ Combien de chances Léa a-t- elle de tirer un nombre inférieur à 10 ? Exprimer ce résultat sous forme d’une fraction. ................................................................ ................................................................ Exercice 2 : Octave lance deux dés et calcule le produit des deux faces supérieures. 1/ Compléter le tableau. 2/ Quelle chance a-t-il d’obtenir le nombre 12 ? ........................ un nombre pair ? ...................... un multiple de 3 ? .................... Exercice 3 : Un robot lance une fléchette sur la cible ci-contre sans jamais la rater et touche la partie claire ou la partie foncée. On note l’évènement C « la fléchette arrive sur la partie claire » et F l’évènement « la fléchette arrive sur la partie foncée. Calculer p(C) et p(F). p(C) = ......................................... p(F) = ......................................... Exercice 4 : Il reste dans le sachet de Louis les bonbons ci-contre. a/ Combien d’issues y a-t-il ? b/ Que représente la fraction 1 4 ? c/ Combien de bonbons noirs faudrait-il ajouter pour que la probabilité d’obtenir un bonbon noir soit de : 1 2 ? 3 4 ?
Notion 37 Faire le lien entre fréquences et probabilités Niveau 5-4-3 Exercice 1 : 1/A la calculatrice, simuler le tirage au hasard d’un nombre entier compris entre 1 et 6. Appuyer plusieurs fois sur la touche EXE. Quel type de nombre obtient-on ? Expliquer. ................................................................................................................ 2/a/ Appuyer 20 fois sur la touche EXE et noter à chaque fois le nombre obtenu. ........................................................................................................................................................................................ b/ Compléter le tableau suivant : c/ Pour chaque numéro, effectuer un pronostic de ses chances de sortie quand on tire 20 numéros. ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Ce pronostic s’appelle aussi sa probabilité. 3/a/ Compléter le tableau précédent en regroupant tous les résultats de la classe. b/ Quelle probabilité donneriez-vous pour la sortie de chaque numéro ? ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Propriété : ................................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................................................ Exercice 2 : On lance une punaise et on note dans quelle position elle retombe. Au bout de 4612 lancers, la punaise est retombée 1752 fois « pointe en haut ». Lassé de répéter l’expérience, on déclare que la probabilité que la punaise soit « pointe en haut » est égale à 0,38. Expliquer ce choix. Exercice 3 : On considère l’expérience aléatoire suivante. On tire une carte dans un jeu de 32 cartes constitué de 4 familles : 8 piques, 8 cœurs, 8 carreaux et 8 trèfles. On note la famille obtenue, puis on remet la carte dans le jeu et on mélange. On a répété 100 fois cette expérience et on a obtenu le graphique suivant. Exercice 4 : On a simulé 100 000 fois le lancé d’une pièce P1 à l’aide d’un tableur puis on a recommencé avec une autre pièce P2. On a construit les deux graphiques suivants qui ont la même allure. Peut-on penser qu’un des deux pièces est truquée ? Laquelle ? Pourquoi ? ................................................................ ................................................................ ................................................................
Notion 38 Construire un arbre pondéré Niveau 5-4-3 Exercice 1: On dispose d’une boite contenant uniquement des boules rouges, des boules bleues et des boules vertes, indiscernables au toucher. On pioche une boule au hasard dans la boite et on note sa couleur. La probabilité d’obtenir une boule rouge est de 1 8 , celle d’obtenir une boule verte est de 1 4 . On représente alors la situation par le schéma ci-contre. 1/ Quelles sont les issues possibles de cette expérience ? ............................................................................. 2/ Quelle est la probabilité d’obtenir une boule bleue ? 3/ Compléter le schéma en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante. Vocabulaire : Une expérience aléatoire peut être représentée ................................................................... ........................................................................................................................................................................................ Méthode : Construire un arbre pondéré Une boîte contient 5 jetons numérotés de 1 à 5. On tire un jeton et on observe si le numéro du jeton est pair ou impair. Représenter cette expérience par un arbre pondéré. Exercice 2 : Associer chaque arbre pondéré à l’une des boîtes suivantes. ....................................................... ....................................................... ....................................................... Exercice 3 : On lance la roue bien équilibrée ci-contre et on noté la couleur du secteur qui s’arrête devant la flèche. 1/ Lister les issues possibles. ............................................................. 2/ Calculer la probabilité de chacune d’elles. Donner le résultat sous forme décimale. ............................................................. ............................................................. ............................................................. 3/ Construire l’arbre pondéré représentant cette situation. Exercice 4 : On lance un dé cubique truqué. Ce dé a six faces numérotées de 1 à 6 telles que la probabilité d’avoir un nombre pair est le double d’avoir un nombre impaire toutes les faces paires ont la même chance d’être obtenues. toutes les faces impaires ont la même chance d’être obtenues. Compléter l’arbre pondéré.
Notion 39 Construire un arbre pondéré à deux étapes Niveau 5-4-3 Exercice 1 : Propriété : .......................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................. Exemple : On tire une boule dans la boite et on note sa couleur. On tire ensuite une autre boule dans la boite 2 et on note sa couleur. Construire l’arbre pondéré correspondant à cette expérience puis calculer la probabilité de chaque issue. Exercice 2 : On lance une pièce de monnaie et on note si elle tombe sur pile ou sur face. On lance une seconde fois et on note à nouveau sur quel côté elle est tombée. Compléter l’arbre en n’oubliant pas d’indiquer les probabilités sur chaque branche. Exercice 3 : Une coopérative vend un important lot d’œufs de trois tailles différentes. 20% des œufs sont petits, 50% sont moyens et 30% sont gros. Les œufs sont de deux qualités : « extrafrais » car pondus depuis moins de 9 jours ou « frais » car pondi entre 10 et 28 jours plus tôt. On a remarqué que dans ce lot : On prélève un œuf au hasard et on note sa taille et sa qualité. 1/ Compléter l’arbre pondéré ci- dessous. 2/ Quelle est la probabilité d’obtenir un petit œuf extrafrais ? 3/ Quelle est la probabilité d’obtenir un œuf moyen extrafrais ?
Exercices Thème 14 : Probabilités Troisième On lance un dé bien équilibré à six faces numérotées : Une classe est constituée de 25 élèves. Certains sont externes, les autres sont demi- pensionnaires. Le tableau ci-dessous donne la composition de la classe. a/ Complète le tableau. b/ On choisit un élève de cette classe au hasard et on considère les événements suivants : Les événements A et B sont-ils compatibles ? Et les événements B et C ? c/ Décris par une phrase l’événement 𝐴̅, contraire de l’événement A. Puis l’événement 𝐵̅, et l’événement 𝐶̅. d/ Détermine la probabilité des événements A, B, C, 𝐴̅, 𝐵̅ et 𝐶̅. On tire une carte dans un jeu ordinaire de 52 cartes. Donne les probabilités des événements suivants. Tony doit choisir sa tenue de sport pour aller à l’entrainement. Dans son armoire, il trouve 4 maillots et 3 shorts. Combien de tenues différentes peut-il mettre ? Betty est très contente, elle va avoir deux petites sœurs jumelles ! Le choix des prénoms n’est pas encore arrêté, mais ses parents ont décidé qu’ils feraient partie de la liste suivante. Betty se demande alors combien il exiset de possibilités pour les prénoms de ses futures petites sœurs. Peux-tu l’aider ? Un digicode commande l’ouverture de la porte d’un garage à vélo. Le code d’ouverture est composé d’une lettre parmi A, B ou C, suivie d’un chiffre parmi 1, 2 ou 3. a/ Quels sont les différents codes possibles ? Alice compose au hasard le code A1. b/ Quelle est la probabilité que ce code ouvre la porte du garage à vélo ? c/ On informe Alice qu’en tapant A1, elle s’est trompée à la fois de chiffre et de lettre. Quelle est la probabilité qu’Alice trouve le bon code lors du deuxième essai ? d/ Son deuxième essai n’a toujours pas ouvert la porte, mais cette fois, Alice ne s’est pas trompée de lettre. Explique pourquoi, à présent, elle est sûre de trouver le bon code. Groupe sanguin
Notion 40 Résoudre une équation du 1er degré Niveau 5-4-3 Exercice 1: Amélie utilise cette balance pour préparer des ballotins de chocolats de même masse. 1/ Un ballotin peut-il peser 50 grammes ? Pourquoi ? 2/ On appelle b la masse d’un ballotin. Exprimer en fonction de b la masse située sur le 1er plateau : ........................................................... la masse située sur le 2ème plateau : ....................................................... 3/ Pour trouver la masse b d’un ballotin, Amélie enlève un ballotin sur chaque plateau. Y a-t-il encore équilibre ? ......... 4/ Elle poursuit ses manipulations. Compléter ces schémas jusqu’à obtenir la masse d’un ballotin. Définition : Une équation, c’est ........................................................................................................................... Résoudre une équation, c’est ................................................................................................................................... Les valeurs trouvées sont ........................................................................................................................................ Propriété : ................................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................................................ Propriété : ................................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................................................ Méthode : Résoudre une équation Exercice 2 : Compléter le schéma suivant Exercice 3 : Compléter le schéma suivant Exercice 4 : Résoudre les équations suivantes a/ −2𝑧 + 15 = 4𝑧 + 2 b/ 5(𝑥 − 3) = 28 c/ −7𝑥 = 2(𝑥 − 4) d/ (2𝑥 + 3)(5𝑥 − 4) = 10𝑥2 − 5
Notion 41 Résoudre des équations-produits Niveau 5-4-3 Exercice 1: Propriété 1 : ........................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................... Propriété 2 : ........................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................... Méthode : Résoudre (2𝑥 − 6)(3𝑥 + 4) = 0 ............................................. ............................................. ............................................. ............................................. Exercice 2 : Résoudre les équations suivantes a/ (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0 ....................................................... ....................................................... ....................................................... b/ (2𝑥 − 5)(9𝑥 + 1) = 0 ....................................................... ....................................................... ....................................................... c/ 𝑥(𝑥 + 3) = 0 ....................................................... ....................................................... Exercice 3 : Exercice 4 : On considère le programme de calcul ci-dessous 1/ Quel nombre obtient-on si on choisit 2 ? 2/ Quel(s) nombre(s) faut-il choisir pour obtenir 0 ?
Notion 42 Comparer des nombres – Effectuer des opérations Niveau 5-4-3 Exercice 1 : 1/ Comparer les nombres de la 1ère ligne avec les symboles < ou > puis, en appliquant l’opération donnée, comparer les deux nombres obtenus. 2/ A l’aide de la question 1/, dire quelle(s) opération(s) conserve(nt) et quelle(s) opération(s) change(nt) l’ordre entre deux nombres. ....................................................................................................... ................................................................................................................................................................................. Vocabulaire et notations : Propriété 1 : ................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................. Exemple : .............................................................................................................................................................................. Propriété 2 : ................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................. Exemple : .............................................................................................................................................................................. Propriété 3 : ................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................. Exemple : .............................................................................................................................................................................. Exercice 2 : Traduire chaque énoncé à l’aide d’une inégalité. Exercice 3: Compléter les pointillés Exercice 4 : Compléter les pointillés Exercice 5 : Voici la copie de Pierre : Vérifier sa copie en indiquant à chaque étape l’opération effectuée. Corriger les erreurs s’il y en a. Exercice 6:On sait que 𝑥 < 11. Compléter les pointillés afin d’obtenir une inégalité équivalente à celle donnée dans l’énoncé.
Notion 43 Résoudre des inéquations Niveau 5-4-3 Exercice 1 : Certains dimanches, Micah souhaite jouer au tennis pendant 1 heure. Pour cela, il doit payer une licence de 42€ pour l’année. Ensuite, le tarif pour la location d’un court est de 8€ l’heure. Micah ne souhaite pas dépenser plus de 170€ sur l’ensemble de l’année. 1/ Son budget sera-t-il respecté s’il joue : a/ 7 dimanches ? b/ 12 dimanches ? c/ 21 dimanches ? ........................................................... ....................................................... ................................................ 2/ On note 𝑥 le nombre de dimanches où il va jouer. a/ Traduire le problème à l’aide d’une inégalité. ......................................................................................... b/ D’après la question 1/, donner une valeur pour laquelle l’inégalité n’est pas vérifiée. ................................................................................................................................................................................. Définition : Résoudre une inéquation, c’est ............................................................................................. .............................................................................................................................................................................. Méthode : Résoudre l’inéquation 3𝑥 + 9 < −6 et représenter les solutions Remarques : Représentations graphiques Exercice 2 : Associer chaque représentation suivante à une égalité Exercice 3 : Résoudre les inéquations suivantes a/ 𝑥 + 9 < 3 b/ 3𝑦 > −18 c/ −6 + 𝑧 ≥ 22 d/−4𝑡 ≤ 9 Exercice 4 : Résoudre les inéquations suivantes. a/ 9 + 4𝑥 ≤ 7 b/ −3𝑦 + 5 < 14 c/ 4𝑧 − 7 3 > 5 3 d/ −2 − 2𝑡 ≥ 4 Exercice 5 : Résoudre les inéquations suivantes a/ 12 ≥ 𝑥 − 8 b/ −2𝑥 5 ≤ 8 Exercice 6 : 1/ Résoudre l’inéquation 3 + 2𝑎 > 9 2/ Représenter les solutions de cette inéquation sur une droite graduée.
Notion 44 Résoudre des équations du type 𝑥2 = 𝑎 Niveau 5-4-3 Exercice 1 : Dounia lance un défi à ses amies Laure et Mona. 1/ Quel nombre Laure a-t-elle écrit sur le papier ? ................................................................................... 2/ Quel nombre Mona a-t-elle pu choisir et quelle erreur a-t-elle pu faire en utilisant sa calculatrice ? ...................................................................................................................................................... Propriété : a désigne un nombre. On considère l’équation 𝒙𝟐 = 𝒂 Nombre de solutions Solutions 𝑎 > 0 𝑎 = 0 𝑎 < 0 Exemples : L’équation 𝑥2 = 9 ........................................................................................................................................... L’équation 𝑥2 = 7 ........................................................................................................................................... L’équation 𝑥2 = 0 ........................................................................................................................................... L’équation 𝑥2 = −9 ........................................................................................................................................ Exemple : Résoudre l’équation 6𝑥2 = 5𝑥2 + 49 .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... Exercice 2 : Des élèves doivent résoudre l’équation 𝑥2 = 8 Qui donne la bonne réponse ? Exercice 3 : Parmi les nombres suivants, surligner ceux qui sont solutions de l’équation 𝑥2 = 16 ? Exercice 4 : Résoudre les équations suivantes a/ 𝑥2 = −100 b/ 𝑥2 − 18 = 0 c/ 𝑥2 − 10 = 90 d/ 4𝑥2 + 5 = 105 e/ 𝑥2 − 14 = 5𝑥2 − 50 f/ 2𝑥(2𝑥 − 3) = 𝑥2 − (6𝑥 + 4)
Thème 15 : Equations et Inéquations Troisième Résoudre les équations suivantes : 1) 7𝑥 − 15 = 13 2) 3𝑥 − 11 = 7 3) −3𝑥 + 1 = −4 4) −3𝑥 − 5 = 1 5) −3𝑥 + 5 = 1 6) 5𝑥 + 4 = −6 + 3𝑥 7) 7(𝑥 − 1) + 4(−2𝑥 + 3) = 0 8) 7𝑥 − 3 = 8 + 5𝑥 9) 4(3𝑥 − 2) − 3(𝑥 − 4) = 𝑥 + 2(4𝑥 − 1) 10) 6(3𝑥 − 2) = −2(𝑥 + 1) + 5(4𝑥 − 2) 11) a/ −5(2𝑥 + 1) = 2𝑥 − (12𝑥 + 7) b/ −5(2𝑥 + 1) = 2𝑥 − (12𝑥 + 5) 12) 1 3 𝑥 − 2 3 = 4𝑥 + 5 3 13) 3 4 𝑥 + 1 4 = 2𝑥 − 5 4 14) − 2𝑥 5 = 3 + 7𝑥 2 15) 3𝑥 2 = 5𝑥 4 + 1 2 16) 5𝑥 4 = 4𝑥 3 + 1 17) 7𝑥−4 5 + 𝑥+5 2 = 𝑥+9 4 Si réussi Si faux Appeler le professeur 1 2 3 6 7 9 10 12 14 17 SOS 4 5 SOS 8 SOSSOS 11 SOS 13 15 16 SOS 1) 𝑥 = 4 2) 𝑥 = 6 3) 𝑥 = 5 3 4) 𝑥 = −2 5) 𝑥 = 4 3 6) 𝑥 = −5 7) 𝑥 = 5 8) 𝑥 = 11 2 9) pas de sol. 10) tous les nbres sont sol. 11a) pas de sol b) tous les nbres 12) 𝑥 = − 7 11 13) 𝑥 = 6 5 14) 𝑥 = − 10 13 15) 𝑥 = 2 16) 𝑥 = −12 17) 𝑥 = 1 3
Exercices Thème 15 : Equations et Inéquations Troisième Le nombre -5 est-il solution de l’équation 7 − 4𝑥 = 13 ? Et le nombre 5 ? Le nombre -2 est-il solution de l’équation 4 − 4𝑥 = 6 + 𝑥 ? Et le nombre 0 ? Résous les équations suivantes. Résous les équations suivantes. La somme de trois nombres entiers naturels, impairs et consécutifs est égale à 495. Quels sont ces trois nombres ? Arthur et Charlotte choisissent un même nombre. Arthur le multiplie par 10, puis soustrait 2 au résultat obtenu. Charlotte le multiple par 8, et ajoute 7 au résultat obtenu. Ils obtiennent tous deux le même nombre. Quel nombre Arthur et Charlotte avaient-ils choisi au départ ? M est un point du segment [DC]. Où doit-on le placer pour que l’aire du triangle ADM soit le tiers du l’aire du triangle BCM ? Justifie. Résous les équations suivantes. Soit 𝐴 = (𝑦 + 5)(𝑦 − 2) − 6(𝑦 + 5) Complète les schémas ci-dessous. Quel schéma ci-dessous représente les solutions de l’inéquation 2𝑥 − 2 > 3𝑥 + 1 ? Ecris, dans chaque cas, une inéquation dont les solutions sont représentées. Résous chaque inéquation. Représente les solutions sur un axe gradué, en coloriant la partie qui convient. Pour quelles valeurs de x, le périmètre du rectangle A est-il supérieur à celui du rectangle B ? Le périmètre du terrain rectangulaire ci- dessous est compris entre 286m et 288m. Détermine un encadrement de la longueur de ce terrain.
Notion 45 Reconnaître des sections de prismes droits et de cylindres Niveau 5-4-3 Exercice 1: 1/ Les formes dessinées par les surfaces des liquides sont-elles de même nature ? ........................................................................................................................................................................................ 2/ On pose maintenant le parallélépipède rectangle sur une de ses faces et le cylindre sur un de ses disques de base. Qu’obtient-on ? ........................................................................................................................... Propriété : .......................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................. Propriété :............................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................
Exercice 2 : Sur chaque représentation en perpective cavalière, compléter en rouge chaque section. Exercice 3 : Sur chaque représentation en perpective cavalière, compléter en rouge chaque section. Exercice 4 : Sur chaque représentation en perpective cavalière, compléter en rouge chaque section. Exercice 5 : On découpe un cylindre de 10cm de diamètre de base et de 14cm de hauteur comme indiqué sur le schéma. 1/ Tracer en vraie grandeur le triangle AOV. 2/ Le compléter pour obtenir la section AVV’A en vraie graneur. 3/ Préciser les dimensions de cette section. Exercice 6 : Comment découper ce camembert en trois coups de couteau en huit parts identiques ? Tracer un schéma en perspective cavalière pour représenter la solution.
Notion 46 Reconnaître des sections planes de pyramides, cônes et sphères Niveau 5-4-3 Exercice 1 : Que peut-on dire des sections obtenues ? ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. Propriétés : .................................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ Exercice 2 : Dans la pyramide ci-dessous la base ABC est un triangle rectangle en B. 1/ Dessiner en rouge en perspective la section de cette pyramide par le plan passant par M et parallèle à la base ABC. 2/ Quelle est la nature précise de cette section ? ................................................................................. 3/ Déterminer le rapport de réduction qui permet de passer de la grande pyramide à la petite. ................................................................................. Exercice 3 : Le cône ci-dessous a pour hauteur [OS] et O’ est un point de [OS] tel que 𝑆𝑂′ 𝑆𝑂 = 2 5. On coupe le cône par le plan parallèle à sa base qui passe par O’. 1/ Déterminer la nature de la section du plan avec le cône. 2/ On donne OS=10cm et OA=6cm. a/ Dessiner en vraie grandeur le triangle AOS puis placer les points O’ et S’ et tracer A’O’S’. b/Déterminer le rayon du cercle de centre O’ passant par A’. Vérifier sur la figure.
Notion 47 Effectuer des agrandissements ou des réductions de l'espace Niveau 5-4-3 Exercice 1 : Propriétés : ........................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. Exemple : ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. Exercice 2 : Un aquarium de 36L a la forme d’un pavé droit. On construit un nouvel aquarium en quadruplant les dimensions du premier. Calculer le nouveau volume. ............................................................. ............................................................. Exercice 3 : Une face du cube rouge a pour aire 25cm2 et le volume de ce cube est de 125cm3. 1/ Calculer le coefficient d’agrandissement qui permet de passer du petit cube au grand cube. 2/ Calculer l’aire d’une face du grand cube bleu. 3/ Calculer le volume du grand cube bleu. Exercice 4 : Dans la figure ci- dessous, la petite pyramide est une réduction de la grande pyramide. Le rapport de réduction est 1 5 La grande pyramide a un volume de 750cm3 et l’aire de sa base est de 125cm2. Calculer l’aire de base puis le volume de la petite pyramide. ....................................................... ....................................................... ....................................................... ....................................................... Exercice 5 : On construit la maquette d’un bateau corsaire à l’échelle 1 72. 1a/ Quel est le coefficient d’agrandissement pour passer des dimensions de la maquette à celles du navire ? b/ La maquette mesure 55cm de long. Combien mesure le navire dans la réalité ? 2/ Pour confectionner les voiles de la maquette, on utilise 0,4m2 de tisu. Quelle était la surface de voiles réelles de ce navire ? 3/ Un baril de poudre avait un volume de 90L. A-t-on pu le représenter à l’échelle sur la maquette ?
Exercices Thème 16 : Sections Troisième Dans chaque cas, indiquer la nature de la section du solide par le plan gris. a. b. c. d. e. f. g. h. i.
Exercices Thème 16 : Sections Troisième Trouver les longueurs, les aires et les volumes qui manquent. Agrandissement Réduction A’ D’ C’ B’ …… cm 8 cmAire = …… cm² A D C B 8 cm 4 cmAire = …… cm² Agrandissement Réduction O M 5 cm Périmètre 31,4 cm Aire 49,3 cm² O M …… cm Périmètre …… cm Aire …… cm2 Agrandissement Réduction 5 cm …… cm Volume = …… cm3 Volume = …… cm3 20 cm 2 cm 3 cm …… cm Agrandissement Réduction 7 cm Volume = …… cm3 3 cm 6 cm Volume = …… cm3 …… cm …… cm …… cm