9 Алгебра Сиротина

View 9 Алгебра Сиротина flipbook.

Т.В. Сиротина АЛГЕБРА 9 КЛАСС БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ ТЕТРАДЬ-ТРЕНАЖЁР Москва Издательство «Интеллект-Центр» 2025 2-е издание, электронное

УДК 373.167.1:51+51(075.3) ББК 22.1я721 С40 Научный редактор: Е. В. Лукьянова – кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа МПГУ, учитель высшей категории С40 Сиротина, Т. В. Алгебра. 9 класс. Базовый уровень. Тетрадь-тренажёр / Т. В. Сиротина. — 2-е изд., эл. — 1 файл pdf : 90 с. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2025. — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : электронный. ISBN 978-5-907931-84-8 Тетрадь-тренажёр — это уникальное пособие, помогающее формировать необходимые навыки для вы- полнения различных видов заданий по алгебре, своевременно выявлять и устранять пробелы в знаниях. Все задания удобно систематизированы в виде таблиц, а выполнять их решение можно непосредственно в тетради-тренажёре. Материалы ориентированы на учебник «Математика. Алгебра. 9 класс. Базовый уровень» под редакцией С.А. Теляковского; также возможно их применение с другими учебниками по алгебре для 9-го класса. Пособие адресовано учителям математики, репетиторам, учащимся и их родителям. УДК 373.167.1:51+51(075.3) ББК 22.1я721 Электронное издание на основе печатного издания: Алгебра. 9 класс. Базовый уровень. Тетрадь-тренажёр / Т. В. Сироти- на. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2024. — 88 с. — ISBN 978-5-907750-49-4. — Текст : непосредственный. В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообла- датель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации. ISBN 978-5-907931-84-8 © ООО «Издательство «Интеллект-Центр», 2024 © Сиротина Т. В., 2024

3 СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ..................................................................................................... 4 СПРАВОЧНЫЕ.МАТЕРИАЛЫ................................................................................. 5 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ.ЧИСЛА Сравнение.действительных.чисел.......................................................................... 6 ФУНКЦИИ.И.ГРАФИКИ Функции.и.их.свойства........................................................................................ 9 Функция.y = ax2,.её.график.и.свойства................................................................. 24 Графики.функций.y = ax2.+ n и.y = a(x – m)2......................................................... 27 Построение.графика.квадратичной.функции........................................................ 31 УРАВНЕНИЯ.И.НЕРАВЕНСТВА.С.ОДНОЙ.ПЕРЕМЕННОЙ Целые.уравнения.............................................................................................. 34 Дробные.рациональные.уравнения...................................................................... 42 Решение.неравенств.второй.степени.с.одной.переменной........................................ 46 Решение.неравенств.методом.интервалов............................................................. 50 УРАВНЕНИЯ.И.НЕРАВЕНСТВА.С.ДВУМЯ.ПЕРЕМЕННЫМИ Уравнение.с.двумя.переменными.и.его.график...................................................... 54 Решение.систем.уравнений.с.двумя.переменными................................................. 61 Неравенства.с.двумя.переменными...................................................................... 67 Системы.неравенств.с.двумя.переменными........................................................... 72 АРИФМЕТИЧЕСКАЯ.И.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ.ПРОГРЕССИИ Арифметическая.прогрессия.............................................................................. 78 Геометрическая.прогрессия................................................................................ 82 ОТВЕТЫ.............................................................................................................. 85

4 ПРЕДИСЛОВИЕ Эта тетрадь-тренажёр продолжает серию пособий, предназначенных помочь учащимся средней школы освоить школьную программу по математике. 9-й класс – третий год изуче- ния алгебры. Своевременное усвоение новых тем, отсутствие пробелов в знаниях и получе- ние новых умений – это залог успешной учёбы как в 9-м классе, так и в последующих. Часто ребята не успевают на уроке отработать те или иные действия с числами и переменными, и поэтому им необходимо решить больше похожих примеров, чтобы овладеть новыми знани- ями. Это уникальное пособие предлагает подборку большого количества заданий для усвое- ния материала, то есть будет настоящим помощником учащимся 9–11-х классов. В тетради-тренажёре собраны примеры из личной практики автора, систематизиро- ванные в таблицы. Перед каждой из них сформулировано задание, которое предлагает- ся выполнить учащемуся, а примеры расположены по принципу от простого к сложному. Чтобы достичь наилучшего результата, важно выполнять их последовательно. Буквы А, Б, В в некоторых номерах означают разноуровневые задания, объединённые общим во- просом, но каждое из них целесообразно проработать отдельно. Решения можно выпол- нять непосредственно в пособии. К заданиям приведены необходимые теоретические све- дения «Важно знать» или «Указания» к решению. В тексте они отмечены знаком . Образцы выполнения некоторых примеров выделены затемнённым фоном. В конце пособия к наиболее сложным заданиям даны ответы. Тетрадь-тренажёр поможет: УЧАЩИМСЯ 9-х классов успешно усвоить новые темы, закрепить навыки, а также своевременно устранить пробелы в знаниях, удачно сдать ОГЭ. УЧАЩИМСЯ 10–11-х классов повторить нужные темы по алгебре для успешной учебы и подготовки к экзаменам, уверенно сдать ЕГЭ. РОДИТЕЛЯМ оказать поддержку детям в закреплении школьного материала. УЧИТЕЛЯМ проверить степень усвоения материала, выявить пробелы в знаниях и орга- низовать индивидуальную работу с учащимися. РЕПЕТИТОРАМ сформировать у школьников прочные навыки в выполнении различ- ных видов заданий, основательно отработать с ними сложные моменты в отдельных темах, а также устранить пробелы в знаниях с максимальной эффективностью.

5 СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ОТ 10 ДО 99 Десятки Единицы - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801 ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ ( )2 2 2 2+ = + +a b a ab b ( )2 2 2 2- = - +a b a ab b ( )( ) 2 2 - + = -a b a b a b СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ 1 =a a 0 1=a + ◊ =n m n m a a a : - =n m n m a a a ( ) = m n nm a a ( ) = n n n ab a b Ê ˆ =Á ˜Ë ¯ n n n a a b b 1- =n n a a СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ ◊ =a b ab = a a bb ( )2 =a a 2 =a a 0 0=

6 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА СРАВНЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Задание 1. Расположите числа в порядке убывания. 1) 2,3; 3,1; 2,9; 2,5 Ответ: ____________ 8) 2 6 3 8 ;�� ;�� ;�� 7 7 7 7 Ответ:_____________ 15) 2 3 ;��0,3;�� ;�1� 5 2 2 0,4 5 = ; 3 1,5 2 = . Ответ: 3 2 ; 1;� ;�0,3 2 5 2) 7,3; 7,2; 6,9; 5,8 Ответ:_____________ 9) 4 3 9 2 ;�� ;�� ;�� 11 11 11 11 Ответ:_____________ 16) 6 5 1,1;�� ;��2;�� 5 2 Ответ:_____________ 3) 4,3; 4,005; 3,4; 4,01 Ответ:_____________ 10) 2 1 6 3 ;�� ;�� ;�� 5 5 5 5 - - - - Ответ:_____________ 17) ( ) 2 4 1 ;�� ;��0, 2 ;�� 7 11 5 Ответ:_____________ 4) 2,03; 2,12; 2,1; 2,(1) Ответ:_____________ 11) 3 5 10 4 ;�� ;�� ;�� 7 7 7 7 - - - - Ответ:_____________ 18) 5 7 8 ;�1� ,5;�� ;�� 3 5 7 Ответ:_____________ 5) –3,8; –3,2; –4; –4,1 Ответ:_____________ 12) 1 1 1 1 ;�� ;�� ;�� 9 2 6 3 Для сравнения дробей учтём, что, если числители равны, то больше та дробь, знамена- тель которой меньше. Ответ: 1 1 1 1 ;� ;� ;� 2 3 6 9 19) 7 3 2 0,9;�� ;�� ;�� 8 4 19 - - - - Ответ:_____________ 6) –9,02; –9,007; –9; –8,97 Ответ:_____________ 13) 1 1 1 1 ;�� ;�� ;�� 4 12 3 6 Ответ:_____________ 20) 3 2 3 ;�� ;�� 0,07;�� 11 9 2 - - - - Ответ:_____________ 7) –5,01; –4,8; –4,26; –4,09 Ответ:_____________ 14) 1 1 1 1 ;�� ;�� ;�� 5 3 10 15 - - - - Ответ:_____________ 21) 11 7 3;�� ;�� ;�� 2,95 3 2 - - - - Ответ:_____________

7 Задание 2. Расположите числа в порядке возрастания. 1) 6; 3; 2; 5 Сравним подкоренные выражения: 2 3 5 6< < < . Значит, 2 3 5 6< < < . Ответ: 2; 3; 5; 6 . 8) 5;� 7;� 3;� 8- - - - Ответ:_____________ 15) 2;� 3;� 5;� 2 Ответ:_____________ 2) 19;� 61;� 51;� 10 Ответ:_____________ 9) 2;� 6;� 4;� 5- - - - Ответ:_____________ 16) 3;� 2;� 6;� 1- - - - Ответ:_____________ 3) 11;� 17;� 7;� 23 Ответ:_____________ 10) 3 3;�3 2;�3 8;�3 5 Ответ:_____________ 17) 26;� 39;� 35;�6 Ответ:_____________ 4) 2,3;� 1,9;� 2,2;� 2 Ответ:_____________ 11) 2 7;�2 11;�2 6;�2 10 Ответ:_____________ 18) 2 5;�3 4;�5 2;7� Ответ:_____________ 5) ( )5,1;� 6;� 4,8;� 4, 8 Ответ:_____________ 12) 3 2;�9 2;�6 2;�4 2 Ответ:_____________ 19) 4 2;�2 7;�5;�3 3 Ответ:_____________ 6) 1,1;� 1,01;� 1,09;� 1,007 Ответ:_____________ 13) 11 7;�8 7;�2 7;�4 7 Ответ:_____________ 20) 8;� 63;� 4 5;� 3 8- - - - Ответ:_____________ 7) 1,25;� 1,3;� 1,147;� 1,15 Ответ:_____________ 14) 5 2;�5 8;��5;��5 7 Ответ:_____________ 21) 2 8;� 6;� 5 2;� 3 5- - - - Ответ:_____________

8 Задание 3. Определите, какие из чисел принадлежат заданному отрезку. 1) [1;2] 10 11 ; 2 ; ( )0, 8 ; 5 • 10 11 1 11 11 < = , значит, [ ] 10 1;2 11 œ ; • 1 2 4< < , т.е. 1 2 2< < , значит, [ ]2 1;2Œ ; • ( )0, 8 1< , значит, ( ) [ ]0, 8 1;2œ ; • 5 4> , т.е. 5 2> , значит, [ ]5 1;2œ . Ответ: 2 . 2) [ ]3;4 13 2 ; 13 13 ;� 3 4 ; 13 5 • ____________________________________________ • ____________________________________________ • ____________________________________________ • ____________________________________________ Ответ: ___________________. 3) [ ]19;21 190 11 ; 441 ; 20,(1); 190 9 • ____________________________________________ • ____________________________________________ • ____________________________________________ • ____________________________________________ Ответ: ___________________. 4) [ ]3; 2- - 1,5- ; 2,5- ; 3,5 ; 5- • ____________________________________________ • ____________________________________________ • ____________________________________________ • ____________________________________________ Ответ: ___________________. 5) 1 1 ;0,5 2 È ˘ -Í ˙ Î ˚ 1 2 ; ( )1, 6- ; 0; –1,5 • ____________________________________________ • ____________________________________________ • ____________________________________________ • ____________________________________________ Ответ: ___________________. 6) 2;3È ˘ Î ˚ 7 ; 2,5 , 4 , 10 • ____________________________________________ • ____________________________________________ • ____________________________________________ • ____________________________________________ Ответ: ___________________. 7) [ ]4; 1- - 1,8 ; 13- ; 0; 7 8 - • ____________________________________________ • ____________________________________________ • ____________________________________________ • ____________________________________________ Ответ: ___________________.

9 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Важно знать: функция – это зависимость одной переменной от другой, при ко- торой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Обычно переменная y – зависимая , а переменная x – независимая . Эта зависимость записывается так: y = f(x). Область определения функции D(f) – это все значения независимой переменной x. Множество значений функции E(f) – это все значения зависимой переменной y. Задание 4. Заполните таблицу. А. y = f(x) f(1) f(0) f(–2) 1) 8y x= + ( )1 1 8 9f = + = ( )0 0 8 8f = + = ( )2 2 8 6f - = - + = 2) 7y x= - 3) 2 1y x= + 4) 10 5y x= - 5) 12 3y x= - 6) 1 7 2 y x= + 7) 1 3 2 y x= - 8) 2 x y = 9) 1 2 x y + = 10) 2 10 x y - = 11) 1 10 x y = - - 12) 0,5 2 x y = - -

10 Б. y = f(x) f(2) f(0) f(–1) 1) 3 2 y x = + 2) 4 3 y x = - 3) 6 5 y x = - 4) 12 4 y x - = + 5) 9 1 2 y x - = - 6) 2 y x= 7) 2 3y x= + 8) 2 30y x= - 9) 2 25y x= - 10) 2 y x= - 11) 2 4y x= - + 12) 2 9y x= - - 13) 1y x= + 14) 2y x= - + 15) 2 7y x= +

11 В. y = f(x) f(3) f(0) f(–2) 1) 2 1y x x= + - 2) 2 6y x x= + + 3) 2 2 3y x x= + - 4) 2 3 4y x x= + + 5) 2 2 7y x x= - - 6) 2 3 20y x x= - - + 7) 3y x= - 8) 2 5y x= - 9) 3 4y x= - - + 10) 3y x= + 11) 8y x= - 12) y x= - 13) 3y x= + 14) 5y x= - 15) 4 –1y x= - +

12 Задание 5. Найдите нули функции. А. 1) ( ) 5f x x= + f (x) = 0, если x + 5 = 0, x = – 5. Ответ: – 5. 6) ( ) ( )( )5 9f x x x= + - Ответ: ______________ 2) ( ) 14f x x= - Ответ: ______________ 7) ( ) 2 f x x x= + Ответ: ______________ 3) ( ) 2 7f x x= - Ответ: ______________ 8) ( ) 2 9f x x= - Ответ: ______________ 4) ( ) 2 f x x= Ответ: ______________ 9) ( ) 3 8f x x= - Ответ: ______________ 5) ( ) ( )( )1 3f x x x= - - Ответ: ______________ 10) ( ) 3 27f x x= - Ответ: ______________

13 11) ( ) 3 1f x x= + Ответ: ______________ 14) ( ) 2 6 7f x x x= + - Ответ: ______________ 12) ( ) 3 64f x x= + Ответ: ______________ 15) ( ) 2 4 4f x x x= + + Ответ: ______________ 13) ( ) 2 5 6f x x x= - + Ответ: ______________ 16) ( ) 2 7 8f x x x= - - Ответ: ______________ Б. 1) ( )f x x= Ответ: ______________ 3) ( ) 2f x x= - Ответ: ______________ 2) ( ) 3f x x= + Ответ: ______________ 4) ( ) 2f x x= - Ответ: ______________

14 5) ( ) 3f x x= - Ответ: ______________ 11) ( ) 3 3 x f x x + = - Ответ: ______________ 6) ( ) 9f x x= - Ответ: ______________ 12) ( ) 2 1x f x x + = Ответ: ______________ 7) ( ) 3 6f x x= - Ответ: ______________ 13) ( ) 2 3 2 1 x x f x x - + = - Ответ: ______________ 8) ( ) 7 3f x x= - - Ответ: ______________ 14) ( ) 2 7 2 x x f x x + = Ответ: ______________ 9) ( ) 3 2 x f x + = Ответ: ______________ 15) ( ) 2 3 27 3 x f x x - = + Ответ: ______________ 10) ( ) 8 3 x f x - = Ответ: ______________ 16) ( ) 2 2 2 3 x x f x x x - = - Ответ: ______________

15 Задание 6. Найдите область определения функции. 1) ( ) 11f x x= + x – любое число. Ответ: D (f) = ( );-• +• . 9) ( ) 1 2 x f x x = + Ответ: D (f) = ______________ 2) ( ) 2 f x x= Ответ: D (f) = ______________ 10) ( ) 2 � 1� � 1� x f x x x + = + - Ответ: D (f) = ______________ 3) ( ) 2 1f x x= - + Ответ: D (f) = ______________ 11) ( ) 1f x x= + 1 0x + ≥ , 1x ≥ - . Ответ: D (f) = [ )1;- +• 4) ( ) ( )( )2 4f x x x= - + Ответ: D (f) = ______________ 12) ( ) 5 2f x x= - Ответ: D (f) = ______________ 5) ( ) 3 18f x x= - Ответ: D (f) = ______________ 13) ( ) 3f x x x= - + Ответ: D (f) = ______________ 6) ( )f x x= Ответ: D (f) = ______________ 14) ( ) 3 x f x x = - Ответ: D (f) = ______________ 7) ( ) � �8 3 x f x - = Ответ: D (f) = ______________ 15) ( ) ( )( ) 5 1 2 x f x x x + = - + Ответ: D (f) = ______________ 8) ( ) � �8x f x x - = Ответ: D (f) = ______________ 16) ( ) 3 1 1 x f x xx = - - Ответ: D (f) = ______________

16 Важно знать: Функция y = f(x) называется чётной, если: 1) область определения функции симметрична относительно начала координат; 2) для любого х ∈ D(f) справедливо равенство f(–x) = f(x). График чётной функции симметричен относительно оси ординат. Функция y = f(x) называется нечётной, если: 1) область определения функции симметрична относительно начала координат; 2) для любого х ∈ D(f) справедливо равенство f(–x) = – f(x). График чётной функции симметричен относительно начала координат. Задание 7. По графику функции y = f (x), изображённому на рисунке, определите, какая эта функция: а) чётная; б) нечётная; в) ни чётная, ни нечётная. 1) Ответ: ______ –3 –2 –1 –1 0 3 4 1 2 5 y x1 2 3 6) Ответ: ______ –3 –2 –1 –1 0 3 4 1 2 5 y x1 2 3 11) Ответ: ______ –2–3 –1 –1 –2 0 3 4 1 2 y x1 2 3 2) Ответ: ______ –3 –2 –1 –1 –2 0 3 4 1 2 y x1 2 3 7) Ответ: ______ –2 –1 –1 –2 –3 0 3 1 2 y x1 2 3 4 12) Ответ: ______ –2–3 –1 –1 –2 0 3 4 1 2 y x1 2 3 3) Ответ: ______ –3 –2 –1 –1 –2 –3 0 3 1 2 y x1 2 3 8) Ответ: ______ –2–3 –1 –1 –2 –3 0 3 1 2 y x1 2 3 13) Ответ: ______ –3 –2 –1 0 3 4 1 2 5 6 y x1 2 3 4) Ответ: ______ –3 –2 –1 –1 –2 0 3 4 1 2 y x1 2 3 9) Ответ: ______ –3 –2 –1 –1 –2 0 3 4 1 2 y x1 2 3 14) Ответ: ______ –3 –2 –1 –1 –2 –3 0 3 1 2 y x1 2 3 5) Ответ: ______ –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 1 2 y x1 2 3 10) Ответ: ______ –2 –1 –1 –2 0 3 4 1 2 y x1 2 3 4 15) Ответ: ______ –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 y x1 2 3 Указание: для определения чётности функции, проверьте, симметрична ли её об- ласть определения относительно начала координат, а затем симметричен ли гра- фик этой функции относительно оси ординат или начала координат.

17 Задание 8. Изобразите какие-нибудь линии, каждая из которых могла бы быть графиком функции y = f (x), если известно, что: 1) • ( ) ( );D f = -• +• • ( ) ( );E f = -• +• • ( )0 0f = • функция монотонно возрастает на ( )D f 0 1 y x1 0 1 y x1 0 1 y x1 2) • ( ) ( );D f = -• +• • ( ) ( );E f = -• +• • ( )2 0f = • функция монотонно убывает на ( )D f 0 1 y x1 0 1 y x1 0 1 y x1 3) • ( ) ( );D f = -• +• • ( ) [ ]4;4E f = - • нули функции –2; 2 • ( )–5 �–4f = , ( )0 4f = , ( )5 �–4f = , 0 1 y x1 0 1 y x1 0 1 y x1 4) • ( ) ( );D f = -• +• • ( ) [ ]5;5E f = - • 2 – ноль функции • ( )–4 �3f = ( )0 5f = ( )3 �–5f = 0 1 y x1 0 1 y x1 0 1 y x1 5) • ( ) ( );D f = -• +• • ( ) ( );E f = -• +• • нули функции –3 и 3 • ( )0 5f = 0 1 y x1 0 1 y x1 0 1 y x1 6) • ( ) ( );D f = -• +• • ( ) ( );E f = -• +• • –2 – ноль функции • ( )0 3f = • функция монотонно возрастает на ( )D f 0 1 y x1 0 1 y x1 0 1 y x1

18 7) • ( ) ( );D f = -• +• • ( ) ( );E f = -• +• • нули функции 0 и 3 • ( )1 3f = • функция возрастает на ( -• ; 1] 0 1 y x1 0 1 y x1 0 1 y x1 8) • ( ) ( );D f = -• +• • ( ) ( );E f = -• +• • нули функции –4, 0 и 4 • ( )–2 2f = • функция возрастает на ( -• ; –2] 0 1 y x1 0 1 y x1 0 1 y x1 9) • ( ) ( )1;D f = +• • ( ) ( )1;E f = +• • нулей функции нет • ( )1 1f = , ( )2 5f = , ( )4 2f = 0 1 y x1 0 1 y x1 0 1 y x1 10) • ( ) ( );D f = -• +• • ( ) [ )1;E f = +• • функция чётная • нулей функции нет • ( )0 1f = , • функция убывает на ( -• ; 0] 0 1 y x1 0 1 y x1 0 1 y x1 11) • ( ) ( );D f = -• +• • ( ) ( ];4E f = -• • функция чётная • нули функции –3; 3 • ( )0 4f = 0 1 y x1 0 1 y x1 0 1 y x1 12) • ( ) ( );D f = -• +• • ( ) ( );E f = -• +• • функция нечётная • нули функции –5; 0 и 5 • ( )0 0f = , ( )3 �–4f = 0 1 y x1 0 1 y x1 0 1 y x1

19 Задание 9. Точка А(х; у) принадлежит графику функции y = f (x). Задайте формулой эту функцию, зная её вид и координаты точки А. Вид функции А(х; у) Решение 1) y kx= (2; 8) Подставим в формулу y kx= координаты точки А: х = 2, у = 8. Найдём значение коэффициента k . 8 2k= ◊ , 4.k = Ответ: f (x) = 4х. 2) y kx= (–3; 6 ) Ответ: f (x) = ________. 3) y kx= ( 1 7 ; 7) Ответ: f (x) = ________. 4) y kx= (–1; –8) Ответ: f (x) = ________. 5) k y x = (1; –2) Ответ: f (x) = ________. 6) k y x = (3; –1) Ответ: f (x) = ________. 7) k y x = (–6; 1,5) Ответ: f (x) = ________. 8) k y x = (0,5; 4) Ответ: f (x) = ________. 9) y k x= (4; 4) Ответ: f (x) = ________. 10) y k x= (9; –3) Ответ: f (x) = ________. 11) y k x= (8; 4) Ответ: f (x) = ________. 12) y k x= (–5; 0,5) Ответ: f (x) = ________.

20 Задание 10. Задайте формулой: • функцию вида y kx b= + , график которой изображён на рисунке. 1) –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 y 1 2 3 4 5 x График функции проходит через точки с коорди- натами (0; 1) и (1; 4). Подставим координаты в формулу y kx b= + . (0;1) (1;4) 1 0 , 4 1 ; k b k b = ◊ +Ï Ì = ◊ +Ó 1, 3. b k =Ï Ì =Ó Ответ: y = 3x + 1. 2) –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 y 1 2 3 4 5 x Ответ: y =______________ 3) –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 y 1 2 3 4 5 x Ответ: y =______________ 4) –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 y 1 2 3 4 5 x Ответ: y =______________

21 5) –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 y 1 2 3 4 5 x Ответ: y =______________ 6) –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 y 1 2 3 4 5 x Ответ: y =______________ 7) –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 y 1 2 3 4 5 x Ответ: y =______________ 8) –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 y 1 2 3 4 5 x Ответ: y =______________

22 • функцию вида k y x = , график которой изображён на рисунке. 9) –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 y 1 2 3 4 5 x Ответ: y =______________ 10) –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 y 1 2 3 4 5 x Ответ: y =______________ 11) –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 y 1 2 3 4 5 x Ответ: y =______________ 12) –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 y 1 2 3 4 5 x Ответ: y =______________

23 • функцию вида y kx= , график которой изображён на рисунке. 13) –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 y 1 2 3 4 5 x Ответ: y =______________ 14) –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 y 1 2 3 4 5 x Ответ: y =______________ 15) –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 y 1 2 3 4 5 x Ответ: y =______________ 16) –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 y 1 2 3 4 5 x Ответ: y =______________

24 ФУНКЦИЯ у = ax2, ЕЁ ГРАФИК И СВОЙСТВА Важно знать: • Квадратичная функция – это функция, которую можно задать формулой y = ax2 + bx + c, где х – независимая переменная, a, b, c – некоторые числа, а ≠ 0. D(f) = (–∞; +∞). График квадратичной функции – парабола, если а > 0 – ветви параболы направле- ны вверх, если а < 0 – ветви параболы направлены вниз. • График квадратичной функции y = ax2 – парабола, вершина параболы – (0; 0), ось симметрии параболы – ось ординат (х = 0). Задание 11. Постройте график функции. 1) 21 2 y x= Квадратичная функция, график – парабола, а = 1 2 , а > 0, ветви направлены вверх, вершина параболы (0; 0), ось симметрии параболы x = 0. x –4 –2 –1 0 1 2 4 y 8 2 1 2 0 1 2 2 8 вершина параболы –5 –4 –3 –2 –1 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 1 2 3 4 5 x 2) 2 2y x= ______________ функция, график – _________, а = ____, а ____ 0, ветви направлены ___________, вершина параболы _________, ось симметрии параболы x = _____. x –2 –1 1 2 - 0 1 2 1 2 y 8 2 1 2 вершина параболы –5 –4 –3 –2 –1 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 1 2 3 4 5 x 3) 21 4 y x= ______________ функция, график – _________, а = ____, а ____ 0, ветви направлены ___________, вершина параболы _________, ось симметрии параболы x = _____. x –4 –2 –1 0 1 2 4 y 1 4 1 4 вершина параболы –5 –4 –3 –2 –1 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 1 2 3 4 5 x

25 4) 2 4y x= - _______________ функция, график – _________, а = ____, а ____ 0, ветви направлены ___________, вершина параболы _________, ось симметрии параболы x = _____. x –1,5 –1 1 2 - 0 1 2 1 1,5 y вершина параболы –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –6 –5 –4 –9 –8 –7 –3 –2 –1 y 1 2 3 4 5 x 5) 21 2 y x= - ______________ функция, график – __________, а = ____, а ____ 0, ветви направлены ___________, вершина параболы _________, ось симметрии параболы x = _____. x y вершина параболы –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –6 –5 –4 –9 –8 –7 –3 –2 –1 y 1 2 3 4 5 x 6) 2 2y x= - _______________ функция, график – _________, а = ____, а ____ 0, ветви направлены ___________, вершина параболы _________, ось симметрии параболы x = _____. x y вершина параболы –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –6 –5 –4 –9 –8 –7 –3 –2 –1 y 1 2 3 4 5 x 7) 2 4y x= _______________ функция, график – _________, а = ____, а ____ 0, ветви направлены ___________, вершина параболы _________, ось симметрии параболы x = _____. x y вершина параболы –5 –4 –3 –2 –1 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 1 2 3 4 5 x

26 Задание 12. Найдите координаты точек пересечения графиков функций. 1) 2 y x= , 2y x= + Составим и решим систему уравнений: 2, 2; y x y x Ï =Ô Ì = +ÔÓ 2 2 , 2; y x x x Ï =Ô Ì = +ÔÓ • 2 2x x= + , 2 2 0x x- - = , ( ) ( )2 1 4 1 2 1 8 9,D = - - ◊ ◊ - = + = 1 1 3 2 2 x + = = , 2 1 3 1 2 x - = = - . •• 2 2, . x y x =ÏÔ Ì =ÔÓ или 2 1, .x x y = -ÏÔ Ì ÔÓ = 2, 4. x y =Ï Ì =Ó 1, 1. x y = -Ï Ì =Ó Ответ: (2; 4), (–1; 1). 5) 2 2y x x= - + , 2 2y x= Ответ: _______________ . 2) 2 y x= , 5 6y x= - Ответ: _______________ . 6) 2 3 2y x x= - + , 2 2 3y x= - - Ответ: _______________ . 3) 2 y x= - , 3 10y x= - - Ответ: _______________ . 7) 2 2 3 1y x x= - + , 2 9y x x= - + Ответ: _______________ . 4) 2 1y x= - - , 2y x= Ответ: _______________ . 8) 2 5 2 7y x x= - - , 2 3 5y x= + Ответ: _______________ .

27 ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ у = ax2 + n И у = a(x – m)2 Важно знать: графиком функций у = ax2 + n и у = a(x – m)2 является парабола, которую можно получить из графика функции у = ax2 с помощью параллельного переноса вдоль оси y на n единиц или вдоль оси x на m единиц соответственно. Например: 2 1y x= + –3 –2 –1 –1 –2 0 3 4 1 2 y x1 2 3 Параллельный перенос вдоль оси y на 1 единицу вверх гра- фика функции 2 y x= 2 3y x= - –3 –2 –1 –1 –2 –3 0 3 1 2 y x1 2 3 Параллельный перенос вдоль оси y на 3 единицы вниз гра- фика функции 2 y x= 2 2y x= - + –3 –2 –1 –1 –2 –3 0 3 1 2 y x1 2 3 Параллельный перенос вдоль оси y на 2 единицы вверх гра- фика функции 2 �–y x= ( )2 1y x= - –3 –2 –1 –1 –2 0 3 4 1 2 y x1 2 3 Параллельный перенос вдоль оси x на 1 единицу вправо графика функции 2 y x= ( )2 2y x= + –3 –2 –1 –1 –2 0 3 4 1 2 y x1 2 3 Параллельный перенос вдоль оси x на 2 единицы влево гра- фика функции 2 y x= ( )2 1 3y x= + - –3 –2 –1 –1 –2 –3 0 3 1 2 y x1 2 3 Параллельный перенос вдоль оси x на 1 единицу влево и па- раллельный перенос вдоль оси y на 3 единицы вниз гра- фика функции 2 y x= Задание 13. Задайте уравнением функцию вида у = ax2 + n, график которой изображён на рисунке. 1) –3 –2 –1 –1 –2 –2 ед. –3 0 3 1 2 y x1 2 3 у = 2 2x - . 3) –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 1 2 y x1 2 3 у = ___________ 5) –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 1 2 y x1 2 3 у = ___________ 7) –3 –2 –1 –1 0 3 4 5 1 2 y x1 2 3 у = ___________ 2) –3 –2 –1 –1 0 3 4 5 1 2 y x1 2 3 у = ___________ 4) –3 –2 –1 –1 –2 –3 0 3 1 2 y x1 2 3 у = ___________ 6) –3 –2 –1 –1 –2 0 3 4 1 2 y x1 2 3 у = ___________ 8) –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 y x1 2 3 у = ___________

28 Задание 14. Задайте уравнением функцию вида у = a(x – m)2, график которой изображён на рисунке. 1) –2 –1 –1 2 ед. 0 3 4 1 2 y x1 2 3 4 у = ( )2 2x - . 3) –1–2–3 –1 0 3 4 5 1 2 y x1 2 3 у = ___________ 5) –2–3–4 –1 –5 –1 –2 –3 –4 0 1 y x1 2 у = ___________ 7) –1–2–3–4–5 –1 0 3 4 5 1 2 y x1 у = ___________ 2) –1 –1 0 3 4 1 2 y x1 2 3 4 5 у = ___________ 4) –2–3–4 –1 –5 –1 –2 –3 –4 0 1 y x1 2 у = ___________ 6) –2–4 –1 –5 –1 –2 –3 –4 0 1 y x3 41 2 у = ___________ 8) –2–4 –1 –5 –1 –2 –3 –4 0 1 y x3 41 2 у = ___________ Задание 15. Задайте уравнением функцию вида у = a(x – m)2 + n, график которой изображён на рисунке. 1) –3 –2 –1 –1 –2 –3 ед. 1 ед. –3 0 3 1 2 y x2 31 у = ( )2 1 3x - - . 4) –3 –2 –1 –1 –2 –3 0 3 1 2 y x21 3 у = ___________ 7) –2–3–4 –1 –1 –2 –3 –4 0 1 2 y x1 2 у = ___________ 10) –2–3–4–5 –1 –1 –2 –3 –4 0 1 2 y x1 у = ___________ 2) –3 –2 –1 –1 0 3 4 5 1 2 y x1 2 3 у = ___________ 5) –1 –1 0 3 4 5 1 2 y x21 3 4 у = ___________ 8) –2 –1 –1 –2 –3 0 3 1 2 y x21 3 4 у = ___________ 11) –2–3 –1 –1 –2 –3 0 3 1 2 y x21 3 у = ___________ 3) –3 –2 –1 –1 –2 0 3 4 1 2 y x21 3 у = ___________ 6) –2 –1 –1 –2 –3 0 3 1 2 y x21 3 4 у = ___________ 9) –2–3 –1 –1 –2 –3 0 3 1 2 y x21 3 у = ___________ 12) –2 –1 –1 –2 0 3 4 1 2 y x21 3 4 у = ___________

29 Важно знать: Из графика любой функции у = f(x): • с помощью параллельного переноса вдоль оси y или вдоль оси x можно получить соответственно графики функций y = f(x) + n или у = f(x – m), а с помощью двух параллельных переносов вдоль осей x и y можно получить график функции у = f(x – m) + n. • с помощью симметрии относительно оси х можно получить график функции у = – f(x). Задание 16. Постройте график указанной функции с помощью данного графика функции: • 2 =y x 1) 2 3y x= - –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 3) ( )2 1y x= - - –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 5) ( )2 2 3y x= - - –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 2) ( )2 2y x= + –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 4) ( )2 2 1y x= + + –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 6) ( )2 3 2y x= - + + –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 • =y x 7) 1y x= + –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 9) 2y x= - –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 11) 3 3y x= + - –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 8) 2y x= - –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 10) 3y x= - + –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 12) 1 2y x= - - + –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4

30 • 3 =y x 13) 3 2y x = + –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 15) –3 1y x = + –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 17) 3 2 y x = + –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 14) 3 1y x = - –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 16) 3 1 y x = - –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 18) 3 1 2 y x = + - –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 • =y x 19) 3y x= + –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 21) 1y x= - –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 23) 1 2y x= + - –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 20) 1y x= - –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 22) 2y x= + –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4 24) 2 2y x= - - + –3–4 –2 –1 –1 –2 –3 –4 0 3 4 1 2 y x21 3 4

31 ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ Важно знать: Координаты вершины параболы, удобно находить следующим образом: • абсцисса вершины параболы 2B b x a - = , • ординату вершины параболы yB можно найти, подставив найденное значение xB в формулу y = ax2 + bx + c. Осью симметрии параболы является прямая х = xB, параллельная оси y. Задание 17. Заполните таблицу. y = f(x) абсцисса вершины параболы xB ордината вершины параболы yB координаты вершины ось симме- трии пара- болы 1) 2 6 8y x x= - - 6 3 2 2 1B b x a - = = = ◊ 2 3 6 3 8By = - ◊ - = = –17 (3; –17) x = 3 2) 2 8 12y x x= + + 3) 2 2 4y x x= - - 4) 2 y x x= - + 5) 2 3 18 20y x x= - + 6) 2 2 12 9y x x= - - - 7) 21 1,5 2 y x x= - + 8) 2 2 8 3y x x= - -

32 Задание 18. Постройте график функции. 1) 2 – 4 3y x x= + Квадратичная функция, график – парабола, а = 1, а > 0, ветви направлены вверх, xB = 4 2�1�◊ = 2, yB = y(2) = 22 – 4 ⋅ 2 + 3 = –1, вершина параболы (2; –1), ось симметрии парабо- лы x = 2. x –1 0 1 2 3 4 5 y 8 3 0 –1 0 3 8 вершина параболы –5 –4 –3 –2 –1 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 x 2) 2 2 8y x x= - - ______________ функция, график – _________, а = ____, а ____ 0, ветви направлены _________, xB = ________________ yB = ________________ вершина параболы _________, ось симметрии параболы x = _____. x y вершина параболы –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 0 1 1 2 3 4 5 x 3) 2 6y x x= - + ______________ функция, график – _________, а = ____, а ____ 0, ветви направлены _________, xB = ________________ yB = ________________ вершина параболы _________, ось симметрии параболы x = _____. x y вершина параболы –5 –4 –3 –2 –1 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 x 4) 2 2 3y x x= - + + ______________ функция, график – _________, а = ____, а ____ 0, ветви направлены _________, xB = ________________ yB = ________________ вершина параболы _________, ось симметрии параболы x = _____. x y вершина параболы –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

33 5) 2 0,5 2y x x= - ______________ функция, график – _________, а = ____, а ____ 0, ветви направлены _________, xB = ________________ yB = ________________ вершина параболы _________, ось симметрии параболы x = _____. x y вершина параболы –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 6) 2 1y x x= + + ______________ функция, график – _________, а = ____, а ____ 0, ветви направлены _________, xB = ________________ yB = ________________ вершина параболы _________, ось симметрии параболы x = _____. x y вершина параболы –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 7) 2 4 4y x x= - + - ______________ функция, график – _________, а = ____, а ____ 0, ветви направлены _________, xB = ________________ yB = ________________ вершина параболы _________, ось симметрии параболы x = _____. x y вершина параболы –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 8) 2 6 5y x x= - - - ______________ функция, график – _________, а = ____, а ____ 0, ветви направлены _________, xB = ________________ yB = ________________ вершина параболы _________, ось симметрии параболы x = _____. x y вершина параболы –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

34 УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ Важно знать. • Уравнение называется целым, если его левая и правая части – целые выражения. • Если целое уравнение записать в виде Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен стандартно- го вида, то степень этого многочлена является степенью данного целого уравнения. • Уравнение n-й степени имеет не более n корней. Задание 19. Определите степень целого уравнения. Уравнение Степень уравнения 1) 2x3 - x4 + 3x - x5 + 6 = 0 В левой части уравнения – многочлен стандартного вида 5-й степени. В правой части уравнения – ноль. 5 2) 6 3 5 2 1 0x x x- - + = 3) 2 3 3 5x x+ = - 4) 2 2 3 2 5x x x- + = + 5) ( ) ( )2 2 1 3x x+ = - 6) ( ) ( )2 2 2 3 4 1x x- = - 7) ( )( )( )1 2 3 0x x x- - - = 8) ( )( )( )1 3 7 4x x x+ - + = 9) ( ) ( )2 3 1 1 0x x x x+ + - = 10) ( ) ( )2 2 2 5 0x x x x x- - + =

35 Важно знать. Чтобы решить целое уравнение, как правило, его приводят к виду Р(х)=0, где Р(х) – многочлен стандартного вида. Задание 20. Решите уравнение. 1) ( ) ( )2 2 3 7- = +x x , 2 2 6 9 14 49- + = + +x x x x , 2 2 6 9 14 49 0- + - - - =x x x x , 20 40 0- - =x , 20 40- =x , 2= -x . Ответ: –2. 4) 1 1 3 5 - + = - x x , ( )5 3 1 1 15 + - = - x x , 5 3 3 1 15 + - = - x x , 2 3 1 15 1 + - = x , 2 3 15+ = -x , 2 18= -x , 9= -x . Ответ: –9. 2) ( ) ( )2 3 6 15x x x x- = - + Ответ: __________. 5) � �3 � �2 1 2 4 x x+ - + = Ответ: __________. 3) ( ) ( )2 2 1 2 5 6x x x x x+ - + - = Ответ: __________. 6) 2 � 1� 1 3 2 x x + - = Ответ: __________.

36 Важно знать. Если в целом уравнении вида Р(х)=0 многочлен Р(х) третьей и более степени, то для решения уравнения удобно использовать: 1) приём разложения на множители многочлена Р(х); 2) метод введения новой переменной. Задание 21. Решите уравнение с помощью разложения на множители. Важно знать. Способы разложения на множители: 1) вынесение за скобки общего множителя; 2) способ группировки; 3) формулы сокращённого умножения (см. справочные материалы); 4) разложение на множители квадратного трёхчлена по формуле ( )( )2 1 2ax bx c a x x x x+ + = - - , где х1 и х2 – корни квадратного трёхчлена. 1) 3 2 8 0- =x x Вынесем общий множитель х2 за скобки. ( )2 8 0- =x x , 2 0=x или 8 0- =x , 0=x 8=x . Ответ: 0; 8. 3) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 1 0- - + =x x Воспользуемся формулой разности квадратов. ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3 3 3 3 3 1 3 1 0- - + - + + =x x x x , ( )( )3 3 3 3 3 1 3 1 0- - - - + + =x x x x , ( )3 4 2 2 0- ◊ - =x , 3 2 2 0- =x , 3 2 2=x , 3 1=x , 1=x . Ответ: 1. 2) 3 2 3 3 0- + - =x x x Для разложения многочлена на множители воспользуемся способом группировки. ( ) ( )2 2 1 3 1 0- + - =x x x , ( )( )2 3 1 0+ - =x x , ( )( )( )3 1 1 0+ - + =x x x , 3 0+ =x или 1 0- =x или 1 0+ =x , 3= -x 1=x 1= -x . Ответ: –3; 1; –1. 4) ( )( ) ( )( )+ - + + + =1 2 1 5 0x x x x Вынесем общий множитель (х + 1) за скоб- ки. ( ) ( ) ( )( )1 2 5 0+ - + + =x x x , ( )( )1 2 5 0+ - + + =x x x , ( )( )1 2 3 0+ + =x x , 1 0+ =x или 2 3 0+ =x , 1= -x 2 3= -x , 1,5= -x . Ответ: –1; –1,5.

37 5) 5 4 0,3 0x x- = Ответ: __________. 8) 4 3 2 2 0x x x- + - = Ответ: __________. 6) 4 2 9 0x x- = Ответ: __________. 9) 5 4 3 4 12 0x x x+ - - = Ответ: __________. 7) 4 3 2 2 0x x x- + = Ответ: __________. 10) 5 3 2 1 0x x x+ + + = Ответ: __________.

38 11) 2 � 1� � �3 0 3 6 x x+ - + = Ответ: __________. 14) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2x x x+ = + Ответ: __________. 12) 2 23 � � � �2 2 x x x + - = Ответ: __________. 15) ( )2 4 2 8x x= - Ответ: __________. 13) ( )( )2 � 1� � 1� 2 2 3 x x x - + - = Ответ: __________. 16) ( )2 4 2 3 1x x x= - + Ответ: __________.

39 Важно знать. Уравнение вида 4 2 0ax bx c+ + = , где 0a π , называют биквадратным уравнением. Биквадратные уравнения удобно решать, используя метод введения новой перемен- ной. Для этого 4 x представляют в виде ( )2 2 x и вводят новую переменную, обозна- чив через неё 2 x . Например, x2 = t. Тогда ( )2 4 2 2 x x t= = , а данное уравнение записыва- ют в виде квадратного уравнения 2 0at bt c+ + = . Задание 22. Решите биквадратное уравнение. 1) 4 2 5 4 0- + =x x ( )2 2 2 5 4 0- + =x x Замена: 2 =x t . 2 5 4 0- + =t t ( )2 5 4 1 4 25 16 9= - - ◊ ◊ = - =D 1 5 9 5 3 4 2 1 2 + + = = = ◊ t , 2 5 9 5 3 1 2 1 2 - - = = = ◊ t . Обратная замена. х2 = 4 или х2 = 1 х = –2 или х = 2; х = –1 или х = 1. Ответ: –2;–1; 1; 2. 4) 4 2 3 4 0x x- - = Ответ: __________. 2) 4 2 10 9 0x x- + = Ответ: __________. 5) 4 2 9 8 1 0x x+ - = Ответ: __________. 3) 4 2 3 2 0x x- + = Ответ: __________. 6) 4 2 4 37 9 0x x- + = Ответ: __________.

40 Задание 23. Решите уравнение, используя введение новой переменной. 1) ( ) ( )2 1 3 1 2 0- - - + =x x Замена: 1- =x t . 2 3 2 0- + =t t ( )2 3 4 1 2 9 8 1= - - ◊ ◊ = - =D 1 3 1 3 1 2 2 1 2 + + = = = ◊ t , 2 3 1 3 1 1 2 1 2 - - = = = ◊ t . Обратная замена: 1 2- =x или 1 1- =x 3=x 2=x . Ответ: 3; 2. 4) ( ) ( ) 2 2 2 2 9 2 14 0x x- - - + = Ответ: __________. 2) ( ) ( )2 2 5 2 4 0x x+ + + + = Ответ: __________. 5) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 8 0x x+ - + - = Ответ: __________. 3) ( ) ( )2 2 3 8 2 3 15 0x x- - - + = Ответ: __________. 6) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 3 0x x x x+ + + + = Ответ: __________.

41 Задание 24. Решите уравнение, используя метод введения новой переменной. 1) ( )( )+ + - =2 2 1 2x x x x Замена: 2 + =x x t . ( )1 2- =t t 2 2 0- - =t t ( ) ( )2 1 4 1 2 1 8 9= - - ◊ ◊ - = + =D 1 1 9 1 3 2 2 1 2 + + = = = ◊ t , 2 1 9 1 3 1 2 1 2 - - = = = - ◊ t . Обратная замена: 2 2+ =x x или 2 1+ = -x x . 2 2 0+ - =x x , 2 1 0+ + =x x , ( )2 1 4 1 2 9= - ◊ ◊ - =D , 2 1 4 1 1 3= - ◊ ◊ = -D , 1 1 3 1 2 + = - =x , нет корней. 2 1 3 2 2 - - = = -x . Ответ: 1; –2. 4) ( )( )2 2 6 4 6 9 4x x x x- + - + = - Ответ: __________. 2) ( )( )2 2 4 4 7 12x x x x- - + = - Ответ: __________. 5) ( )( )2 2 2 6 2 5 6x x x x+ - + - = Ответ: __________. 3) ( )( )2 2 5 3 5 5 1x x x x- + - + = - Ответ: __________. 6) ( )( )2 2 3 39 3 1 41x x x x- - - + = Ответ: __________.

42 ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Важно знать. Дробное рациональное уравнение – это уравнение, обе части которого рациональ- ные выражения, причём хотя бы одно из них является дробным выражением. Задание 25. Решите уравнение. А. 1) 2 5 3 4 2 + = - x x 2 5 3 4 2 + = - x x 2( 4) 2( 4) 0. x x ◊ - - π – общий знаменатель,2( 4) 2( 4) 0. x x ◊ - - π ( ) ( )2 2 5 3 4+ = ◊ -x x , 4 10 3 12+ = -x x , 4 3 12 10- = - -x x , 22= -x . При 22= -x 2 ( )4 0- πx . Значит, –22 является корнем уравнения. Ответ: –22. 4) 1 2 3 � 1� � �2x x x + = - - Ответ: __________. 2) 2 � 1� 3 3 � �2 5 x x - = + Ответ: __________. 5) 2 � �2 8 1 x x x + + = Ответ: __________. 3) 8 � �3 5 � �5 6 x x - = + Ответ: __________. 6) � 1� � �2 � �3 x x x x + = - + Ответ: __________.

43 Б. 1) 2 3 4 6 - = + + x x x x 2 3 4 6 - = + + x x x x ( 4)( 6) ( 4)( 6) 0. x x x x ◊ + + + + π ( ) ( )( )6 2 3 4+ = - +x x x x , 2 2 6 2 8 3 12+ = + - -x x x x x , 2 12 0- + + =x x , 2 12 0- - =x x , ( )2 1 4 1 12 49= - ◊ ◊ - =D , 1 1 7 4 2 + = =x , 2 1 7 3 2 - = = -x . При 4=x ( )( )4 6 0+ + πx x ; при –3=x ( )( )4 6 0+ + πx x . Значит, 4 и –3 – корни уравнения. Ответ: 4; –3. 4) 1 2 � 1� x x x = - Ответ: __________. 2) 2 1 1 � 7� � �5 � �2x x x = - - - Ответ: __________. 5) 2 � 1� 4� � 1 � 1� 2 x x x x - - + = - Ответ: __________. 3) 2 � 1� � �2 � �4 x x x x - = + + Ответ: __________. 6) � �3 1� � 1 � 1� x x x x - - + = + Ответ: __________. – общий знаменатель,

44 В. 1) 2 3 2 2 5 1 + + = + + x x x x x x ( ) 3 2 2 5 1 1 + + = + + x x x x x x ( ) ( 1) 1 0. x x◊ + + πx x ( )2 3 2 1 2 5+ + = +x x x , 2 3 2 2 2 5 0+ + - - =x x x , 2 3 3 0- =x , 2 1 0- =x , ( )( )1 1 0- + =x x , x = 1 или x = –1. При 1=x ( )1 0+ πx x , значит, 1 является корнем уравнения. При 1= -x ( )1 0+ =x x , значит, –1 не явля- ется корнем уравнения. Ответ: 1. 4) 2 6 2 1 3� � 23 � � xx x - = -- Ответ: __________. 2) 2 5 1 � �2 � �4 x x x - = - - Ответ: __________. 5) 2 5 � 1� 3 � �5 2 � 1�� � � �2 x x xx x + - + = -+ - Ответ: __________. 3) 2 3 33 � �4 � 1� 1� 1� 1 x x xx x - + = -- Ответ: __________. 6) 2 1 4 9 � �3 � 1� � �2 � �3x x x x + = - + - - Ответ: __________. – общий знаменатель,

45 Важно знать. При решении дробных рациональных уравнений применяют, как и при решении целых уравнений: 1) разложение многочлена на множители; 2) метод введения новой переменной. Задание 26. Решите уравнение. 1) 3 2 2 2 � � � 2� �2 � �4 � �4 x x x x x - - = - - ( )- - + = ◊ - - 3 2 2 2 2 2 0 4 4 x x x x x , 2 4 0- πx ( ) ( )2 2 1 2 1 0- + - =x x x , ( )( )2 2 1 0+ - =x x , x = –2 или x = –1 или x = 1. При 2= -x ( )2 4 0- =x , значит, –2 не явля- ется корнем уравнения. При x = –1 ( )2 1 4 0= ± - πx x ; при x = 1 ( )2 1 4 0= ± - πx x . Значит, –1 и 1 – корни уравнения. Ответ: –1; 1. 4) 2 2 3 3 � � � 1� x x x x + + = + + Ответ: __________. 2) 2 2 2 3 2 � 1� � 1� x x x x Ê ˆ Ê ˆ =Á ˜ Á ˜+ +Ë ¯ Ë ¯ Ответ: __________. 5) 2 2 2 � �2 � �2 1 3 2� �2 � 1� � �2 � �2 x x x x x x + + - = + + + + Ответ: __________. 3) 2 2 1 � �5 2� �25 x x x - = + - Ответ: __________. 6) 2 2 2 2 � � � � � �2 1 � � � 1� � � � �2 x x x x x x x x - - + - = - + - - Ответ: __________.

46 РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Важно знать. Неравенства второй степени с одной переменной – это неравенства вида 2 0�ax bx c+ + > и 2 0ax bx c+ + < , где х – переменная, a, b, c – некоторые числа, a ≠ 0. Чтобы решить неравенство второй степени с одной переменной, можно рассмо- треть квадратичную функцию 2 :y ax bx c= + + 1) графиком является парабола, ветви которой направлены вверх ( 0a > ) или вниз ( 0a < ); 2) найти нули функции (точки пересечения параболы с осью абсцисс); 3) на оси х отметить найденные нули функции и схематически провести через них параболу. Промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси х, яв- ляются решением неравенства 2 0ax bx c+ + > ; промежутки, для которых точки па- раболы расположены ниже оси х, являются решением неравенства 2 0ax bx c+ + < . Задание 27. Решите неравенство. 1) 2 6 0x x- - < 2 6y x x= - - – квадратичная функция, гра- фик парабола, а = 1, а > 0, ветви направлены вверх. Нули функции: 0y = 2 6 0x x- - = , ( ) ( )2 1 4 1 6 25D = - - ◊ ◊ - = , 1 2x = - , 2 3x = . –2 x3 Ответ: (–2; 3). 3) 2 3 10 0x x+ - ≥ 2 3 10y x x= + - – квадратичная функция, график парабола, а = 1, а > 0, ветви направ- лены вверх. Нули функции: 0y = 2 3 10 0x x+ - = , ( )2 3 4 1 10 49D = - ◊ ◊ - = , 1 5x = - , 2 2x = . –5 x2 Ответ: ( ] [ ); 5 2;-• - » +• . 2) 2 8 15 0x x- + £ Ответ: __________. 4) 2 6 8 0x x- + > Ответ: __________.

47 5) 2 3 2 0x x- + £ Ответ: __________. 8) 2 2 24 0x x- - + > Ответ: __________. 6) 2 12 0x x- - ≥ Ответ: __________. 9) 2 20 0x x- - - £ Ответ: __________. 7) 2 5 14 0x x+ - > Ответ: __________. 10) 2 1 0x - ≥ Ответ: __________.

48 11) 2 2 1 0x x- + ≥ Ответ: __________. 14) 2 2 1 0x x+ + £ Ответ: __________. 12) 2 6 9 0x x+ + > Ответ: __________. 15) 2 8 16 0x x- + - ≥ Ответ: __________. 13) 2 4 4 0x x- + < Ответ: __________. 16) 2 6 9 0x x- + - £ Ответ: __________.

49 17) 2 2 0x x+ + > Ответ: __________. 20) ( )( ) 2 1 3 0 2 3 0 x x x x - + > + - > y = x2 + 2x – 3 – квадратичная функция, гра- фик парабола, а = 1, а > 0, ветви направлены вверх. Нули функции: y = 0 x2 + 2x – 3 = 0, (x – 1)(x + 3) = 0 x1 = 1, x2 = –3. –3 x1 Ответ: (–3; 1). 18) 2 2 3 0x x- + - ≥ Ответ: __________. 21) ( )( )2 3 0x x- + £ Ответ: __________. 19) 2 4 0x + £ Ответ: __________. 22) ( )( )2 2 0x x- + < Ответ: __________.

50 РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ Важно знать. Методом интервалов удобно решать неравенства вида ( )( ) ( )1 2 0nx x x x x x- - º - > и ( )( ) ( )1 2 0nx x x x x x- - - < , где 1 2, , nx x x – числа. Для этого нужно рассмотреть функцию ( ) ( )( ) ( )1 2 nf x x x x x x x= - - - : 1) найти область определения функции ( ( )D f ); 2) определить нули этой функции ( 1 2, , nx x x ); 3) на оси х отметить найденные нули функции и определить, какой знак имеет функция ( )f x на каждом из промежутков, на которые область определения функ- ции разбивается её нулями. Для этого можно выбрать любое число, принадлежащее одному из промежутков, и подставить его вместо х в формулу функции, посчи- тать, чему равно значение функции, а точнее, какой знак у этого значения. На всём выбранном промежутке функция будет иметь тот же знак. Задание 28. Решите неравенство методом интервалов. А. 1) ( )( )( )3 1 7 0x x x- + - > ( ) ( )( )( )3 1 7f x x x x= - + - • ( ) ( );D f = -• +• ; • Нули функции: ( ) 0f x = , ( )( )( )3 1 7 0x x x- + - = = = - =1 2 33,� 1,� 7x x x . При x ∈ (7; +∞) f(x) > 0, т.к. f(10) > 0; при x ∈ (3; 7) f(x) < 0, т.к. f(4) < 0; при x ∈ (–1; 3) f(x) > 0, т.к. f(0) > 0; при x ∈ (–∞; –1) f(x) < 0, т.к. f(–2) < 0. –1 3 x7 – + +– Ответ: ( ) ( )1;3 7;- » +• . 3) ( )( )6 4 0x x+ + < Ответ: __________. 2) ( )( )10 2 0x x- - £ Ответ: __________. 4) ( )5 0x x - ≥ Ответ: __________.

51 5) ( )( )1,3 0,8 0x x+ - > Ответ: __________. 8) ( )( )2 3 0x x x+ - ≥ Ответ: __________. 6) ( )( )( )2 2 9 0x x x- + - £ Ответ: __________. 9) ( )( )( )1 2 3 0x x x- - + < Ответ: __________. 7) ( )( )6 4 0x x x- + > Ответ: __________. 10) ( )( ) 1 0,5 2 0 3 x x x Ê ˆ - + - ≥Á ˜Ë ¯ Ответ: __________.

52 Б. 1) � �3 0 � �6 x x - > + ( )( )Ï - + >Ô Ì + πÔÓ 3 6 0, (1) 6 0. (2) x x x (1) ( )( )3 6 0x x- + > ( ) ( )( )����� 3 6f x x x= - + • ( ) ( );D f = -• +• ; •Нули функции: ( ) 0f x = , ( )( )3 6 0x x- + = 1 23,� 6x x= = - . –6 x3 + +– x ∈ (3; +∞), f(x) >0, т.к. f(4) > 0; x ∈ (–6; 3), f(x) <0, т.к. f(0) < 0; x ∈ (–∞; –6), f(x) >0, т.к. f(–7) > 0. (2) 6 0x + π , 6x π - . Общее решение системы –6 x3 Ответ: ( ) ( ); 6 3;-• - » +• . 3) ( )� �5 0 � 1� x x x - £ - ( )( )Ï - - £Ô Ì - πÔÓ 5 1 0, (1) 1 0. (2) x x x x (1) ( )( )5 1 0x x x- - £ ( ) ( )( )5 1f x x x x= - - • ( ) ( );D f = -• +• ; •Нули функции: ( ) 0f x = , ( )( )5 1 0x x x- - = 1 2 30,� 5,� 1x x x= = = . 0 1 x5 – + +– x ∈ (5; +∞), f(x) > 0, т.к. f(6) > 0; x ∈ (1; 5), f(x) < 0, т.к. f(2) < 0; x ∈ (0; 1), f(x) > 0, т.к. f(0, 5) > 0. x ∈ (–∞; 0), f(x) > 0, т.к. f(–1) >0. (2) 1 0x - π , 1x π . Общее решение системы 0 1 x5 Ответ: ( ] ( ];0 1;5-• » . 2) � 7� 0 � �2 x x - < + Ответ: __________. 4) � �4 0 � �9 x x + ≥ + Ответ: __________.

53 5) � �8 0 � �3 x x - > + Ответ: __________. 7) � �0,5 0 � �4 x x + £ - Ответ: __________. 6) 2 0 � �3 x x < + Ответ: __________. 8) 3 0 2� � x x ≥ - Ответ: __________.

54 УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ЕГО ГРАФИК Важно знать. Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, при ко- торых это уравнение обращается в верное равенство. Множество точек координатной плоскости, координаты которых являются ре- шением уравнения с двумя переменными, образуют график этого уравнения. График уравнения с двумя переменными вида: ax by c+ = – прямая; 2 y ax bx c= + + – парабола; xy k= – гипербола. Задание 29. Постройте график уравнения с двумя переменными. 1) 2 3y x- = Перепишем уравнение: –2x + y = 3. Графиком этого уравнения является прямая. x –2 0 y –1 3 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x y – 2x = 3 2) 1y x+ = –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

55 3) 3 0y x- + = –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 4) 2 0y x- = –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 5) 2x y= + –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

56 6) 2 0y x- = –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 7) 2 3 0y x+ - = –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 8) 2 2x y= - –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

57 9) 1xy = –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 10) 1 1 2 xy = - –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 11) 5 15xy = –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

58 12) ( )( )3 2 0x y- + = 3 0x - = или 2 0y + = , 3x = 2y = - . Графиком уравнения является пара пересекающих- ся прямых 3x = и 2y = - . То есть, координаты любой точки, принадлежащей любой из двух прямых, являются решением уравне- ния. –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x = 3 y = – 2x 13) ( )( )1 0y x x y- + + = –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 14) ( )( )2 3 3 0y x y x- + - = –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

59 15) ( )( )4 0x y x- + = –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 16) ( )( )2 1 0x y y+ - - = –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 17) ( )( )2 2 0y x x+ - = –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

60 Важно знать. Уравнение с двумя переменными вида ( ) ( )2 2 2 x a y b r- + - = задаёт окружность с цен- тром в точке с координатами (a; b) и радиусом r. Задание 30. Заполните таблицу. Уравнение Координаты центра окружности Радиус окружности x y 1) ( ) ( )2 2 1 2 25- + + =x y ( ) ( )( )2 2 1 2 5x y- + - - = 1 –2 5 2) ( ) ( )2 2 3 8 36x y- + - = 3) ( ) ( )2 2 2 5 16x y+ + + = 4) ( )2 2 7 1x y- + = 5) 2 2 7x y+ = 6) 3 2 3 7) –1 –6 0,5 8) 5 0 3 9) 0 –2 5 10) 0 0 10

61 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Задание 31. Решите систему уравнений способом подстановки. 1) ÏÔ Ì + = Ó - - =Ô 2 2 , 5 0. 1 1) (2) (x x y y (1) 1x y= + . (2) ( )2 2 1 5 0y y+ + - = , 2 2 2 1 5 0y y y+ + + - = , 2 2 2 4 0y y+ - = , 2 2 0y y+ - = , ( )2 1 4 1 2 9D = - ◊ ◊ - = , 1 1 3 1 2 y - + = = , 2 1 3 2 2 y - - = = - . = +Ï Ì =Ó 1, 1; x y y или = +Ï Ì = -Ó 1, 2; x y y = +Ï Ì =Ó 1 1, 1; x y = - +Ï Ì = -Ó 2 1, 2; x y =Ï Ì =Ó 2, 1; x y = -Ï Ì = -Ó 1, 2. x y Ответ: (2; 1), (–1; –2). 3) + =Ï Ì = -Ó 1, 2. x y xy Ответ: __________. 2) - + =ÏÔ Ì Ó =Ô +2 2 2 2 1 0. ,x x y y Ответ: __________. 4) - =Ï Ì + = -Ó 3 5, 3. x y y xy Ответ: __________.

62 Задание 32. Решите систему уравнений способом сложения. 1) Ï + =Ô ◊Ì =ÔÓ 2 2 8, 2 4. x y xy ⋅ 2 Ï + =Ô Ì =ÔÓ 2 2 8, (1) 2 8; (2) x y xy + - (1) (2) (1) (2) Ï + + =Ô Ì + + =ÔÓ 2 2 2 2 2 16, 2 0; x xy y x xy y ( ) ( ) 2 2 16, 0. x y x y Ï + =Ô Ì - =ÔÓ Значит, 4, ;������� x y x y + =Ï Ì =Ó или 4, ;����������� x y x y + = -Ï Ì =Ó 2, 2; x y =Ï Ì =Ó 2, 2. x y = -Ï Ì = -Ó Ответ: (2; 2), (–2; –2). 3) 2 2 5, 2. x y x y Ï + =Ô Ì ◊ =ÔÓ Ответ: __________. 2) 2 2 17, 4. x y xy Ï + =Ô Ì =ÔÓ Ответ: __________. 4) 2 2 37, 6. x y xy Ï + =Ô Ì =ÔÓ Ответ: __________.

63 5) 2 2 2 2 13, (1) 5. (2) x y x y Ï + =Ô Ì - =ÔÓ (1) + (2) 2 2 18x = , 2 9x = , х = 3 или х = –3. Значит, 2 2 3,�������������� 13; x x y =Ï Ì + =Ó или 2 2 3,����������� 13; x x y = -Ï Ì + =Ó 2 3,��� 4; x y =Ï Ì =Ó 2 3, 4. x y = -Ï Ì =Ó Значит, 3, 2; x y =Ï Ì = -Ó или 3, 2. x y =Ï Ì =Ó или 3, 2; x y = -Ï Ì = -Ó или 3, 2. x y = -Ï Ì =Ó Ответ: (3; –2), (3; 2), (–3; –2), (–3; 2). 7) 2 2 2 2 2 27, 24. x y x y Ï + =Ô Ì - = -ÔÓ Ответ: __________. 6) 3 1, 5. x xy x xy - = -Ï Ì + =Ó Ответ: __________. 8) 2 2 2 2 4, 3 6. x y x x y x Ï + + =Ô Ì - + = -ÔÓ Ответ: __________.

64 Задание 33. Решите систему уравнений графически. 1) 2 2 0, (1) 0. (2) x y x y Ï - - =Ô Ì + =ÔÓ (1) 2 2 0x y- - = , 2 2y x= - – квадратичная функция, график – па- рабола, ветви направлены вверх. xB = 0, yB = –2. x –2 –1 0 1 2 y 2 –1 –2 –1 2 вершина параболы (2) 0x y+ = , y x= - – линейная функция, график – прямая. x 0 2 y 0 –2 Найдём координаты точек пересечения графиков уравнений (1) и (2), используя рисунок: (–2; 2), (1; –1). Ответ: (–2; 2), (1; –1). –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x2 – 2 – y = 0 x + y = 0 2) 2 0, 4. x y y Ï - =Ô Ì =ÔÓ Ответ: __________. –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

65 3) 2 0, 2 0. y x y x Ï + =Ô Ì - =ÔÓ Ответ: __________. –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 4) 2 0, 1. x y xy Ï + =Ô Ì =ÔÓ Ответ: __________. –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

66 5) 2 2 4, 2. x y x y Ï + =Ô Ì + =ÔÓ Ответ: __________. –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 6) 2 2 2 1 1. 4, 4 x y y x Ï + = Ô Ì Ô = - Ó - Ответ: __________. –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

67 НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Важно знать. Решение неравенства с двумя переменными – это пара значений переменных, при которых это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Для того, чтобы решить неравенство, на координатной плоскости изображают линии (прямые, параболы, гиперболы, окружности и т.п.). Если неравенство строгое («меньше», «больше»), то эти линии на рисунке изображаются штриховыми линиями. Если неравенство нестрогое («меньше или равно», «больше или равно»), то эти линии на рисунке изображаются сплошными линиями. Задание 34. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства. 1) 2y x+ ≥ • 2y x≥ - + . (1) • Рассмотрим функцию 2y x= - + – линейная функция, график – прямая. x –2 0 y 4 2 Так как неравенство нестрогое точки прямой яв- ляются решениями неравенства, и прямую изо- бражают сплошной линией. • Прямая y = –x + 2 разбивает плоскость на две части – полуплоскости. Чтобы определить, какая из полуплоскостей со- держит решения неравенства, достаточно взять одну точку. Например, (3; 2). Подставим коорди- наты этой точки в неравенство (1): 2 ≥ –3 + 2 – верное неравенство. Значит, выделяем штриховкой ту часть плоско- сти, в которой находится выбранная точка. –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 2) 2 1x y- ≥ –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

68 3) 3 2 9 0y x- - < 2 3 3 y x< + • Рассмотрим функцию 2 3 3 y x= + – линейная функция, график – прямая. x –3 0 y 1 3 Так как неравенство строгое, точки прямой не являются решениями неравенства, и прямую изо- бражают штриховой линией. • Прямая y = 2/3 x + 3 разбила плоскость на две части – полуплоскости. Чтобы определить, какая из полуплоскостей со- держит решения неравенства, достаточно взять одну точку. Например, (1; 1). Подставим коорди- наты этой точки в неравенство (1): 1 < 2/3x+ 3 – верное неравенство. Значит, выделяем штриховкой ту часть плос- кости, в которой находится выбранная точка. –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 4) 3 2x y- > - –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 5) 4x y< - - –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

69 6) 2 0y x- ≥ –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 7) 2 3y x+ < –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 8) 2 1x y> + –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

70 9) 1xy > –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 10) 2xy £ - –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 11) 3 9xy ≥ –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

71 12) 2 2 4x y+ < –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 13) 2 2 9x y+ > –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 14) ( ) ( )2 2 1 1 1x y- + + £ –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

72 СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Важно знать. Множеством решений системы неравенств с двумя переменными является пересе- чение множеств решений входящих в неё неравенств. Задание 35. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы нера- венств. 1) 1, (1) 2. (2) y x y x £ +Ï Ì ≥ - +Ó (1) 1y x£ + . Рассмотрим функцию 1y x= + – линейная функ- ция, график – прямая. x –2 0 y –1 1 (2) 2y x≥ - + . Рассмотрим функцию 2y x= - + – линейная функ- ция, график – прямая. x 0 2 y 2 0 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x y = –x + 2 y = x + 1 2) 1, 1. y x ≥Ï Ì ≥Ó –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

73 3) 4,��� 2. y x £Ï Ì £ -Ó –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 4) 3,��� 1. x y <Ï Ì > -Ó –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 5) 3,��� 3 0. x y > -Ï Ì - <Ó –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

74 6) 1, 2. y x x y - ≥ -Ï Ì + ≥ -Ó –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 7) 3 � 1 y x x y - ≥Ï Ì ≥ +Ó –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 8) 2, 4. y x x Ï ≥Ô Ì <ÔÓ –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

75 9) 2, 2. y x x Ï < -Ô Ì ≥ -ÔÓ –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 10) 2 0, 2.���������� y x y Ï - >Ô Ì <ÔÓ –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 11) 2 1 0, 0.��������� y x x y Ï + - ≥Ô Ì + ≥ÔÓ –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

76 12) 1, 3. xy x <Ï Ì < -Ó –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 13) 2 2, � 0. yx y x ≥ÏÔ Ì - ≥ÔÓ –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 14) 2 2 0, 0. xy y x + <Ï Ì + <Ó –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

77 15) 2 2 4, 0.���� x y x y Ï + £Ô Ì - >ÔÓ –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 16) ( ) 2 22 ,��������������������� 3 1. y x x y Ï >Ô Ì + - £ÔÓ –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 17) 2 2 2 2 1, 4. x y x y Ï + ≥Ô Ì + £ÔÓ –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x

78 АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Важно знать: Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член ко- торой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. + d + d + d + d a1, a2, a3, ... , an–1, an, an+1 – арифметическая прогрессия, d – разность арифметической прогрессии, 1n nd a a+= - . an = a1 + d(n – 1) – формула п-го члена арифметической прогрессии. 1 1� � � 2 n n n a a a - ++ = – свойство арифметической прогрессии. Задание 36. Допишите ещё три члена арифметической прогрессии 1) 3; 5; 7; … 6) 0,1; 0,2; … 2) 8; 12; 16; … 7) 0,8; 1,2; … 3) 5; 10 … 8) 0,4; –1; … 4) –1; –2; … 9) 3,5; 2,5; … 5) –10; –12; … 10) 26; 16; … Задание 37. Заполните таблицу. 1a 2a d n na 1) 3 5 5 – 3 = 2 7 ( )7 3 2 7 1= + ◊ - =a 3 12 15+ = 2) 4 7 5 3) 2 –2 8 4) –1 5 10 5) –10 –5 6 6) 12 5 14 7) 15 3 22 8) 11 7 16 9) –12 –3 27 10) 0,4 1,1 11

79 Задание 38. Найдите n-й член арифметической прогрессии. 1) 1 7=a ( )1 1na a d n= + - 6=d ( )8 7 6 8 1= + ◊ - =a 8 ?-a =7 42 49+ = . Ответ: 49. 6) 5 10=a 6 12=a 1 ?-a Ответ: ____________. 2) 2 –5=a 3=d 17 ?-a Ответ: ____________. 7) 11 22=a 12 33=a 1 ?-a Ответ: ____________. 3) 2 24=a 8= -d 9 ?-a Ответ: ____________. 8) 23 0=a 31 –16=a 1 ?-a Ответ: ____________. 4) 1 6=a 3 7=a 24 ?-a Ответ: ____________. 9) 2 8=a 5 14=a 38 ?-a Ответ: ____________. 5) –3a 3 21=a 41 ?-a Ответ: ____________. 10) 7 18=a 13 0=a 19 ?-a Ответ: ____________.

80 Важно знать: Формула суммы n членов арифметической прогрессии 1 � �� 2 n n a a S n + = ◊ или ( )12 � � � 1� 2n a d n S n + - = ◊ . Задание 39. Найдите сумму n членов арифметической прогрессии, используя формулу 1 � �� 2 n n a a S n + = ◊ . 1a 2a d n na nS 1) 3 5 5 – 3 = 2 9 ( )9 3 2 9 1a = + ◊ - = 3 16 19= + = 9 3 19 9 2 + = ◊ =S 22 9 11 9 99 2 = ◊ = ◊ = 2) 4 7 10 3) –2 –6 15 4) 11 3 12 5) –1 –9 20 6) 12 –7 11 7) 40 25 7 8) –14 –7 16 9) 1,8 0,5 13 10) 0,6 –1,2 25

81 Задание 40. Найдите сумму n членов арифметической прогрессии. 1) 1 5=a ( )12 � � � 1� 2n a d n S n + - = ◊ 9=d ( ) 7 2��5� �9��7� 1� 7 2 S ◊ + ◊ - = ◊ = 7 ?-S 64 7 32 7 224 2 = ◊ = ◊ = . Ответ: 224. 6) 1 10=a 2 13=a 31 ?-S Ответ: ____________. 2) 1 –8=a 6=d 11 ?-S Ответ: ____________. 7) 1 –1=a 2 3=a 40 ?-S Ответ: ____________. 3) 1 12=a 28 68=a 28 ?-S Ответ: ____________. 8) 2 6=a 4= -d 21 ?-S Ответ: ____________. 4) 1 2=a 25 74=a 25 ?-S Ответ: ____________. 9) 2 –32=a 12= -d 15 ?-S Ответ: ____________. 5) 1 –7=a 16 41=a 16 ?-S Ответ: ____________. 10) 2 8=a 3 12=a 22 ?-S Ответ: ____________.

82 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Важно знать: Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. · q · q · q · q b1, b2, b3, ... , bn–1, bn, bn+1 – геометрическая прогрессия, q – знаменатель геометрической прогрессии, 1n n b q b + = . bn = b1 · qn–1 – формула п-го члена геометрической прогрессии. 2 1 1n n nb b b- += ◊ – свойство арифметической прогрессии. Задание 41. Допишите ещё три члена геометрической прогрессии. 1) 2; 4; 8; … 6) 0,1; 0,2; … 2) 5; 10; 20; … 7) 3 2 ; 9 4 ; … 3) 1; 10 … 8) 1; –3; … 4) –1; –2; … 9) –1; 1; … 5) 1 2 ; 1 4 ; … 10) 1 16 ; 1 8 ; … Задание 42. Заполните таблицу. 1b 2b q n nb 1) 4 8 8 : 4 = 2 7 7 1 6 7 4 2 4 2 4 64 256- = ◊ = ◊ = ◊ =b 2) 3 9 4 3) –1 –2 6 4) –1 5 4 5) –0,1 –2 5 6) 10 2 3 7) 7 2 6 8) 16 4 3 9) –18 –3 3 10) 0,8 0,16 5

83 Задание 43. Найдите n-й член геометрической прогрессии. 1) b1 = 11 1 1 - = ◊ n nb b q q = 2 b4 – ? 4 1 4 11 2 11 8 88- = ◊ = ◊ =b Ответ: 88. 6) 1 3=b 3=q 7 ?-b Ответ: ____________. 2) 1 25=b 2= -q 4 ?-b Ответ: ____________. 7) 1 8 2=b 2 2 = -q 4 ?-b Ответ: ____________. 3) 2 32=b 1 2 =q 6 ?-b Ответ: ____________. 8) 1 1 4 =b 2= -q 7 ?-b Ответ: ____________. 4) 2 81=b 1 3 =q 5 ?-b Ответ: ____________. 9) 1 3=b 4 81=b 6 ?-b Ответ: ____________. 5) 1 –7=b 2=q 9 ?-b Ответ: ____________. 10) 2 2= -b 7 64=b 1 ?-b Ответ: ____________.

84 Важно знать: Формула суммы n членов геометрической прогрессии ( )1 1 1 - = - n n b q S q , если 1q π . Задание 44. Найдите сумму n членов геометрической прогрессии. 1b 2b q n nS 1) 2 6 6 : 2 = 3 4 4 4 2 (3 1) 2 80 80 3 1 2 ◊ - ◊ = = = - S 2) –2 4 8 3) 1 –1 10 4) –1 –5 4 5) 25 1 5 3 6) 128 0,5 7 7) 49 4 2 7 - 3 8) –0,25 0,5 4 9) –0,2 –2 7 10) 3,2 1,6 5

85 ОТВЕТЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА СРАВНЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Задание 3. 1) 2 . 2) 13 4 . 3) 441 ; 20,(1). 4) –2,5; 5- . 5) 1 2 ; 0; –1,5. 6) 2,5; 4 ; 7 . 7) 13- . ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Задание 5. А. 1) –5. 2) 14. 3) 3,5. 4) 0. 5) 1; 3. 6) –5; 9. 7) 0; –1. 8) –3; 3. 9) 2. 10) 3. 11) –1. 12) –4. 13) 2; 3. 14) –7; 1. 15) –2. 16) –1; 8. Б. 1) 0. 2) –3. 3) 2. 4) 0. 5) 9. 6) 81. 7) 4. 8) 16. 9) –3. 10) 8. 11) –3. 12) –0,5. 13) 2. 14) –7. 15) 3. 16) 2. Задание 6. 1) ( );-• +• . 2) ( );-• +• . 3) ( );-• +• . 4) ( );-• +• . 5) ( );-• +• . 6) ( );-• +• . 7) ( );-• +• . 8) ( ) ( );0 0;-• » +• . 9) ( ) ( );0 0;-• » +• . 10) ( ) ( ) ( );0 0;1 1;-• » » +• . 11) [ )1;- +• . 12) ( ];2,5-• . 13) [ )3;+• . 14) [ ) ( )0;3 3;» +• . 15) [ ) ( ) ( )5; 2 2;1 1;- - » - » +• . 16) ( ) ( )0;1 1;» +• . Задание 7. 1) а. 2) в. 3) б. 4) в. 5) а. 6) а. 7) в. 8) в. 9) б. 10) в. 11) б. 12) в. 13) а. 14) б. 15) а. Задание 8. 1) 4x . 2) 2x- . 3) 49x . 4) 8x . 5) 2 x - . 6) 3 x - . 7) 9 x - . 8) 2 x . 9) 2 x . 10) x- . 11) 1 2 x . 12) 0,1 x . Задание 9. 1) 3 1x + . 2) 2x . 3) 3x- . 4) 1 2 x . 5) 3x + . 6) 2x- + . 7) 2 3x- + . 8) 3 1x- - . 9) 2 x . 10) 1 x - . 11) 4 x - . 12) 3 x . 13) 2x . 14) 4x . 15) x . 16) 8x . ФУНКЦИЯ y = ax2, ЕЁ ГРАФИК И СВОЙСТВА Задание 12. 1) (2; 4), (–1; 1). 2) (2; 4), (3; 9). 3) (5; –25), (–2; –4). 4) (–1; –2). 5) (–2; 8), (1; 2). 6) (3; –21), (–1; –5). 7) (–2; 15), (4; 21). 8) (–2; 17), (3; 32). ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ y = ax2 + n И y = a(x – m)2 Задание 13. 1) 2 2x - . 2) 2 2x + . 3) 2 4x - . 4) 2 2x- + . 5) 2 1x- - . 6) 2 4x- + . 7) 2 1x + . 8) 2 2x- - . Задание 14. 1) ( )2 2x - . 2) ( )2 3x - . 3) ( )2 1x + . 4) ( )2 2x- + . 5) ( )2 1x- + . 6) ( )2 2x- - . 7) ( )2 4x + . 8) ( )2 1x- - . Задание 15. 1) ( )2 1 3x - - . 2) ( )2 1 1x - + . 3) ( )2 1 4x- + + . 4) ( )2 2 1x + - . 5) ( )2 4x - . 6) ( )2 2 3x - - . 7) ( )2 2x- + . 8) ( )2 2 2x- - + . 9) 2 3x- + . 10) ( )2 3 4x + - . 11) 2 3x - . 12) ( )2 1 2x - - . УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание 19. 1) 5. 2) 6. 3) 3. 4) 1. 5) 1. 6) 1. 7) 3. 8) 3. 9) 4. 10) 3. Задание 20. 1) –2. 2) –1; 5. 3) 2; 3. 4) –9. 5) 0. 6) –1,5; 3. Задание 21. 1) 0; 8. 2) –3; –1; 1. 3) 1. 4) –1; –1,5. 5) 0; 0,3. 6) –3; 0; 3. 7) 0; 1. 8) –2; 1. 9) –3; 2- ; 2 . 10) –1. 11) –1; 1 2 . 12) –2; 1. 13) –1; 1. 14) –1; 1 2 . 15) –2; 2. 16) 1 3 ; 1 2 ; 1.

86 Задание 22. 1) –2; –1; 1; 2. 2) –3; –1; 1; 3. 3) 2- ; –1; 1; 2 . 4) –2; 2. 5) 1 3 - ; 1 3 . 6) –3; 1 2 - ; 1 2 ; 3. Задание 23. 1) 2; 3. 2) –6; –3. 3) 3; 4. 4) –3; –2; 2; 3. 5) –1; 1. 6) –1. Задание 24. 1) –2; 1. 2) 1; 2; 3. 3) 1; 4. 4) 1; 2; 4; 5. 5) –4; –3; 1; 2. 6) –5; 1; 2; 8. ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание 25. A. 1) –22. 2) 11. 3) 1. 4) 1 2 . 5) –4. 6) –0,5. Б. 1) –3; 4. 2) 1; 5. 3) –1; 2. 4) 1. 5) –2; –1. 6) 1 3 - ; 1. B. 1) 1. 2) 1 2 . 3) 7. 4) 4. 5) –5. 6) 4. Задание 26. 1) –1; 1. 2) 1 2 - ; 0; 1 2 . 3) 3; 7. 4) –2; –1; 0; 1. 5) –2; 0. 6) 0; 1. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Задание 27. 1) (–2; 3). 2) [3; 5]. 3) ( -• ; –5]∪[2; +• ). 4) ( -• ; 2)∪(4; +• ). 5) [1; 2]. 6) ( -• ; –3]∪[4; +• ). 7) ( -• ; –7)∪(2; +• ). 8) (–6; 4). 9) ( -• ; +• ). 10) ( -• ; –1]∪[1; +• ). 11) ( -• ; +• ). 12) ( -• ; –3)∪(–3; +• ). 13) нет решений. 14) –1. 15) 4. 16) ( -• ; +• ). 17) ( -• ; +• ). 18) нет решений. 19) нет решений. 20) ( -• ; –3)∪(1; +• ). 21) ( -• ; –3]∪[2; +• ). 22) (–2; 2). РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ Задание 28. A. 1) (–1; 3)∪(7; +• ). 2) [2; 10]. 3) (–6; –4). 4) ( -• ; 0]∪[5; +• ). 5) ( -• ; –1,3)∪(0,8; +• ). 6) ( -• ; –2]∪[2; 9]. 7) (–4; 0)∪(6; +• ). 8) ( -• ; –2]∪[0; 3]. 9) ( -• ; –3)∪(1; 2). 10) ( -• ; – 1 2 ]∪[ 1 3 ; 2]. Б. 1) ( -• ; –6)∪(3; +• ). 2) (–2; 7). 3) ( -• ; 0]∪(1; 5]. 4) ( -• ; –9)∪[–4; +• ). 5) ( -• ; –3)∪(8; +• ). 6) (–3; 0). 7) [ 1 2 - ; 4). 8) [0; 2). УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Задание 31. 1) (2; 1), (–1; –2). 2) (1; 0), ( 1 3 - ; 4 3 ). 3) (2; –1), (–1; 2). 4) (2; –1). Задание 32. 1) (2; 2), (–2; –2). 2) (–1; –4), (–4; –1), (1; 4), (4; 1). 3) (–2; –1), (–1; –2), (2; 1), (1; 2). 4) (–6; –1), (–1; –6), (6; 1), (1; 6). 5) (3; –2), (–3; –2), (–3; 2), (3; 2). 6) (1; 4). 7) (–1; –5), (–1; 5), (1; –5), (1; 5). 8) (–1; –2), (–1; 2). Задание 33. 1) (–2; 2), (1; –1). 2) (–2; 4), (2; 4). 3) (0; 0), (–2; –4). 4) (–1; –1). 5) (2; 0), (0; 2). 6) (–2; 0), (2; 0). АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Задание 36. 1) 9; 11; 13. 2) 20; 24; 28. 3) 15; 20; 25. 4) –3; –4; –5. 5) –14; –16; –18. 6) 0,3; 0,4; 0,5. 7) 1,6; 2; 2,4. 8) –2,4; –3,8; –5,2. 9) 1,5; 0,5; –0,5. 10) 6; –4; –14. Задание 38. 1) 49. 2) 40. 3) –32. 4) 17,5. 5) 477. 6) 2. 7) –88. 8) 44. 9) 80. 10) –18.

87 Задание 40. 1) 224. 2) 242. 3) 1120. 4) 950. 5) 272. 6) 1705. 7) 3080. 8) –630. 9) –1560. 10) 1012. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Задание 41. 1) 16; 32; 64. 2) 40; 80; 160. 3) 100; 1000; 10000. 4) –4; –8; –16. 5) 1 8 ; 1 16 ; 1 32 . 6) 0,4; 0,8; 1,6. 7) 27 8 ; 81 16 ; 243 32 . 8) 9; –27; 81. 9) –1; 1; –1. 10) 1 4 ; 1 2 ; 1. Задание 43. 1) 88. 2) –200. 3) 2. 4) 3. 5) –112. 6) 27 3 . 7) –4. 8) 16. 9) 729. 10) 1.

Минимальные системные требования определяются соответствующими требованиями программ Adobe Reader версии не ниже 11-й либо Adobe Digital Editions версии не ниже 4.5 для платформ Windows, Mac OS, Android и iOS; экран 10’’ Учебное электронное издание Сиротина Т. В. АЛГЕБРА 9 КЛАСС Базовый уровень Тетрадь-тренажёр Генеральный директор М. Б. Миндюк Редактор Д. П. Локтионов Художественный редактор Е. Ю. Воробьёва Компьютерная вёрстка и макет Е. В. Лупенко Корректор М. Н. Локтионова Подписано к использованию 27.12.24 Формат 19,0×28,0 см Гарнитура SchoolBook Издательство «Интеллект-Центр» 125445, Москва, ул. Смольная, 24А, этаж 7, пом. I, ком. 14 Тел.: (495) 660-34-53 Сайт: https://www.intellectcentre.ru/ Эл. почта: intellect@izentr.ru Электронное издание данной книги подготовлено Агентством электронных изданий «Интермедиатор» Сайт: http://www.intermediator.ru Телефон: (495) 587-74-81 Эл. почта: info@intermediator.ru