Espacios Producto Interno

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno Espacios con producto interno Normas, distancias, ortogonalidad, Gram–Schmidt, complementos ortogonales y proyecciones Álgebra Lineal Instructor: Carlos Aníbal Suárez Índice Distribución sugerida para 4 horas 3 1. Por qué son necesarios los productos internos 3 1.1. Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Productos internos 4 2.1. Producto interno estándar en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2. Productos internos ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3. Productos internos en espacios de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.4. Productos internos en espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.5. Productos internos en espacios de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. Normas y distancias 6 3.1. Desigualdad de Cauchy–Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2. Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3. Desigualdad triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4. Ortogonalidad 8 4.1. Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5. Proyección sobre una recta 9 6. Conjuntos ortogonales y ortonormales 11 6.1. Coordenadas en una base ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 7. Proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt 12 7.1. Intuición geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 7.2. Intuición de la factorización QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno 8. Complementos ortogonales 14 8.1. Relaciones fundamentales con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 9. Proyección sobre un subespacio 16 9.1. Fórmula matricial para la proyección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 10.Aplicaciones 17 10.1. Aplicación 1: ajuste de una recta por mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . 17 10.2. Aplicación 2: mejor aproximación constante de una función . . . . . . . . . . . . . . 18 10.3. Aplicación 3: proyección de una matriz sobre matrices simétricas . . . . . . . . . . . 18 11.Ejercicios guiados 19 12.Soluciones seleccionadas 20 Solución del ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Solución del ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Solución del ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Solución del ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Solución del ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Solución del ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Solución del ejercicio 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 13.Resumen 22 14.Preguntas de cierre 23 Nota de referencia 23 2

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno 1. Por qué son necesarios los productos internos Hasta ahora, un espacio vectorial ha sido un conjunto donde podemos sumar vectores y multi- plicarlos por escalares. Esa estructura es suficiente para estudiar subespacios, bases, dimensión, transformaciones lineales, núcleos e imágenes. Sin embargo, no es suficiente para hablar de longi- tud, distancia, ángulo, perpendicularidad o mejor aproximación. Por ejemplo, en R2 el vector v = (3, 4) tiene longitud 5. Esta longitud se obtiene usando el producto punto: ∥v∥ = √ 32 + 42 = 5. Además, dos vectores u y v son perpendiculares cuando uT v = 0. La finalidad de esta unidad es extender estas ideas geométricas familiares a espacios como: Rn con el producto punto usual; espacios de polinomios como P2(R); espacios de funciones como C[0, 1]; espacios de matrices como Mm×n(R). 1.1. Interpretación geométrica En R2, el producto punto mide cuánto apunta un vector en la dirección de otro. Si u y v forman un ángulo agudo, entonces uT v > 0. Si forman un ángulo obtuso, entonces uT v < 0. Si son perpendiculares, entonces uT v = 0. x y u v θ La fórmula ⟨u, v⟩ = ∥u∥ ∥v∥ cos θ conecta el álgebra con la geometría. En espacios abstractos usamos esta fórmula en sentido inverso: una vez que tenemos un producto interno, podemos definir ángulos mediante él. 2. Productos internos Definición 2.1 (Producto interno sobre R). Sea V un espacio vectorial real. Un producto interno en V es una función ⟨·, ·⟩ : V × V → R 3

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno que asigna un número real ⟨u, v⟩ a cada par de vectores u, v ∈ V , y satisface las siguientes propie- dades para todo u, v, w ∈ V y todo α ∈ R: (i) Simetría: ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩. (ii) Linealidad en el primer argumento: ⟨αu + v, w⟩ = α ⟨u, w⟩ + ⟨v, w⟩. (iii) Definida positiva: ⟨v, v⟩ ≥ 0, y ⟨v, v⟩ = 0 si y solo si v = 0. Observación 2.1. Para espacios vectoriales reales, la simetría junto con la linealidad en el primer argumento implica también linealidad en el segundo argumento. En espacios vectoriales complejos se utilizan conjugados, pero en este material trabajaremos principalmente con espacios reales. 2.1. Producto interno estándar en Rn Para u = (u1, . . . , un) y v = (v1, . . . , vn) en Rn, el producto interno estándar es ⟨u, v⟩ = uT v = u1v1 + · · · + unvn. Ejemplo 2.1 (Vectores). Sea u = (1, 2, −1), v = (3, 0, 4). Entonces ⟨u, v⟩ = 1(3) + 2(0) + (−1)(4) = 3 − 4 = −1. Como el producto interno es negativo, el ángulo entre u y v es obtuso. 2.2. Productos internos ponderados No todas las coordenadas deben tener la misma importancia. Dados pesos positivos w1, . . . , wn, definimos ⟨u, v⟩w = w1u1v1 + · · · + wnunvn. Si todos los pesos son positivos, esta función es un producto interno. Ejemplo 2.2 (Geometría ponderada). En R3, sea ⟨u, v⟩w = 2u1v1 + u2v2 + 5u3v3. Para u = (1, 1, 1), ∥u∥w = √ ⟨u, u⟩w = √2 + 1 + 5 = √8. La tercera coordenada tiene más peso que la segunda, porque su peso es 5 en lugar de 1. 2.3. Productos internos en espacios de polinomios Sea P2(R) el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que 2. Un producto interno común es ⟨p, q⟩ = ∫ 1 0 p(x)q(x) dx. 4

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno Ejemplo 2.3 (Polinomios). Sea p(x) = 1 + x, q(x) = x2. Entonces ⟨p, q⟩ = ∫ 1 0 (1 + x)x2 dx = ∫ 1 0 (x2 + x3) dx = 1 3 + 1 4 = 7 12 . 2.4. Productos internos en espacios de funciones En un espacio de funciones, un producto interno puede definirse mediante integración. Para fun- ciones continuas en [a, b], ⟨f, g⟩ = ∫ b a f (x)g(x) dx. Ejemplo 2.4 (Funciones ortogonales). En C[0, 2π], considere f (x) = sin x, g(x) = cos x. Entonces ⟨f, g⟩ = ∫ 2π 0 sin x cos x dx = 0. Por tanto, sin x y cos x son funciones ortogonales. Esta es una de las razones geométricas por las cuales las expansiones en senos y cosenos son tan útiles en el análisis de Fourier. 2.5. Productos internos en espacios de matrices El espacio Mm×n(R) de matrices reales de tamaño m × n es un espacio vectorial. Un producto interno estándar es el producto interno de Frobenius: ⟨A, B⟩ = tr(AT B) = m∑ i=1 n∑ j=1 aij bij . Ejemplo 2.5 (Matrices). Sea A = ( 1 2 0 −1 ) , B = ( 3 1 4 2 ) . Entonces ⟨A, B⟩ = 1(3) + 2(1) + 0(4) + (−1)(2) = 3 + 2 − 2 = 3. La norma inducida es ∥A∥F = √ 12 + 22 + 02 + (−1)2 = √6. 3. Normas y distancias Definición 3.1 (Norma inducida por un producto interno). Si V es un espacio con producto interno, la norma de v ∈ V es ∥v∥ = √ ⟨v, v⟩. 5

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno Definición 3.2 (Distancia). La distancia entre u y v es d(u, v) = ∥u − v∥ . Idea clave. La norma mide el tamaño de un objeto. La distancia mide qué tan lejos están dos objetos entre sí. En cualquier espacio con producto interno, la distancia se calcula como la norma de una diferencia. Ejemplo 3.1 (Distancia entre vectores). Sean u = (1, 2, 3) y v = (3, 1, 5). Entonces u − v = (−2, 1, −2), y por tanto d(u, v) = √ (−2)2 + 12 + (−2)2 = 3. Ejemplo 3.2 (Distancia entre polinomios). En P2(R) con ⟨p, q⟩ = ∫ 1 0 p(x)q(x) dx, sean p(x) = x2, q(x) = x. Entonces d(p, q) = ∥ ∥ ∥x2 − x ∥ ∥ ∥ = √∫ 1 0 (x2 − x)2 dx. Como (x2 − x)2 = x4 − 2x3 + x2, obtenemos d(p, q)2 = 1 5 − 2 4 + 1 3 = 1 5 − 1 2 + 1 3 = 1 30 . Así, d(p, q) = 1 √30 . Ejemplo 3.3 (Distancia entre matrices). Usando la norma de Frobenius, la distancia entre A = ( 1 2 3 4 ) , B = ( 0 2 5 1 ) es ∥A − B∥F = ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ( 1 0 −2 3 )∥ ∥ ∥ ∥ ∥F = √ 12 + 02 + (−2)2 + 32 = √14. 3.1. Desigualdad de Cauchy–Schwarz Teorema 3.1 (Cauchy–Schwarz). Para todo par de vectores u, v en un espacio con producto in- terno, | ⟨u, v⟩ | ≤ ∥u∥ ∥v∥ . La igualdad ocurre si y solo si u y v son linealmente dependientes. 6

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno Demostración. Si v = 0, el resultado es inmediato. Suponga ahora que v̸ = 0. Considere 0 ≤ ∥u − tv∥2 = ⟨u − tv, u − tv⟩ = ∥u∥2 − 2t ⟨u, v⟩ + t2 ∥v∥2 para todo t ∈ R. Esta expresión es un polinomio cuadrático en t que siempre es no negativo. Por tanto, su discriminante debe ser menor o igual que cero: (−2 ⟨u, v⟩)2 − 4 ∥v∥2 ∥u∥2 ≤ 0. Así, ⟨u, v⟩2 ≤ ∥u∥2 ∥v∥2 . Al tomar raíces cuadradas se obtiene | ⟨u, v⟩ | ≤ ∥u∥ ∥v∥ . 3.2. Ángulos Para vectores no nulos u y v, definimos cos θ = ⟨u, v⟩ ∥u∥ ∥v∥ . La desigualdad de Cauchy–Schwarz garantiza que este cociente está entre −1 y 1. Ejemplo 3.4 (Ángulo entre vectores). Sean u = (1, 1, 0) y v = (1, 0, 1). Entonces ⟨u, v⟩ = 1, ∥u∥ = √2, ∥v∥ = √2. Por tanto, cos θ = 1 2 , y entonces θ = 60◦. 3.3. Desigualdad triangular Teorema 3.2 (Desigualdad triangular). Para todo u, v en un espacio con producto interno, ∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥ . Demostración. Usando el producto interno y Cauchy–Schwarz, ∥u + v∥2 = ⟨u + v, u + v⟩ = ∥u∥2 + 2 ⟨u, v⟩ + ∥v∥2 ≤ ∥u∥2 + 2| ⟨u, v⟩ | + ∥v∥2 ≤ ∥u∥2 + 2 ∥u∥ ∥v∥ + ∥v∥2 = (∥u∥ + ∥v∥)2. Al tomar raíces cuadradas se obtiene el resultado. 7

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno 4. Ortogonalidad Definición 4.1 (Vectores ortogonales). Dos vectores u y v en un espacio con producto interno son ortogonales si ⟨u, v⟩ = 0. Escribimos u ⊥ v. Ejemplo 4.1 (Vectores). En R3, sean u = (1, 2, −1), v = (2, −1, 0). Entonces ⟨u, v⟩ = 1(2) + 2(−1) + (−1)(0) = 0. Por tanto, u ⊥ v. Ejemplo 4.2 (Polinomios). En P2(R) con ⟨p, q⟩ = ∫ 1 −1 p(x)q(x) dx, los polinomios p(x) = 1 y q(x) = x son ortogonales porque ⟨1, x⟩ = ∫ 1 −1 x dx = 0. Geométricamente, el producto tiene áreas positivas y negativas que se cancelan por simetría. Ejemplo 4.3 (Funciones). En C[0, 2π], con el producto interno usual por integración, ⟨sin x, cos x⟩ = 0. Por tanto, sin x y cos x son perpendiculares en el espacio de funciones. Ejemplo 4.4 (Matrices). Con el producto interno de Frobenius, las matrices A = ( 1 0 0 −1 ) , B = ( 0 2 3 0 ) son ortogonales porque ⟨A, B⟩ = 1(0) + 0(2) + 0(3) + (−1)(0) = 0. 4.1. Teorema de Pitágoras Teorema 4.1 (Teorema de Pitágoras). Si u ⊥ v, entonces ∥u + v∥2 = ∥u∥2 + ∥v∥2 . Demostración. Como u ⊥ v, se tiene ⟨u, v⟩ = 0. Por tanto, ∥u + v∥2 = ⟨u + v, u + v⟩ = ∥u∥2 + 2 ⟨u, v⟩ + ∥v∥2 = ∥u∥2 + ∥v∥2 . 8

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno 5. Proyección sobre una recta Suponga que u̸ = 0 y que queremos aproximar v mediante un vector en la recta span{u}. El vector más cercano sobre esa recta tiene la forma cu. Elegimos c de modo que el error e = v − cu sea perpendicular a u. Esto implica ⟨v − cu, u⟩ = 0. Por tanto, ⟨v, u⟩ − c ⟨u, u⟩ = 0, y entonces c = ⟨v, u⟩ ⟨u, u⟩ . Definición 5.1 (Proyección sobre una recta). La proyección de v sobre la recta generada por u̸ = 0 es proyu(v) = ⟨v, u⟩ ⟨u, u⟩ u. Idea clave. La proyección separa v en dos partes perpendiculares: una parte en la dirección de u y un error perpendicular a u. v = proyu(v) + (v − proyu(v)). span{u} u v proyu(v) v − proyu(v) Ejemplo 5.1 (Proyección en R2). Sean v = (3, 2), u = (1, 1). Entonces ⟨v, u⟩ = 5, ⟨u, u⟩ = 2. Así, proyu(v) = 5 2 (1, 1) = ( 5 2 , 5 2 ) . El error es v − proyu(v) = ( 1 2 , − 1 2 ) . 9

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno Verificamos la perpendicularidad: 〈( 1 2 , − 1 2 ) , (1, 1) 〉 = 0. Ejemplo 5.2 (Proyección de un polinomio). En P2(R) con ⟨p, q⟩ = ∫ 1 0 p(x)q(x) dx, queremos encontrar la mejor aproximación constante a p(x) = x2. El subespacio de constantes es W = span{1}. La proyección es proy1(x2) = 〈x2, 1〉 ⟨1, 1⟩ 1. Ahora, 〈 x2, 1 〉 = ∫ 1 0 x2 dx = 1 3 , ⟨1, 1⟩ = ∫ 1 0 1 dx = 1. Por tanto, proy1(x2) = 1 3 . La mejor aproximación constante a x2 en [0, 1], en el sentido de mínimos cuadrados, es 1/3. 6. Conjuntos ortogonales y ortonormales Definición 6.1 (Conjunto ortogonal). Un conjunto {v1, . . . , vk} es ortogonal si ⟨vi, vj ⟩ = 0 cuando i̸ = j. Es ortonormal si, además, ∥vi∥ = 1 para todo i. Teorema 6.1 (Vectores ortogonales no nulos son independientes). Si {v1, . . . , vk} es un conjunto ortogonal y ningún vi es el vector cero, entonces {v1, . . . , vk} es linealmente independiente. Demostración. Suponga que c1v1 + · · · + ckvk = 0. Tomamos producto interno con vj : ⟨c1v1 + · · · + ckvk, vj ⟩ = ⟨0, vj ⟩ = 0. Por linealidad, c1 ⟨v1, vj ⟩ + · · · + cj ⟨vj , vj ⟩ + · · · + ck ⟨vk, vj ⟩ = 0. Todos los términos se anulan excepto el término j, porque los vectores son ortogonales. Entonces cj ∥vj ∥2 = 0. Como vj̸ = 0, se tiene ∥vj ∥2 > 0, y por tanto cj = 0. Esto vale para todo j, así que todos los coeficientes son cero. 10

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno 6.1. Coordenadas en una base ortonormal Teorema 6.2 (Coordenadas en una base ortonormal). Sea {q1, . . . , qn} una base ortonormal de V . Entonces todo v ∈ V puede escribirse como v = ⟨v, q1⟩ q1 + · · · + ⟨v, qn⟩ qn. Por tanto, las coordenadas de v en esta base son [v]Q =    ⟨v, q1⟩ ... ⟨v, qn⟩    . Demostración. Como {q1, . . . , qn} es una base, escribimos v = c1q1 + · · · + cnqn. Tomamos producto interno con qj : ⟨v, qj ⟩ = c1 ⟨q1, qj ⟩ + · · · + cj ⟨qj , qj ⟩ + · · · + cn ⟨qn, qj ⟩ = cj . Por tanto, cj = ⟨v, qj ⟩. Ejemplo 6.1 (Base ortonormal en R2). Sea q1 = 1 √2 (1, 1), q2 = 1 √2 (1, −1). Entonces {q1, q2} es una base ortonormal de R2. Para v = (3, 1), ⟨v, q1⟩ = 4 √2 = 2√2, ⟨v, q2⟩ = 2 √2 = √2. Así, [v]Q = [ 2√2√2 ] . 7. Proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt El proceso de Gram–Schmidt convierte cualquier conjunto linealmente independiente en un conjunto ortogonal u ortonormal que genera el mismo subespacio. Procedimiento. Dados vectores linealmente independientes a1, . . . , ak, definimos u1 = a1, u2 = a2 − proyu1 (a2), u3 = a3 − proyu1 (a3) − proyu2 (a3), y, en general, uj = aj − j−1∑ i=1 ⟨aj , ui⟩ ⟨ui, ui⟩ ui. Entonces u1, . . . , uk son ortogonales. Para obtener un conjunto ortonormal, normalizamos mediante qi = ui/ ∥ui∥. 11

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno 7.1. Intuición geométrica En cada paso eliminamos del nuevo vector todas las componentes que apuntan en las direcciones anteriores. Lo que queda es la parte realmente nueva del vector, perpendicular a todas las direcciones previas. u1 u1 a2 proyu1 (a2) u2 Ejemplo 7.1 (Gram–Schmidt en R3). Aplique Gram–Schmidt a a1 = (1, 1, 0), a2 = (1, 0, 1), a3 = (0, 1, 1). Primero, u1 = a1 = (1, 1, 0). Segundo, ⟨a2, u1⟩ = 1, ⟨u1, u1⟩ = 2. Entonces u2 = a2 − 1 2 u1 = (1, 0, 1) − 1 2 (1, 1, 0) = ( 1 2 , − 1 2 , 1 ) . Para evitar fracciones, podemos usar u′ 2 = (1, −1, 2). Este vector genera la misma recta que u2 y sigue siendo ortogonal a u1. Tercero, use u1 = (1, 1, 0) y u2 = (1, −1, 2). Calculamos ⟨a3, u1⟩ = 1, ⟨u1, u1⟩ = 2, ⟨a3, u2⟩ = 1, ⟨u2, u2⟩ = 6. Así, u3 = a3 − 1 2 u1 − 1 6 u2. Por tanto, u3 = (0, 1, 1) − ( 1 2 , 1 2 , 0 ) − ( 1 6 , − 1 6 , 1 3 ) = ( − 2 3 , 2 3 , 2 3 ) . Multiplicando por 3/2, usamos u′ 3 = (−1, 1, 1). Entonces una base ortogonal para span{a1, a2, a3} = R3 es {(1, 1, 0), (1, −1, 2), (−1, 1, 1)}. La base ortonormal correspondiente es q1 = 1 √2 (1, 1, 0), q2 = 1 √6 (1, −1, 2), q3 = 1 √3 (−1, 1, 1). 12

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno Ejemplo 7.2 (Gram–Schmidt con polinomios). Use el producto interno ⟨p, q⟩ = ∫ 1 −1 p(x)q(x) dx en P2(R). Aplique Gram–Schmidt a 1, x, x2. Primero, u1 = 1. Segundo, ⟨x, 1⟩ = ∫ 1 −1 x dx = 0. Así, u2 = x. Tercero, u3 = x2 − 〈x2, 1〉 ⟨1, 1⟩ 1 − 〈x2, x〉 ⟨x, x⟩ x. Ahora, 〈 x2, 1 〉 = ∫ 1 −1 x2 dx = 2 3 , ⟨1, 1⟩ = 2, por lo que el primer coeficiente es 1/3. Además, 〈 x2, x 〉 = ∫ 1 −1 x3 dx = 0. Entonces u3 = x2 − 1 3 . Así, una base ortogonal para P2(R) es { 1, x, x2 − 1 3 } . Estos son los primeros polinomios tipo Legendre, salvo factores de escala. 7.2. Intuición de la factorización QR Si las columnas de una matriz A son linealmente independientes, Gram–Schmidt produce columnas ortonormales q1, . . . , qn. Al colocarlas en una matriz obtenemos Q. Las columnas originales de A se reconstruyen a partir de los qi usando una matriz triangular superior R: A = QR. Esto es computacionalmente importante porque QT Q = I. Por tanto, las columnas ortonormales simplifican proyecciones y problemas de mínimos cuadrados. 13

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno 8. Complementos ortogonales Definición 8.1 (Complemento ortogonal). Sea W un subespacio de un espacio con producto interno V . El complemento ortogonal de W es W ⊥ = {v ∈ V : ⟨v, w⟩ = 0 para todo w ∈ W }. Teorema 8.1. Si W es un subespacio de V , entonces W ⊥ también es un subespacio de V . Demostración. Primero, 0 ∈ W ⊥ porque ⟨0, w⟩ = 0 para todo w ∈ W . Ahora suponga que u, v ∈ W ⊥ y que α, β ∈ R. Para todo w ∈ W , ⟨αu + βv, w⟩ = α ⟨u, w⟩ + β ⟨v, w⟩ = 0. Por tanto, αu + βv ∈ W ⊥. Así, W ⊥ es subespacio. Ejemplo 8.1 (Complemento ortogonal en R3). Sea W = span{(1, 1, 0), (0, 1, 1)}. Encuentre W ⊥. Sea v = (x, y, z) ∈ W ⊥. Entonces v debe ser ortogonal a ambos generadores: ⟨(x, y, z), (1, 1, 0)⟩ = x + y = 0, ⟨(x, y, z), (0, 1, 1)⟩ = y + z = 0. De x + y = 0, tenemos x = −y. De y + z = 0, tenemos z = −y. Sea y = t. Entonces (x, y, z) = (−t, t, −t) = t(−1, 1, −1). Por tanto, W ⊥ = span{(−1, 1, −1)}. 8.1. Relaciones fundamentales con matrices Para una matriz A, el espacio de filas y el espacio nulo son complementos ortogonales: Fila(A)⊥ = Null(A). Además, Col(A)⊥ = Null(AT ). Idea clave. Resolver Ax = 0 significa encontrar vectores perpendiculares a todas las filas de A. Por tanto, el espacio nulo es el complemento ortogonal del espacio de filas. 14

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno Ejemplo 8.2 (Filas y espacio nulo). Sea A = ( 1 1 0 0 1 1 ) . Entonces Ax = 0 da x1 + x2 = 0, x2 + x3 = 0. Por tanto, Null(A) = span{(−1, 1, −1)}. Este es exactamente el complemento ortogonal del espacio de filas Fila(A) = span{(1, 1, 0), (0, 1, 1)}. 9. Proyección sobre un subespacio Sea W un subespacio con una base ortonormal {q1, . . . , qk}. La proyección de v sobre W es proyW (v) = ⟨v, q1⟩ q1 + · · · + ⟨v, qk⟩ qk. El error e = v − proyW (v) es perpendicular a todo vector de W . Teorema 9.1 (Teorema de la mejor aproximación). Sea W un subespacio de dimensión finita de un espacio con producto interno V . Para cada v ∈ V , la proyección p = proyW (v) es el único vector de W más cercano a v. Es decir, ∥v − p∥ ≤ ∥v − w∥ para todo w ∈ W. Demostración. Sea p = proyW (v). Entonces v − p ⊥ W . Para cualquier w ∈ W , v − w = (v − p) + (p − w). Como p − w ∈ W y v − p ⊥ W , se tiene ⟨v − p, p − w⟩ = 0. Por el teorema de Pitágoras, ∥v − w∥2 = ∥v − p∥2 + ∥p − w∥2 ≥ ∥v − p∥2 . Por tanto, p es el vector de W más cercano a v. Ejemplo 9.1 (Proyección sobre un plano en R3). Sea W = span{q1, q2}, q1 = 1 √2 (1, 1, 0), q2 = 1 √6 (1, −1, 2). Estos vectores son ortonormales. Proyecte v = (3, 1, 2) sobre W . 15

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno Calculamos ⟨v, q1⟩ = 4 √2 = 2√2, ⟨v, q2⟩ = 3 − 1 + 4 √6 = 6 √6 = √6. Entonces proyW (v) = 2√2q1 + √6q2. Sustituyendo, proyW (v) = 2(1, 1, 0) + (1, −1, 2) = (3, 1, 2). Por tanto, v ∈ W . 9.1. Fórmula matricial para la proyección Si Q tiene columnas ortonormales que forman una base de W , entonces proyW (v) = QQT v. La matriz P = QQT se llama matriz de proyección ortogonal sobre W . Si A tiene columnas independientes que forman una base de W , pero no necesariamente ortonormal, entonces proyW (v) = A(AT A)−1AT v. Esta es una de las fórmulas más importantes en mínimos cuadrados. Ejemplo 9.2 (Matriz de proyección). Sea q = 1 √5 [ 1 2 ] . La matriz de proyección sobre span{q} = span{(1, 2)} es P = qqT = 1 5 [ 1 2 ] [ 1 2 ] = 1 5 [ 1 2 2 4 ] . Para v = (4, 1), P v = 1 5 [ 1 2 2 4 ] [ 4 1 ] = 1 5 [ 6 12 ] = ( 6 5 , 12 5 ) . 10. Aplicaciones 10.1. Aplicación 1: ajuste de una recta por mínimos cuadrados Suponga que tenemos los puntos (0, 1), (1, 2), (2, 2). 16

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno Queremos encontrar la mejor recta y = a + bt en el sentido de mínimos cuadrados. Esto produce el sistema aproximado    1 0 1 1 1 2    [ a b ] ≈    1 2 2    . Sea A =    1 0 1 1 1 2    , b =    1 2 2    . Las ecuaciones normales son AT Aˆx = AT b. Calculamos AT A = [ 3 3 3 5 ] , AT b = [ 5 6 ] . Así, [ 3 3 3 5 ] [ a b ] = [ 5 6 ] . El sistema es 3a + 3b = 5, 3a + 5b = 6. Al restar, obtenemos 2b = 1 ⇒ b = 1 2 . Luego, 3a + 3 2 = 5 ⇒ 3a = 7 2 ⇒ a = 7 6 . Por tanto, la recta de mejor ajuste es y = 7 6 + 1 2 t. Geométricamente, Aˆx es la proyección del vector de datos b sobre el espacio columna de A. 10.2. Aplicación 2: mejor aproximación constante de una función Sea f (x) = ex en [0, 1]. La mejor aproximación constante c minimiza ∫ 1 0 (ex − c)2 dx. Esto es la proyección de ex sobre span{1}: c = ⟨ex, 1⟩ ⟨1, 1⟩ = ∫ 1 0 ex dx = e − 1. Por tanto, la mejor aproximación constante en el sentido de mínimos cuadrados es e − 1. 17

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno 10.3. Aplicación 3: proyección de una matriz sobre matrices simétricas Sea M2×2(R) con el producto interno de Frobenius. El subespacio de matrices simétricas es S = {A : AT = A}. Para cualquier matriz M , su proyección ortogonal sobre S es proyS (M ) = M + M T 2 . Por ejemplo, si M = ( 1 4 2 3 ) , entonces proyS (M ) = 1 2 (( 1 4 2 3 ) + ( 1 2 4 3 )) = ( 1 3 3 3 ) . El error es M − proyS (M ) = ( 0 1 −1 0 ) , que es antisimétrico y ortogonal a toda matriz simétrica. 11. Ejercicios guiados Ejercicio 11.1 (Verificación de producto interno). En R2, defina ⟨u, v⟩A = uT Av, A = ( 2 1 1 2 ) . Demuestre que esto define un producto interno. Luego calcule la norma de u = (1, −1). Ejercicio 11.2 (Ortogonalidad de polinomios). En P2(R) con ⟨p, q⟩ = ∫ 1 −1 p(x)q(x) dx, determine si los polinomios p(x) = x, q(x) = x2 − 1 3 son ortogonales. Ejercicio 11.3 (Proyección de funciones). En C[0, π] con ⟨f, g⟩ = ∫ π 0 f (x)g(x) dx, encuentre la proyección de f (x) = x sobre span{sin x}. 18

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno Ejercicio 11.4 (Producto interno de matrices). Sean A = ( 1 0 2 −1 ) , B = ( 0 3 1 2 ) . Calcule ⟨A, B⟩ usando el producto interno de Frobenius. ¿Son A y B ortogonales? Ejercicio 11.5 (Gram–Schmidt). Aplique Gram–Schmidt a a1 = (1, 0, 1), a2 = (1, 1, 0) en R3. Ejercicio 11.6 (Complemento ortogonal). Sea W = span{(1, 2, 1), (0, 1, 1)} ⊆ R3. Encuentre una base para W ⊥. Ejercicio 11.7 (Proyección sobre un subespacio). Sea W = span{(1, 0, 1), (0, 1, 1)} ⊆ R3. Use la fórmula proyW (b) = A(AT A)−1AT b para proyectar b = (1, 2, 3) sobre W , donde las columnas de A son los vectores generadores de W . 12. Soluciones seleccionadas Solución del ejercicio 1 La matriz A es simétrica. Además, uT Au = 2u2 1 + 2u1u2 + 2u2 2. Completamos cuadrados: 2u2 1 + 2u1u2 + 2u2 2 = (u1 + u2)2 + u2 1 + u2 2. Esta expresión es positiva para todo u̸ = 0, por lo que la forma es definida positiva. Entonces define un producto interno. Para u = (1, −1), Au = ( 2 1 1 2 ) ( 1 −1 ) = ( 1 −1 ) . Por tanto, ∥u∥2 A = uT Au = (1, −1) ( 1 −1 ) = 2. Así, ∥u∥A = √2. 19

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno Solución del ejercicio 2 Calculamos 〈 x, x2 − 1/3 〉 = ∫ 1 −1 x ( x2 − 1 3 ) dx = ∫ 1 −1 ( x3 − x 3 ) dx. El integrando es una función impar, por lo que su integral en [−1, 1] es cero. Por tanto, los polinomios son ortogonales. Solución del ejercicio 3 Necesitamos proysin x(x) = ⟨x, sin x⟩ ⟨sin x, sin x⟩ sin x. Primero, ⟨x, sin x⟩ = ∫ π 0 x sin x dx. Por integración por partes, con u = x y dv = sin x dx, se obtiene ∫ π 0 x sin x dx = [−x cos x]π 0 + ∫ π 0 cos x dx = π. Además, ⟨sin x, sin x⟩ = ∫ π 0 sin2 x dx = π 2 . Entonces proysin x(x) = π π/2 sin x = 2 sin x. Solución del ejercicio 4 Usando el producto interno de Frobenius, ⟨A, B⟩ = 1(0) + 0(3) + 2(1) + (−1)(2) = 0. Por tanto, A y B son ortogonales. Solución del ejercicio 5 Sea u1 = a1 = (1, 0, 1). Entonces ⟨a2, u1⟩ = 1, ⟨u1, u1⟩ = 2. Así, u2 = a2 − 1 2 u1 = (1, 1, 0) − 1 2 (1, 0, 1) = ( 1 2 , 1, − 1 2 ) . Multiplicando por 2, podemos usar u′ 2 = (1, 2, −1). Entonces una base ortogonal para el subespacio generado es {(1, 0, 1), (1, 2, −1)}. 20

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno Solución del ejercicio 6 Sea v = (x, y, z) ∈ W ⊥. Entonces ⟨v, (1, 2, 1)⟩ = x + 2y + z = 0, ⟨v, (0, 1, 1)⟩ = y + z = 0. De y + z = 0, se tiene z = −y. Sustituyendo en la primera ecuación: x + 2y − y = 0 ⇒ x = −y. Sea y = t. Entonces (x, y, z) = (−t, t, −t) = t(−1, 1, −1). Por tanto, W ⊥ = span{(−1, 1, −1)}. Solución del ejercicio 7 Sea A =    1 0 0 1 1 1    , b =    1 2 3    . Entonces AT A = [ 2 1 1 2 ] , AT b = [ 4 5 ] . Resolvemos [ 2 1 1 2 ] [ c1 c2 ] = [ 4 5 ] . El sistema es 2c1 + c2 = 4, c1 + 2c2 = 5. Su solución es c1 = 1, c2 = 2. Por tanto, proyW (b) = A [ 1 2 ] = 1(1, 0, 1) + 2(0, 1, 1) = (1, 2, 3). Así, b ∈ W y su proyección sobre W es él mismo. 21

Álgebra Lineal Semana 11: Espacios con producto interno 13. Resumen Concepto Qué se debe recordar Producto interno Generaliza el producto punto e introduce geometría. Norma ∥v∥ = √⟨v, v⟩. Distancia d(u, v) = ∥u − v∥. Ortogonalidad u ⊥ v significa ⟨u, v⟩ = 0. Proyección sobre una recta proyu(v) = ⟨v, u⟩ ⟨u, u⟩ u. Conjunto ortogonal Los vectores ortogonales no nulos son automáticamente in- dependientes. Base ortonormal Las coordenadas son productos internos: ci = ⟨v, qi⟩. Gram–Schmidt Convierte vectores independientes en una base ortogonal u ortonormal. Complemento ortogonal W ⊥ contiene todos los vectores perpendiculares a W . Proyección sobre un subespacio El vector más cercano de W a v es proyW (v). Mínimos cuadrados Es la proyección de b sobre Col(A); ecuaciones normales AT Aˆx = AT b. 14. Preguntas de cierre 1. ¿Qué información agrega un producto interno a un espacio vectorial? 2. ¿Por qué ⟨u, v⟩ = 0 representa perpendicularidad? 3. ¿Por qué los vectores ortogonales no nulos son linealmente independientes? 4. ¿Cuál es la diferencia entre un conjunto ortogonal y un conjunto ortonormal? 5. En Gram–Schmidt, ¿por qué restamos proyecciones? 6. ¿Cuál es el significado geométrico de W ⊥? 7. ¿Por qué la proyección proyW (v) es la mejor aproximación a v dentro de W ? 8. En mínimos cuadrados, ¿por qué Aˆx es una proyección? Nota de referencia Estas notas están alineadas con la Unidad 4 del curso, sobre espacios con producto interno, y siguen un enfoque geométrico-computacional para ortogonalidad, proyecciones, Gram–Schmidt y factorizaciones matriciales. 22