ОГЭМатематика Базовый Минимум
Блок 1 №1-5 Блок 2 Блок 3 СОДЕРЖАНИЕ Типы заданий Формулы Задачи № 6-14 Алгебра № 15-19 Геометрия
Блок 1. Задания 1-5 Площадь прямоугольника Проценты Теорема Пифагора Пропорции S = a ∙ b ∙ l2 a − длина b − ширина l − длина 1 клетки ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ 𝑆1 𝑆2 ∙ 100% 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 → 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐
𝑙 − длина 1 клетки площадка дорожки 1Дачный участок
НАЙТИ РАССТОЯНИЕ ОТ ОДНОГО ОБЪЕКТА ДО ДРУГОГО (В МЕТРАХ) Если объекты расположены на одной линии, то считаем кол-во клеток между ними и умножаем на длину 1 клетки (l). Расстояние между двумя точками (гипотенуза) находим по теореме Пифагора, и результат умножаем на l. 1. Начертить на схеме расстояние между объектами. 2. Достроить до прямоугольного треугольника. 3. Катеты посчитать по клеточкам 4. Подставить полученные числа в формулу 𝒄 = 𝒍 ∙ √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 5. Результат записать в ответ НАЙТИ ПЕРИМЕТР ФУНДАМЕНТА ЖИЛОГО ДОМА 1. Посчитать сумму всех сторон фигуры 2. Умножить ее на l 3. Результат записать в ответ НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ОТКРЫТОГО ГРУНТА ОГОРОДА 1. Найти площадь теплицы и площадь огорода по клеточкам 2. Полученные числа подставить в формулу 𝑺грунта = (𝑺огорода − 𝑺теплицы) ∙ 𝒍𝟐 3. Результат записать в ответ НАЙТИ КОЛИЧЕСТВО УПАКОВОК ПЛИТОК ⎯ Если известно число плит в упаковке (n) 1. Посчитать количество необходимых плиток 2. Подставить числа в формулу Кол − во плиток 𝒏 ⎯ Если известно, на какую площадь рассчитана упаковка (S) 1. Посчитать площадь, занятую плитками по клеточкам и умножить на l2 2. Подставить числа в формулу 𝑺 занятая плитками 𝑺 1 2 3 4
ПРОЦЕНТЫ ⎯ Найти какой процент площади всего участка занимает объект /объекты 1. Посчитать площадь участка и площадь объекта (объектов) по клеточкам 2. Подставить полученные числа в формулу 𝑺 объекта 𝑺 участка ∙ 𝟏𝟎𝟎% ∑ площадей объектов 𝑺 участка ∙ 𝟏𝟎𝟎% ⎯ Найти на сколько процентов площадь одного объекта (S1) больше площади другого объекта (S2) 1. Найти площади объектов по клеточкам 2. Подставить значения в формулу 𝑺 𝟏 𝑺 𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟎% − 𝟏𝟎𝟎% ⎯ Найти на сколько процентов площадь одного объекта (S2) меньше площади другого объекта (S1) 1. Найти площади объектов по клеточкам 2. Подставить значения в формулу 𝟏𝟎𝟎% − 𝑺 𝟐 𝑺 𝟏 ∙ 𝟏𝟎𝟎% (𝟏+𝟑)−(𝟐+𝟒) 𝟔∙𝟖−𝟓∙𝟕 S – площадь забора, берем из условия Расход краски ∙ 𝑺 забора Масса краски в одной банке ∙ Стоимость 𝟏 банки краски + Стоимость доставки 1. Повторяем то же самое еще раз, но со второй строчкой 2. Выбираем наиболее дешевый вариант 5 7 6 1 1 2 3 4 5 6 7 8
Известно расстояние между некоторыми населенными пунктами (СХЕМА 1) Теорема Пифагора Расстояние между населенными пунктами считается по клеточкам с учетом длины 1 клетки (СХЕМА 2) 2План местности 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
НАЙТИ РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ НАСЕЛЕННЫМИ ПУНКТАМИ ⎯ По шоссе (толстые прямые линии) Если в задании СХЕМА 1, то нужно найти по правилу отрезков недостающие расстояния между населенными пунктами, а затем сложить полученные расстояния, двигаясь по прямым толстым линиям от одного пункта к другому. Если в задании СХЕМА 2, то считаем клеточки между нужными населенными пунктами и умножаем полученное число на размер одной клетки. ⎯ По дорогам/по прямой (тонкие пунктирные линии) Чтобы найти расстояние по прямой (гипотенузу), нужно использовать теорему Пифагора. Катеты выступают как расстояния между пунктами по шоссе. НАЙТИ СКОЛЬКО МИНУТ БУДЕТ ЗАТРАЧЕНО НА ДОРОГУ 1. Для решения задачи используем формулу t = S V ∙ 60 , где S – пройденное расстояние (как его найти рассмотрели в предыдущих примерах), V – это скорость. Значение скорости берем из описания задания, нам даны 2 скорости, т.к. с одной скоростью едут по шоссе, а с другой по дорогам . В зависимости от вопроса задачи, вносим в формулу соответствующие значения. Если путь был сначала на одном виде дороге, а потом на другом, время находим 2 раза, а потом его складываем. 2. Определить наименьшее количество затраченных минут на путь. Решается также как и предыдущая. Отличие в том, что мы рассматриваем несколько вариантов, как можно добраться из одного пункта в другой. Рассмотрев все варианты, выбираем с наименьшим значением. 1 2
ВЫГОДНАЯ ПОКУПКА Выбор наиболее выгодной покупки, в задачи дана таблица с ценами и список продуктов с указанием их количества. Чтобы посчитать стоимость покупки нужно найти сумму стоимостей товаров. Стоимость находим умножением количества товара на цену. РАСХОД БЕНЗИНА ⎯ Найти расход бензина по дорогам, если известен расход бензина на шоссе. 1. Посчитать кол-во бензина на 1 км рассход бензина (из условия) 100 км 2. Найти расстояние, пройденное по шоссе (S1) и расстояние, пройденное по дорогам (S2) Задача решается через уравнение, где за x обозначается расход бензина по дорогам. рассход бензина (из условия) 100 км ∙ S1 = x 100 ∙ S2 ⎯ Аналогично решается задача, когда нужно найти расход бензина по шоссе. ⎯ Если приравниваем к расстоянию, пройденному по шоссе и дорогам (S – сумма расстояний по шоссе у второго пути). рассход бензина (из условия) 𝟏𝟎𝟎 км ∙ 𝑺𝟏 = 𝒙 𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝑺𝟐 + расход бензина (из условия) 𝟏𝟎𝟎 км ∙ 𝐒 3 4
3Квартира
НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ КОМНАТ. ШИРИНА ОКНА Найти площадь комнаты. Используем формулу площади прямоугольника, длину и ширину считаем по клеточкам. Чтобы ответ выразить в квадратных метрах, нужно либо полученную площадь умножить на площадь одной клетки (𝑎2), либо при нахождении площади длину и ширину по клеточкам умножить на длину одной клетки. 1) 𝑺 ∙ длина 𝟏 клетки𝟐 2) 𝑺 = 𝒂 ∙ длина 𝟏 клетки ∙ 𝒃 ∙ длина 𝟏 клетки Ширина окна находится аналогично длине и ширине комнаты ПАРКЕТНАЯ ДОСКА/ПЛИТКА Найти кол-во упаковок паркетной доски (плитки), которая понадобится, чтобы выложить пол, если известны ее размеры (a1, b1) и число штук в одной упаковке (n). Посчитать длину (а) и ширину (b) комнаты, в которой нужно выложить пол плиткой. Числа в формуле должны быть в одной единице измерения или м, или см. a ∙ b ∙ размер 1 клетки2 a1 ∙ b1 ∙ n Сокращаем дробь, округляем с избытком РАЗНИЦА В ПЛОЩАДИ КОМНАТ В ПРОЦЕНТАХ Решение аналогично СМ пункт 5 Дачный участок 1 2 3
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПЛИТА В задаче нужно выбрать наиболее дешевый вариант Для начала из таблицы нужно выбрать все варианты, подходящие по условиям 1. Глубина 2. Объем духовки Затем считаем итоговую стоимость. Данные берем из таблицы, в формуле приведены названия столбцов Стоимость плиты (руб. ) + Стоимость подключения (руб. ) + Стоимость доставки∗ СТИРАЛЬНАЯ МАШИНА В задаче нужно выбрать наиболее дешевый вариант Для начала из таблицы нужно выбрать все варианты, подходящие по условиям 1. Тип загрузки 2. Высота Затем считаем итоговую стоимость. Данные берем из таблицы, в формуле приведены названия столбцов Стоимость (руб. ) + Стоимость подключения (руб. ) + Стоимость доставки∗ * число из 6 столбика∙Стоимость (4 столбик) 100 Если доставка бесплатная, то ничего не нужно прибавлять ИНТЕРНЕТ Чтобы посчитать стоимость интернета, нужно воспользоваться данными таблицы. Нам предлагаются 3 варианта. Посчитать нужно только 2, т.к. у безлимитного цена фиксированная. Используем формулу: Абоненская плата + (предполагаемый трафик − трафик в месяц) ∙ цена 1 МбБ 4 5 6
4Листы бумаги
РАЗРЕЗАНИЕ ЛИСТА Лист формата АХ разрезали на n листов формата АУ. n = 2y−x НАЙТИ ШИРИНУ ЛИСТА. НАЙТИ ДЛИНУ ЛИСТА Для решения задачи используем закономерность: ⎯ У нечетных форматов, при увеличении цифры возле буквы А, длина и ширина уменьшается в 2 раза ⎯ У четных форматов при увеличении цифры возле буквы А, длина и ширина уменьшается в 2 раза ⎯ У форматов стоящих рядом, длина меньшего формата равна ширине большего, а ширина равна половине длины. Зная размеры ближайшего формата, можно вычислить и длину, и ширину нужного формата. В ответе записываем число, кратное 10, т.е. увеличиваем ответ до тех пор, пока на конце числа не будет 0. НАЙТИ ОТНОШЕНИЕ СТОРОН Для всех форматов ⎯ отношение большей стороны к меньшей √2: 1 ≈ 1,4 ⎯ отношение меньшей стороны к большей 1: √2 ≈ 0,7 ⎯ отношение диагонали к меньшей стороне √3: 1 ≈ 1,7 ⎯ отношение диагонали к большей стороне √3: √2 ≈ 1,2 ⎯ отношение большей стороны к диагонали √2: √3 ≈ 0,8 ⎯ отношение меньшей стороны к диагонали 1: √3 ≈ 0,6 0,6 М:Д 1,2 Д:Б 0,7 М:Б 1,4 Б:М 0,8 Б:Д 1,7 Д:М 1 2 3
НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ЛИСТА По условию задачи площадь листа А0=1 м2 = 10000 см2, тогда SAX = 10000 2x , где х – это номер формата. Зная длину и ширину листа нужного формата, можно найти площадь, а потом перевести результат в сантиметры. ОПРЕДЕЛИТЬ РАЗМЕР ШРИФТА, ЧТОБЫ ТЕКСТ БЫЛ РАСПОЛОЖЕН НА ЛИСТАХ РАЗНОГО ФОРМАТА ОДИНАКОВО. Из условия задачи нам нужны длины листов двух форматов и размер шрифта в пунктах. Пусть х – размер шрифта в пунктах. Длина листа формата из вопроса Длина листа известного формата = х размер шрифта Результат округляем до целого по правилам округления. НАЙТИ МАССУ ПАЧКИ БУМАГИ ФОРМАТА АХ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНО КОЛ- ВО ЛИСТОВ В ПАЧКЕ (n) И МАССА БУМАГИ 1 м2 = m 1 м2 – это площадь листа формата А0, значит масса одного листа формата А0 = m. Из одного листа формата А0 получается 2х листов формата АХ. Чтобы найти массу пачки, нужно m 2x ∙ n 4 5 6
5Печь для бани
ЗАДАЧИ С НАХОЖДЕНИЕМ ОБЪЕМА И ПЛОЩАДИ 𝑉 парного отделения = 𝑎𝑏𝑐 𝑆 пола = 𝑎𝑏 Суммарная площадь стен без площади двери 𝑆 стен − 𝑆 двери S стен = P основания ∙ h = 2 (a + b) ∙ h 𝑆 = 𝑎𝑏, где 𝑎 и 𝑏 − длина и ширина двери НА СКОЛЬКО РУБЛЕЙ ДРОВЯНАЯ ПЕЧЬ ДЕШЕВЛЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ С УЧЕТОМ УСТАНОВКИ 1. Найти объем парного отделения 2. Из таблицы выбираем электрическую и дровяную печь. Обращаем внимание на столбик «ОБЪЕМ ПОМЕЩЕНИЯ», число из 1 пункта должно входить в промежуток 3. Подставляем значения (стоимости печи) из таблицы в формулу. Стоимость установки электрической печи смотрим перед первым заданием. Стоимость эл. печи + Установка − Стоимость дровянной печи ОПРЕДЕЛИТЬ СТОИМОСТЬ ДРОВЯНОЙ ПЕЧИ ПОДХОДЯЩЕГО ОБЪЕМА С ДОСТАВКОЙ 1. Учитывая объем парного отделения, выбираем подходящую дровяную печь. 2. Подставляем числа в формулу (стоимость из таблицы, доставка из условия) Стоимость + Доставка ОПРЕДЕЛИТЬ СТОИМОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПЕЧИ С УСТАНОВКОЙ И ДОСТАВКОЙ Стоимость + Доставка + Установка Стоимость печи берем из таблицы, доставку из условия задачи, установку перед первым заданием. ОПРЕДЕЛИТЬ НОВУЮ СТОИМОСТЬ ДРОВЯНОЙ ПЕЧИ, ЕСЛИ НА НЕЕ СДЕЛАЛИ СКИДКУ 1. В условии задачи нам даны масса печи (m) и скидка (%). 2. В таблице находим печь нужной массы и смотрим ее стоимость. 3. Подставляем числа в формулу 1 2 3 4 5
Стоимость − Стоимость ∙ % 100 ОПРЕДЕЛИТЬ СТОИМОСТЬ ПЕЧИ В ПРОШЛОМ ГОДУ Из таблицы берем цену на нужную нам печь (С), из условия задачи скидку (%). Подставляем числа в формулу Стоимость печи = С ∙ 100 100 − % ОПРЕДЕЛИТЬ СТОИМОСТЬ ПОКУПКИ ПЕЧИ ПО УСЛОВИЯМ Доставка любой печи из магазина до участка стоит А рублей. При покупке печи стоимостью больше Б рублей магазин делает скидку В% на товар и Г% на доставку. Сколько рублей будет стоить покупка печи номер № с доставкой на этих условиях? Из таблицы выбираем печь под номером №, если ее стоимость > Б, то покупка печи составит Стоимость − В ∙ Стоимость 100 + Г ∙ А 100 НАЙТИ РАДИУС ЗАКРУГЛЕНИЯ АРКИ R = √BD 2 2 + AB2 7 6 8
6Тарифы
РАБОТА С ГРАФИКОМ Гигабайты на графике представлены пунктирной линией, значения справа 1. Минуты на графике представлены прямой линией, значения слева 2. Снизу, на горизонтальной оси обозначены месяцы Как сопоставить месяц и гигабайты? Справа находим нужное число гигабайтов и ведем пальцем по линии влево, пока не увидим точку пересечения вертикальных и горизонтальных линий пунктирным графиком. Теперь от этой точки ведем вниз к цифрам, обозначающим номер месяца. Как сопоставить месяцы и количество исходящих вызовов? Слева находим нужное кол-во потраченных минут и ведем пальцем вправо , пока не увидим точку пересечения вертикальных и горизонтальных линий графиком (прямая линия). Теперь от этой точки ведем вниз к цифрам, обозначающим номер месяца. Как сопоставить период (месяц) и характеристики (изменение Гб и минут)? Период представлен двумя ближайшими месяцами (на графике обозначен символом ↔). По диагонали представлены кусочки двух графиков: 1. Если пунктирная линия направлена вниз (слева на право), расход гигабайтов уменьшился, если вверх, то увеличился. 2. Прямая линия направлена вниз, расход минут уменьшился, если вверх, то увеличился. Как по графику определить наибольшее и наименьшее значение минут/гигабайт? Самая верхняя точка графика – наибольшее значение. Самая нижняя - наименьшее
ОПРЕДЕЛИТЬ СТОИМОСТЬ УСЛУГИ В КАКОМ-НИБУДЬ МЕСЯЦЕ Под графиком перед первым номером представлено описание тарифа и таблица со стоимостью услуг сверх пакета Абонентская плата по тарифу А рублей, в него входит Б минут, В Гб Абонент не расходует СМС сверх пакета! Услуги сверх пакета 1. По графику находим нужный месяц и записываем расход минут (МИН) и гигабайтов (ГБ). 2. Подставляем получившиеся числа в формулу А + (МИН − Б) ∙ х + у ∙ ГБ − В z ГБ−В 𝑧 − должно быть целое , если получается дробь, округляем с избытком ОПРЕДЕЛИТЬ КОЛИЧЕСТВО МЕСЯЦЕВ, В КОТОРЫЕ АБОНЕНТ НЕ ПРЕВЫШАЛ ЛИМИТ ПО ПАКЕТУ ИСХОДЯЩИХ МИНУТ 1. В условия смотрим, сколько минут входит в пакет. 2. Находим на графике это число минут и проводим прямую линию вправо параллельно нижней горизонтальной оси с месяцами. 3. Смотрим на график под этой линией. Сопоставляем месяцы и минуты (СМ вопрос 2) 4. Считаем количество ОПРЕДЕЛИТЬ КОЛИЧЕСТВО МЕСЯЦЕВ, В КОТОРЫЕ АБОНЕНТ ПРЕВЫСИЛ ЛИМИТ ПО ПАКЕТУ МОБИЛЬНОГО ИНТЕРНЕТА 1. В условии смотрим сколько гигабайт входит в пакет. 2. Находим на графике это число гигабайт и проводим прямую линию влево параллельно нижней горизонтальной оси с месяцами. 3. Смотрим график над этой линией. Сопоставляем месяцы и гигабайты (СМ вопрос 1) 4. Считаем количество 1 2 3 Х У Z
ОПРЕДЕЛИТЬ КОЛИЧЕСТВО МЕСЯЦЕВ, В КОТОРЫЕ АБОНЕНТ ПРЕВЫСИЛ ЛИМИТ И ПО МИНУТАМ, И ПО ИНТЕРНЕТУ Аналогично предыдущим заданиям. Необходимые минуты и гигабайты находятся на одной линии. Выбираем все, которые находятся выше линии. ОПРЕДЕЛИТЬ КОЛИЧЕСТВО МЕСЯЦЕВ, В КОТОРЫЕ РАСХОДЫ ПО ТАРИФУ СОСТАВИЛИ РОВНО А РУБЛЕЙ (СТОИМОСТЬ ПАКЕТА УСУГ) Аналогично предыдущему. Выбираем пересечения ниже оси и на оси. ОПРЕДЕЛИТЬ НА СКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ ИЗМЕНИЛСЯ ТРАФИК/КОЛ-ВО МИНУТ 1. Сопоставляем по графику месяц и гигабайты/кол-во минут 2. Далее подставляем значения в одну из формул ⎯ Если в вопросе – на сколько процентов увеличилось Б ∙ 100 М − 100 ⎯ Если в вопросе – на сколько процентов уменьшилось 100 − М ∙ 100 Б В формуле Б – большее значение гигабайтов/минут. М – меньшее значение гигабайтов/минут ЗАДАЧИ С ИЗМЕНЕНИЕМ СТОИМОСТИ АБОНЕНТСКОЙ ПЛАТЫ НА НЕСКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ Задачи решаются по правилу нахождение части от числа и целого по его части ПЕРЕХОД СО СТАРОГО ТАРИФА НА НОВЫЙ В условии задачи представлена таблица с условиями нового тарифа. На графике все месяцы входят в условия нового тарифа, поэтому стоимость услуг за год = Абонентская плата · 12 Используя график, высчитаем стоимость услуг за год по старому тарифу. 1. Посчитаем, сколько месяцев в году абонент не превышал лимит пакета услуг. Затем умножим это число на стоимость абонентской платы. 2. Посчитаем общее количество минут сверх пакета услуг. 3. Посчитаем общее кол-во ГБ сверх пакета услуг. 4. Полученные числа подставляем в формулу в пункте 1. Затем сравниваем старый и новый тариф, в ответ записываем меньшее число. 4 5 6 7 8
ПОКУПКА СМАРТФОНА В таблице представлены 3 салона сотовой связи. Используя формулу, найдем стоимость покупки и выберем наименьшую. Стоимость смартфона ∙ Первоначальный взнос 100 + Ежемесячный платеж ∙ Срок кредита Покупка смартфона стоимости С рублей, если у абонента есть только К рублей, которые он может использовать как первоначальный взнос. Ему нужно выбрать наиболее выгодный банк. 1. Из таблицы выбираем банки, у которых Первоначальный взнос ≥ К. 2. Считаем итоговую стоимость: ⎯ Банк, у которого фиксированный первоначальный взнос: Первоначальный взнос + Ежемесячный платеж ∙ Срок кредита ⎯ Банк, у которого первоначальный взнос – процент (%) от стоимости смартфона % ∙ С 100 + Ежемесячный платеж ∙ Срок кредита 3. Сравниваем итоговую стоимость, выбираем наименьшую. ДОМАШНИЙ ИНТЕРНЕТ В условии задачи представлена таблица с тремя тарифными планами. Используя данные в таблице и трафик (МБ) нужно посчитать итоговую стоимость. Абонентская плата + плата за трафик сверх тарифа 1. Тарифный план 0, оплата только за трафик. Руб · МБ 2. Тарифный план А (трафик меньше МБ) Абонентская плата + (МБ-А) ·руб 3. Тарифный план Б (трафик больше МБ). Только абонентская плата 9 10
7Шины 13 дюймов = 330,2 мм 14 дюймов = 355,6 мм 15 дюймов = 381 мм 16 дюймов = 406,4 мм 17 дюймов = 431,8 мм 18 дюймов = 457,2 мм 19 дюймов = 482,6 мм 20 дюймов = 508 мм
НАЙТИ ВЫСОТУ БОКОВИНЫ ШИНЫ ПО ЕЕ МАРКИРОВКЕ H = B ∙ p 100 НАЙТИ ДИАМЕТР КОЛЕСА ВЫХОДЯЩЕГО С ЗАВОДА 1. В описании перед первым заданием берем маркировку шины колеса с завода 2. ВНИМАТЕЛЬНО: d на маркировке в дюймах, ответ должен быть в миллиметрах 1 дюйм = 25,4 мм D = 2H + d = 2 ∙ B ∙ p 100 + d ∙ 25,4 НАЙТИ НА СКОЛЬКО МИЛЛИМЕТРОВ УМЕНЬШИТСЯ ДИАМЕТР КОЛЕСА, ЕСЛИ ЗАМЕНИТЬ КОЛЕСА С ЗАВОДА В условии задачи нам дана маркировка шины нового колеса 1. D колеса с завода берем из прошлого пункта 2. Аналогично находим D нового колеса D завод –D новое НАЙТИ НА СКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ УВЕЛИЧИТСЯ ПРОБЕГ АВТОМОБИЛЯ, ЕСЛИ ЗАМЕНИТЬ КОЛЕСА С ЗАВОДА В условии задачи нам дана маркировка шины нового колеса 1. D колеса с завода берем из прошлого пункта 2. Аналогично находим D нового колеса Dновое ∙ 100 Dзавод − 100 НАЙТИ НА СКОЛЬКО МИЛЛИМЕТРОВ РАДИУС 1 КОЛЕСА БОЛЬШЕ РАДИУСА 2 КОЛЕСА В условии задачи нам даны маркировки шин двух колес одного диаметра B1 ∙ p1 100 − B2 ∙ p2 100 1 2 3 4 5
Блок 2. Задания 6-14 Пропорции Извлечение квадратного корня Формулы сокращенного умножения Сокращение дробей Действия с отрицательными числами Свойства степеней ОСНОВНЫЕ ТЕМЫ
ЗАДАНИЕ 6 Деление на дробь – это умножение на дробь, обратную данной Дроби и степени ДРОБИ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ± · ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ НОК НОД>1 НОД=1 ЗАПИСАТЬ ПОД ОБЩЕЙ ЧЕРТОЙ ДРОБИ СОКРАТИТЬБАБОЧКАРАЗДЕЛИТЬ НА НОД ± · : БЕЗ УЧЕТА ЗАПЯТОЙ ОТДЕЛИТЬ ∑ ЦИФР ПОСЛЕ НЕЕ ЗАПЯТАЯ ПОД ЗАПЯТОЙ ДОМНОЖИТЬ ОБА ЧИСЛА НА 10n, ЧТОБЫ ДЕЛИТЕЛЬ СТАЛ ЦЕЛЫМ ЧИСЛОМ
(𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛𝑏𝑛 (𝑎 𝑏) 𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 𝑎𝑛 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚 (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛𝑚 (−𝑎)𝑛 = −𝑎𝑛 (−𝑎)2𝑛 = 𝑎2𝑛 𝑎−𝑛 = 1 𝑎𝑛 СТЕПЕНИ НОК – наименьшее общее кратное двух чисел, т.е. такое число которое делится на два других НОД – наибольший общий делитель двух чисел, т.е. такое число, на которое можно разделить два других. Используется при нахождении общего кратного и при сокращении дробей Любую десятичную дробь можно перевести в обыкновенную
ЗАДАНИЕ 7 1. Разность < 0, если из меньшего числа вычитается большее 2. Разность > 0, если из большего числа вычитается меньшее 3. Чтобы установить между какими целыми числами находится неправильная дробь, нужно выделить целую часть. Либо представить целые числа в виде неправильных дробей 4. Чтобы определить какому промежутку принадлежит правильная дробь, нужно найти примерное значение обыкновенной дроби. Либо десятичные дроби перевести в обыкновенные, а затем все дроби к общему знаменателю. 5. Чтобы установить соответствие между числами на прямой и буквами, нужно расставить их в порядке возрастания. 6. Чтобы установить между какими числами находится иррациональное число (число с корнем), нужно привести числа к общему виду. Либо все числа возвести во 2 степень, либо представить в виде корня из числа. 7. На координатной прямой буквами отмечены 2 числа разного знака. 8. Чтобы сравнить две дроби нужно, чтобы у них был одинаковый числитель или знаменатель ⎯ Если одинаковый знаменатель, то больше та, у которой числитель больше ⎯ Если одинаковый числитель, то больше та, у которой знаменатель меньше 9 . Если х < у, то ⎯ при увеличении/ уменьшении на одно и то же число, знак не меняется ⎯ при делении/ умножении на одно и то же ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число, знак не меняется ⎯ при делении/ умножении на одно и то же ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число знак меняется 9. Если х < у, то ⎯ при увеличении/ уменьшении на одно и то же число, знак не меняется ⎯ при делении/ умножении на одно и то же ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число, знак не меняется ⎯ при делении/ умножении на одно и то же ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число знак меняется 10. При сравнении чисел учитываем: ⎯ любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. ⎯ При делении числа на дробь, число увеличивается по модулю (знак не меняется) 11. Любое целое число а можно представить в виде иррационального числа √а ∙ а Числа, координатная прямая а 0 в а + в < 0 а – в < 0 в – а > 0 ав2 < 0 ва2 > 0
ЗАДАНИЕ 8 1. Выражения со степенями (используем свойства степеней) Дополнительные формулы со степенями и корнями √𝑎2𝑛 = 𝑎𝑛 √𝑎𝑛 = √𝑏 ∙ 𝑏𝑛 √(𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2) = √(𝑎 + 𝑏)2 = ⌊𝑎 + 𝑏⌋ 2. Выражения с дробями – стремиться к сокращению дробей ⎯ Выражение состоит из одной дроби и имеет вид: 𝑎𝑛𝑏𝑚 𝑐𝑘 , 𝑐 = 𝑎𝑏 𝑎𝑛𝑏𝑚 𝑐𝑘 = 𝑎𝑛𝑏𝑚 𝑎𝑘𝑏𝑘 , теперь сокращаем дробь (деление степеней с одинаковым основанием) Если в числителе/знаменателе есть ±, то приводим к произведению (ФСУ, общий множитель), а затем сокращаем Если в числителе и знаменателе перемножаются корни, то записываем дробь под общим корнем, сокращаем и выделяем корень из оставшегося числа. ⎯ Выражение состоит из суммы/разности дробей Привести к общему знаменателю по методу БАБОЧКА, затем раскрыть скобки, привести подобные слагаемые. Если ± остался, то приводим к произведению и сокращаем. 3. Выражения с корнями Выражение представлено в виде произведения или частного корней – вносим их под один общий корень Выражения представлено в виде суммы или разности корней, нужно частично извлечь квадратный корень, выполнить действия с числами Выражение представлено в виде √𝑎(√𝑏 ± √𝑐), можно решать по действиям или раскрыть скобки. Частичное извлечение квадратного корня √𝑎 = √𝑏 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑏√𝑐 Формулы сокращенного умножения 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 ± 𝑏)2 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) Квадратные корни и степени
ЗАДАНИЕ 9Уравнения Квадратные Линейные Полные 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Неполныеa >1 Дискриминант 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 a = 1 Теорема Виетта { 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑐 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 Общий множитель x(ax+b)=0 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0, 𝑐 < 0 ФСУ (𝑎𝑥 − √𝑐)(𝑎𝑥 + √𝑐) = 0 х1 = 0 х2 = −𝑏 𝑎 х1 = √𝑐 х2 = −√𝑐 Неизвестное влево, известное вправо Рациональные Системы уравнений 𝑥 𝑎 = 𝑏 𝑐 → 𝑥 = 𝑎𝑏 𝑐 Метод подстановки Метод алгебраического сложения Пропорция Общий знаменатель Решение системы – (x;у) 𝑐 > 0 𝑐 < 0 𝑏 > 0𝑏 < 0 да нет корни одинаковых знаков + + − − + > − − > + корни разных знаков
ЗАДАНИЕ 10Теория вероятностей : ∙ + − − указывается кол − во или/или совпадающие события больше года, но меньше 3 лет В задачах на дерево вероятности находим сумму вероятностей двух исходов, каждый из которых состоит из двух шагов. Вероятность события В возможна либо в одном, либо другом случае (+). Каждый исход состоит из двух шагов (∙). Случайное событие то, что надо найти общее количество Нет десятичных дробей Сумма всех вероят ност ей равна 1
Круги Эйлера 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐴 ∩ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅𝐴 ∩ 𝐵̅𝐴̅ ∩ 𝐵 𝐵𝐴 ∪ 𝐵𝐴 ∪ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅𝐴 ∪ 𝐵𝐴̅ ∪ 𝐵 Если нет десятичных дробей – случайное событие, если есть, то противоположное или через сумму
ЗАДАНИЕ 11 k – угловой коэффициент, отвечает за возрастание/убывание функции b – значение функции при х=0 k>0 b>0 k<0 b<0 k=0 b=0 Графики функций ПРЯМАЯ 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 ПАРАБОЛА 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ГИПЕРБОЛА 𝑦 = 𝑘 𝑥 a > 0 b <0 c < 0 D > 0 a < 0 b<0 c > 0 D > 0 a < 0 b < 0 c < 0 D = 0 a > 0 b < 0 c > 0 D < 0 a – положение ветвей параболы c – значение функции при х=0 Если a и b одного знака, вершина слева от Ох, если разных знаков, то справа. D – дискриминант, показывает кол-во точек, лежащих на Ох (корни уравнения) Если k < x, ветви располагаются близко к осям координат, если больше, то далеко Если k > 0, ветви в нечетных четвертях, если меньше, то в четных k > 0 k < x k < 0 k > x
ЗАДАНИЕ 12 𝑡𝐹 = 1,8𝑡𝐶 + 32 𝑡𝐶 = 5 9 (𝑡𝐹 − 32) 𝐶 = 6000 + 4100 ∙ 𝑛 𝐶 = 150 + 11 (𝑡 − 5) 𝑊 = 𝐶𝑈2 2 𝐹 = 𝜌𝑔𝑉 𝑎 = 𝜔2𝑅 𝑃 = 𝐼2𝑅 𝑃 = 𝑚𝑔ℎ 𝐸 = 𝑚𝑉2 2 𝑆 = 𝑑1𝑑2𝑠𝑖𝑛𝛼 2 Чтобы выразить множитель (то что ищем), нужно произведение (с другой стороны от =) разделить на известный множитель (то, что осталось). 𝑅 = 𝑎 𝜔2 𝑉 = √2𝐸 𝑚 Сначала сокращаем дробь, потом умножаем! Расчеты по формулам Подставить вместо букв числа Выразить множитель Через пропорцию записываем в виде произведения
ЗАДАНИЕ 13 При решении неравенства, нужно решить уравнение и найти промежуток, при котором неравенство верное Обращайте внимание на знак неравенства: < > строгое – точки выколоты, скобки () ≤ ≥ нестрогое – точки закрашены, скобки [] 1. Линейные неравенства. Если после упрощения неравенства ⎯ перед х стоит отрицательное число, меняем знак на противоположный ⎯ перед х стоит положительное число, знак не меняем 2. Квадратные неравенства 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 𝑎 > 0 𝑎 < 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 ⎯ Если коэффициент а и неравенство одного знака, то берем крайние значения ⎯ Если коэффициент а и неравенства разных знаков – берем середину 3. Системы неравенств Неравенства 𝑎 > 0 𝑎 < 0 больше большего числа Когда оба неравенства > или ≥ меньше меньшего числа Когда ода неравенства < или ≤ меньше большего, больше меньшего меньше меньшего, больше большего НЕТ РЕШЕНИЙ Если неравенства нестрогие, то наибольшее значение справа, наименьшее слева
ЗАДАНИЕ 14 a1 – 1 член прогрессии d – разность n – порядковый номер При решении заданий помним: Начальный – не значит Первый. Первый будет, если Начальный изменится на d или в q раз. Если уменьшается, то d < 0, а q - дробь Прогрессия ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ НА В 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑑(𝑛 − 1) Всего/За 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎𝑛 2 ∙ 𝑛 𝑆𝑛 = 2𝑎1 + 𝑑(𝑛 − 1) 2 ∙ 𝑛 𝑑 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑘 𝑛 − 𝑘 𝑏𝑛 = 𝑏1 ∙ 𝑞𝑛−1 В задаче про изотоп А, который превращается в изотоп Б нужно из начальной массы изотопа вычесть 𝑏𝑛 b1 – 1 член прогрессии q – знаменатель n – порядковый номер
Блок 3. Задания 15-19 Площади фигур ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 𝑆 = 𝑎 ∙ ℎ 2 𝑆⊿ = 𝑎 ∙ 𝑏 2 𝑆 = 𝑎 ∙ с 2 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑏 ∙ 𝑐 2 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) 𝑆○ = 𝜋𝑅2 𝑆⌔ = 𝜋𝑅2 360 𝛼 𝑆 = 𝑎ℎ 𝑆 = 𝑑1𝑑2 sin 𝛼 2 𝑆 = 𝑎𝑏 sin 𝑎 𝑆 = 𝑎 + 𝑏 2 ∙ ℎ 𝑆 = 𝑑1𝑑2 2 𝑆 = 𝑎ℎ
ЗАДАНИЕ 15 БИССЕКТРИСА И МЕДИАНА Биссектриса – это луч, который делит угол пополам. Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, противоположной этой вершине. ⎯ медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. ⎯ медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. СУММА УГЛОВ В ЛЮБОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ = 180⁰ 1. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов 90⁰ 2. Угол при вершине равнобедренного треугольника 180 − 2 при основании 3. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 180− при вершине 2 4. Внешний угол треугольника = сумме двух внутренних несмежных с ним 5. Сумма внешнего и внутреннего угла треугольника = 180⁰ (смежные) ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА 𝑆 = 𝑎 ∙ ℎ 2 Половина произведения основания на высоту 𝑆⊿ = 𝑎 ∙ 𝑏 2 половина произведения длин катетов 𝑆 = 𝑎 ∙ с 2 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑏 ∙ 𝑐 2 𝑠𝑖𝑛𝐴 Если в прямоугольном треугольнике провести высоту h из вершины прямого угла на гипотенузу c, то ab=ch. СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА 𝑎 2 − половина основания, которому она параллельна Треугольники и их элементы 𝐵𝐴𝐷 = 𝐷𝐴𝐶 = 1 2 𝐵𝐴𝐶 𝐴𝑀 = 𝑀𝐶 = 1 2 𝐴𝐶
ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ Треугольники подобны, если у них есть 2 соответственно равных угла. ABC~MBN → 𝐴𝐵 𝑀𝐵 = 𝐶𝐵 𝐶𝑁 = 𝐴𝐶 𝑀𝑁 = 𝑘 𝑠∆𝐴𝐵𝐶 𝑆∆𝑀𝐵𝑁 = 𝑘2 РАВНОБЕДРЕННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ ⎯ В равнобедренном треугольнике медиана, высота, биссектриса совпадают. ⎯ Углы при основании и боковые стороны равны. ⎯ Если в прямоугольном треугольнике острый угол 45⁰, то он равнобедренный. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 → c = √a2 + b2 𝑎 = √𝑐2 − 𝑏2 = √(𝑐 − 𝑏)(𝑐 + 𝑏) 𝑏 = √𝑐2 − 𝑎2 = √(𝑐 − 𝑎)(𝑐 + 𝑎) Самые распространенные случаи Они могут быть спрятаны за общим множителем Если задача про равносторонний треугольник, в котором проведена высота/медиана/биссектриса, а найти нужно сторону, то составляем уравнение. СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС sin 𝐴 = 𝐵𝐶 𝐴𝐵 cos 𝐴 = 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝑡𝑔 𝐴 = 𝐵𝐶 𝐴𝐶 Теорема синусов и косинусов cos 𝐴 = 𝑏2+𝑐2−𝑎2 2𝑏𝑐 𝑎 = √𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∙ cos 𝐴 𝑏 = 𝑎 sin 𝐵 sin 𝐴 𝑐 = 𝑎 sin 𝐶 sin 𝐴 3 4 5 8 15 17 5 12 13 12 35 37 20 21 29 Чтобы легче было считать, сначала упрощаем. Если есть общий множитель – выносим. A BC УГЛЫ СУММА 180⁰ РАВНЫ смежные вертикальные прямые пересекаются образуют развернутый угол односторонние накрест лежащие соответственные прямые параллельны
ЗАДАНИЕ 16 Фигура Вписанная окружность Описанная окружность В любой A△.E 𝑟 = 𝑆 𝑝 A○1E AПравильный 𝑟 = 𝑎 2√3 A○2E AПрямоугольный 𝑟 = 𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 2 Около любого A△.E 𝑅 = 𝑎 2𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑎𝑏𝑐 4𝑆 A○1E AПравильный 𝑅 = 𝑎 √3 A○2E AПрямоугольный 𝑅 = 𝑐 2 Четырёхугольники Любой Суммы противолежащих сторон равны Сумма противоположных углов равна 180⁰ В любой A□.E 𝑟 = 𝑎 2 Около любого A□.E A 𝑅 = 𝑎 √2 = 𝑑 2 В прямоугольник нельзя вписать окружность 𝑅 = 𝑑 2 = √𝑎2 + 𝑏2 2 В любой A◇.E 𝑟 = ℎ 2 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝐴 2 = 𝑑1𝑑2 4𝑎 Около ромба нельзя описать окружность Если образуются вершина – центр A ○.E A, гипотенуза – стороны трапеции (𝑟 = ℎ ) 𝑟 = ℎ 2 Около равнобокой 𝑅 = 𝑑 2 Правильный n-угольник Любой 𝑟 = 𝑎 2𝑡𝑔 180 𝑛 = 𝑆 𝑝 Любой 𝑅 = 𝑎 2𝑠𝑖𝑛 180 𝑛 Окружность О А В С АВС – вписанный угол, образован двумя хордами, равен половине дуги, на которую опирается. Вписанные углы равны, если опираются на одну и ту же дугу. АОС – центральный угол, образован двумя радиусами, равен дуге, на которую описается. Если вписанный и центральный угол, опираются на одну и ту же дугу, то вписанный равен половине центрального.
ПРЯМЫЕ УГЛЫ В ОКРУЖНОСТИ Угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания Вписанный угол, который опирается на диаметр ОКРУЖНОСТЬ И КАСАТЕЛЬНАЯ Если из точки, не лежащей на окружности, провести две касательные к окружности, то их отрезки будут равны. Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую замыкает. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА. ПЛОЩАДЬ СЕКТОРА Длина окружности 360⁰. Если на окружности отметить несколько точек, то сумма длин получившихся дуг, будет равна длине окружности. 𝑆○ = 𝜋𝑅2 𝑆⌔ = 𝜋𝑅2 360 𝛼 𝐶⌔ = 𝜋𝑅 180 𝛼 О k
ЗАДАНИЕ 17 Сумма углов в выпуклом четырехугольнике 360⁰ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ⎯ Если в параллелограмме провести диагональ, то образуются два равных треугольника. ⎯ Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. 𝑆 = 𝑎ℎ − площадь паралелограмма − произведение основания на высоту 𝑆 = 𝑎𝑏 𝑠𝑖𝑛 𝑎 − произведение сторон и синуса угла между ними 𝑆 = 𝑑1𝑑2 𝑠𝑖𝑛 𝛼 2 − половина произведения диагоналей и синуса угла между ними ТРАПЕЦИЯ ⎯ У равнобедренной трапеции углы при основании равны ⎯ У прямоугольной трапеции есть 2 прямых угла ⎯ Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом. ⎯ Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы ⎯ Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований. ⎯ ℎ = 𝑐 · 𝑠𝑖𝑛𝛼, где c – боковая сторона, α – угол между основанием и боковой стороной 𝑆 = 𝑎 + 𝑏 2 ∙ ℎ − полусумма оснований на высоту 𝐴𝐷‖BC AB‖DC AD = BC 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 𝐴 = 𝐶 𝐵 = 𝐷 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 + 𝐷 = 180⁰ Четырехугольники А B C D 𝐴𝐷‖BC 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 + 𝐷 = 180⁰ А B C D
ПРЯМОУГОЛЬНИК ⎯ Диагонали прямоугольника образуют смежные углы, сумма которых 180⁰. ⎯ Диагонали параллелограмма делят его на 4 равнобедренных треугольника. ⎯ Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Диагонали квадрата перпендикулярны 𝑑 = 𝑎√2 𝑆 = 𝑃2 16 Площадь квадрата (прямоугольника) – это произведение смежных сторон РОМБ 𝑆 = 𝑃2 16 sin 𝑎 СИНУС. КОСИНУС. ТАНГЕНС sin 𝛼 = √1 − cos2 𝛼 𝑆 = 𝑎+𝑏 2 ∙ 𝑐 ∙ sin 𝛼 Любой четырехугольник можно разделить на треугольники, поэтому задачи из этого блока можно решать и через подобные треугольники, и через теорему Пифагора, и через тригонометрию. Площадь любого n-угольника можно представить в виде сумы площадей фигур, из которых он состоит. 𝐴𝐷‖BC AB‖DC AD = BC 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 𝐴 = 𝐶 = 𝐵 = 𝐷 = 90⁰ 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 C D B A C D B A C D B A 𝐴𝐷‖BC AB‖DC AD = BC = 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 𝐴 = 𝐶 𝐵 = 𝐷 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 + 𝐷 = 180⁰ 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 a b c
ЗАДАНИЕ 18 ⎯ Найти длину большего/меньшего катета. На рисунке изображен прямоугольный треугольник. Нужно посчитать по клеточкам длины сторон и выбрать одну, подходящую по условию. ⎯ Найти высоту треугольника/трапеции/перпендикуляра. Посчитать по клеточкам длину перпендикуляра от вершины до основания. ⎯ Найти длину большей/меньшей диагонали ромба. Аналогично считаем длину диагонали по клеточкам. Во сколько раз длина одного отрезка больше длины другого отрезка Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего круга 𝑟12 𝑟22 Фигуры на квадратной решетке
Расстояние между точками и расстояние от точки до прямой 1. Расстояние от точки до прямой – это перпендикуляр, опущенный из точки на прямую. Считаем по клеточкам. 2. Расстояние между точками – это отрезок, который соединяет эти точки. Если отрезок идет прямо, то считаем клеточки, если диагонально, то достраиваем до прямоугольного треугольника и находим по теореме Пифагора. Углы Задачи на нахождение площади фигур 1. Площадь параллелограмма, трапеции, треугольника, ромба находим по формулам. 2. Площадь нестандартных фигур находим как сумму всех клеточек или как площадь n-угольника Средняя линяя Среднюю линию треугольник и трапеции находим по формулам.
ЗАДАНИЕ 19 НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ (ОТРЕЗКИ, ПРЯМЫЕ, УГЛЫ) Верные утверждения 1. Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка. 2. Существуют три прямые, которые проходят через одну точку. 3. Вертикальные углы равны. 4. Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла. 5. На плоскости существует единственная точка, равноудаленная от концов отрезка. 6. Через две различные точки на плоскости проходит единственная прямая. 7. Сумма смежных углов равна 180⁰. 8. через любые три точки проходит не более одной прямой. Неверные утверждения 1. Смежные углы всегда равны. 2. Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой. 3. Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую. 4. Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ Верные утверждения 1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны 2. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой. 3. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. Неверные утверждения 1. Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны. 2. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны. ТРЕУГОЛЬНИК Верные утверждения 1. В любом тупоугольном треугольнике есть острый угол. 2. В остроугольном треугольнике все углы острые. 3. В треугольнике против большего угла, лежит большая сторона. Анализ геометрических высказываний
4. Внешний угол треугольника больше несмежного с ним внутреннего угла. 5. Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов. 6. Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон. 7. Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует. 8. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 9. Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник. 10. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника. 11. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам. 12. Все высоты равностороннего треугольника равны. 13. Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным. 14. Всякий равносторонний треугольник является остроугольным. 15. Любые два равносторонних треугольника подобны. 16. Все равносторонние треугольники подобны. 17. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов. 18. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам. Неверные утверждения 1. Если в треугольнике есть один острый угол, то этот треугольник остроугольный. 2. В тупоугольном треугольнике все углы тупые. 3. Внешний угол треугольника равен сумме его внутренних углов. 4. Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена. 5. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия. 6. Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам. 7. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует. 8. Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена. 9. Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. 10. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 11. Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 12. Все равнобедренные треугольники подобны. 13. Всякий равнобедренный треугольник является остроугольным. 14. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
15. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой. 16. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов. 17. Все прямоугольные треугольники подобны. 18. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузе равен разности квадратов катетов. 19. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов. 20. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету. 21. Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам. 22. Тангенс любого острого угла меньше единицы. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК Верные утверждения 1. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусам. Неверные утверждения 1. В любой четырехугольник можно вписать окружность. 2. Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ Верные утверждения 1. В параллелограмме есть два равных угла. 2. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Неверные утверждения 1. Диагонали параллелограмма равны. 2. Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон. 3. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей. КВАДРАТ, ПРЯМОУГОЛЬНИК Верные утверждения 1. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам. 2. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. 3. Если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник. 4. Любой прямоугольник можно вписать в окружность. 5. Все углы прямоугольника равны. 6. Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. 7. Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.
8. Любой квадрат является прямоугольником. 9. Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон. Неверные утверждения 1. В любой прямоугольник можно вписать окружность. 2. Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника. 3. В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. 4. Площадь прямоугольника равна произведению длин всех его сторон. 5. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является квадратом. 6. Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник является квадратом. 7. Площадь квадрата равна произведению его диагоналей. 8. Существует квадрат, который не является прямоугольником. 9. Все квадраты имеют равные площади. ТРАПЕЦИЯ Верные утверждения 1. Основания любой трапеции параллельны. 2. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям. 3. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. 4. В любой прямоугольной трапеции есть два равных угла. 5. Диагонали равнобедренной трапеции равны. Неверные утверждения 1. Основания равнобедренной трапеции равны. 2. Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту. 3. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований. 4. Боковые стороны любой трапеции равны. 5. Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. 6. Диагонали прямоугольной трапеции равны. 7. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее на два равных треугольника. 8. Диагональ трапеции делит ее на два равных треугольника. РОМБ Верные утверждения 1. В любой ромб можно вписать окружность. 2. Диагонали ромба перпендикулярны. 3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. 4. Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом. 5. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.
6. Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними. 7. Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне. 8. Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом. Неверные утверждения 1. Все углы ромба равны. 2. Диагонали ромба равны. 3. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом. ОКРУЖНОСТЬ Верные утверждения 1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой. 2. Все диаметры окружности равны между собой. 3. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. 4. Любые два диаметра окружности пересекаются. 5. Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу. 6. Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают. 7. Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности. Неверные утверждения 1. Все хорды одной окружности равны между собой. 2. Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности. 3. Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания. 4. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. 5. Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей. 6. Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу. 7. Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
ОГЭЧащина Юлия Васильевна