MODUL MATEMATIKA: FUNGSI DAN RELASI Materi, Contoh Soal dengan Penyelesaian, dan Soal Latihan 1. Pengertian Fungsi dan Bukan Fungsi Dalam matematika, relasi adalah aturan yang menghubungkan anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan lainnya. Sedangkan fungsi (atau pemetaan) adalah bentuk khusus dari relasi yang memenuhi syarat tertentu. Definisi Fungsi: Sebuah relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan B. Ciri-ciri utama relasi yang merupakan Fungsi: Semua anggota daerah asal (himpunan A) harus memiliki pasangan (tidak boleh ada yang "jomblo"). Setiap anggota daerah asal (himpunan A) hanya boleh memiliki satu pasangan (tidak boleh "bercabang" atau "selingkuh"). Anggota daerah kawan (himpunan B) bebas berpasangan dengan lebih dari satu anggota A atau tidak memiliki pasangan sama sekali. Ciri-ciri relasi yang Bukan Fungsi: Ada anggota himpunan A yang tidak memiliki pasangan di himpunan B. Ada anggota himpunan A yang memiliki pasangan lebih dari satu di himpunan B. 2. Domain, Kodomain, dan Range Ketika sebuah relasi didefinisikan sebagai fungsi dari A ke B, terdapat tiga istilah penting yang wajib dipahami: Domain (Daerah Asal): Himpunan seluruh anggota pertama (biasanya himpunan A) yang menjadi asal dari pemetaan. Dinotasikan dengan Df. Kodomain (Daerah Kawan): Himpunan seluruh anggota kedua (biasanya himpunan B) tempat anggota domain berpasangan. Dinotasikan dengan Kf. Range (Daerah Hasil): Himpunan bagian dari kodomain yang benar-benar menjadi pasangan dari anggota domain. Dinotasikan dengan Rf. • • • • • 1. 2. 3. Matematika Kelas XI - Fungsi & Relasi Halaman 1 dari 5
CONTOH KONSEPTUAL Misalkan fungsi dinyatakan dalam pasangan berurutan: f = {(1, a), (2, b), (3, a)} dari himpunan A = {1, 2, 3} ke B = {a, b, c}. Domain (Df): {1, 2, 3} Kodomain (Kf): {a, b, c} Range (Rf): {a, b} (karena c tidak memiliki pasangan dari A). 3. Cara Menentukan Domain dan Range dari Fungsi Analitis Jika fungsi diberikan dalam bentuk rumus matematika y = f(x), maka secara umum: Domain adalah semua nilai x yang membuat fungsi tersebut terdefinisi (menghasilkan nilai nyata/real). Range adalah semua nilai y yang mungkin dihasilkan oleh fungsi tersebut berdasarkan domainnya. Syarat Penting Terdefinisinya Fungsi: Fungsi Rasional (Pecahan): f(x) = g(x) / h(x) terdefinisi jika penyebut tidak sama dengan nol: h(x) ≠ 0. Fungsi Irasional (Bentuk Akar): f(x) = √g(x) terdefinisi jika angka di dalam akar tidak negatif: g(x) ≥ 0. 4. Contoh Soal dan Penyelesaian CONTOH SOAL 1: MENGIDENTIFIKASI FUNGSI DARI GRAFIK/PASANGAN BERURUTAN Tentukan apakah relasi-relasi berikut merupakan fungsi atau bukan fungsi, berikan alasannya! a) Relasi dalam himpunan pasangan berurutan: R1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (2, 5)} b) Relasi dalam himpunan pasangan berurutan: R2 = {(a, 1), (b, 2), (c, 2), (d, 3)} Penyelesaian: a) R1 adalah BUKAN FUNGSI. Alasan: Anggota domain yaitu angka 2 muncul dua kali, berpasangan dengan 3 dan 5. Ini melanggar syarat fungsi di mana setiap anggota domain harus berpasangan dengan tepat satu anggota kodomain. b) R2 adalah FUNGSI. Alasan: Setiap anggota domain (a, b, c, d) muncul tepat satu kali dan memiliki satu pasangan. Meskipun nilai 2 di kodomain dipilih oleh b dan c, hal ini diperbolehkan dalam aturan fungsi. • • • • • 1. 2. Matematika Kelas XI - Fungsi & Relasi Halaman 2 dari 5
CONTOH SOAL 2: MENENTUKAN DOMAIN DAN RANGE FUNGSI LINEAR Diketahui fungsi f(x) = 2x + 3 dengan domain dibatasi pada Df = {x | -2 ≤ x < 3, x ∈ ℝ}. Tentukan range dari fungsi tersebut! Penyelesaian: Fungsi linear f(x) = 2x + 3 adalah fungsi yang monoton naik (karena gradiennya positif, m = 2). Untuk menentukan range, kita dapat mensubstitusikan nilai ujung batas domain: Untuk nilai batas kiri x = -2 (termasuk/inklusif): f(-2) = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1 Untuk nilai batas kanan x = 3 (tidak termasuk/eksklusif): f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9 Sehingga daerah hasil atau range mengikuti pertidaksamaan dari batas domain tersebut. Range (Rf) = {f(x) | -1 ≤ f(x) < 9, f(x) ∈ ℝ} atau dapat juga ditulis {y | -1 ≤ y < 9, y ∈ ℝ}. CONTOH SOAL 3: MENENTUKAN DOMAIN FUNGSI PECAHAN Tentukan domain alami (Df) dari fungsi pecahan f(x) = (3x + 1) / (x - 4) agar fungsi tersebut terdefinisi pada himpunan bilangan real! Penyelesaian: Fungsi berbentuk pecahan f(x) = g(x) / h(x) akan terdefinisi jika penyebutnya tidak sama dengan nol (h(x) ≠ 0). Penyebut pada fungsi tersebut adalah x - 4. x - 4 ≠ 0 x ≠ 4 Jadi, domain dari fungsi tersebut adalah semua bilangan real kecuali angka 4. Domain (Df) = {x | x ≠ 4, x ∈ ℝ}. • • Matematika Kelas XI - Fungsi & Relasi Halaman 3 dari 5
CONTOH SOAL 4: MENENTUKAN DOMAIN FUNGSI BENTUK AKAR Tentukan domain alami dari fungsi f(x) = √(2x - 6)! Penyelesaian: Fungsi di dalam akar kuadrat terdefinisi pada bilangan real jika dan hanya jika nilai di dalam tanda akar tidak bernilai negatif (lebih besar atau sama dengan nol). 2x - 6 ≥ 0 2x ≥ 6 x ≥ 3 Jadi, fungsi akan menghasilkan nilai real jika nilai x bernilai minimal 3. Domain (Df) = {x | x ≥ 3, x ∈ ℝ}. Matematika Kelas XI - Fungsi & Relasi Halaman 4 dari 5
5. Soal Latihan Mandiri Kerjakan soal-soal berikut untuk menguji pemahaman Anda mengenai materi Fungsi, Domain, Kodomain, dan Range. Soal 1 (Identifikasi Fungsi) Diketahui tiga buah relasi yang disajikan dalam bentuk pasangan berurutan sebagai berikut: i) P = {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a)} ii) Q = {(1, a), (2, b), (1, c), (3, d)} iii) R = {(a, 2), (b, 4), (c, 6), (d, 8)} Manakah dari relasi di atas yang merupakan fungsi? Jelaskan alasan logis Anda! Soal 2 (Domain, Kodomain, dan Range Himpunan) Sebuah fungsi g memetakan himpunan M = {-1, 0, 1, 2} ke himpunan bilangan bulat ℤ dengan rumus fungsi g(x) = x² + 2. Tentukan: a) Daerah asal (Domain) fungsi g. b) Daerah kawan (Kodomain) fungsi g. c) Daerah hasil (Range) fungsi g dalam bentuk mendaftar anggotanya. Soal 3 (Domain Fungsi Rasional) Tentukan domain alami (Df) dari fungsi rasional berikut agar terdefinisi pada bilangan real: f(x) = (2x + 5) / (x² - 9) Soal 4 (Domain Fungsi Irrasional) Carilah domain alami dari fungsi bentuk akar kuadrat di bawah ini: h(x) = √(12 - 3x) Soal 5 (Range Fungsi Kuadrat) Diketahui fungsi kuadrat f(x) = x² - 4x + 5 dengan domain alami seluruh bilangan real (x ∈ ℝ). Tentukan daerah hasil (Range) dari fungsi tersebut! (Petunjuk: Carilah nilai ekstrim/titik puncak grafik fungsi kuadrat). Tips Belajar: Ingat bahwa kunci utama membedakan fungsi adalah fokus pada daerah asal (Domain). Setiap anggota domain wajib memilih dan setianya hanya satu pilihan! Matematika Kelas XI - Fungsi & Relasi Halaman 5 dari 5