KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmat dan karunia- Nya sehingga bahan ajar Barisan dan Deret Aritmatika Berbasis Etnomatematika Indonesia ini dapat diselesaikan dengan baik. Bahan ajar ini disusun dengan tujuan untuk memberikan pengalaman belajar matematika yang lebih bermakna dan kontekstual bagi peserta didik. Melalui pendekatan etnomatematika, konsep barisan dan deret aritmatika tidak hanya dipelajari sebagai rumus-rumus abstrak, melainkan sebagai bagian dari kekayaan budaya Indonesia yang telah diterapkan oleh nenek moyang kita dalam berbagai karya seni dan arsitektur. Batik Kawung dan Candi Prambanan dipilih sebagai konteks pembelajaran karena keduanya merupakan warisan budaya Indonesia yang sarat dengan pola matematis. Batik Kawung, sebagai salah satu motif batik tertua dari Keraton Jawa, menunjukkan penerapan pola barisan aritmatika dalam susunan motifnya yang teratur dan harmonis. Sementara itu, Candi Prambanan sebagai kompleks candi Hindu terbesar di Indonesia memperlihatkan penerapan konsep matematika dalam struktur arsitekturnya yang megah dan simetris. Melalui bahan ajar ini, diharapkan peserta didik tidak hanya memahami konsep matematika, tetapi juga semakin menghargai dan bangga terhadap warisan budaya Indonesia. Pembelajaran matematika menjadi jembatan untuk memahami kearifan lokal dan identitas bangsa. Penyusun menyadari bahwa bahan ajar ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan untuk perbaikan di masa mendatang. Semoga bahan ajar ini dapat memberikan manfaat dalam pembelajaran matematika yang bermakna. Yogyakarta, 9 Desember 2025 Ninda Tri Kurnianingsih i
PENDAHULUAN A. Latar Belakang Matematika sering dianggap sebagai ilmu yang abstrak dan terpisah dari kehidupan sehari-hari. Padahal, matematika sesungguhnya telah menjadi bagian integral dari berbagai aspek kehidupan manusia, termasuk dalam budaya dan tradisi masyarakat. Konsep etnomatematika hadir sebagai jembatan untuk menghubungkan matematika formal dengan praktik matematika yang ada dalam budaya masyarakat. Indonesia sebagai negara yang kaya akan budaya memiliki banyak sekali warisan budaya yang mengandung konsep-konsep matematika. Mulai dari seni batik dengan pola-pola geometris yang teratur, arsitektur candi dengan struktur yang simetris dan proporsional, hingga permainan tradisional yang melibatkan strategi dan perhitungan. Kearifan lokal ini menunjukkan bahwa nenek moyang kita telah menerapkan prinsip-prinsip matematika jauh sebelum matematika formal berkembang seperti sekarang. Barisan dan deret aritmatika adalah salah satu konsep matematika yang dapat dengan mudah ditemukan dalam berbagai aspek budaya Indonesia. Pada motif batik, kita dapat menemukan pola-pola yang berulang dengan aturan tertentu. Pada bangunan candi, kita dapat melihat susunan struktur yang mengikuti pola matematis yang teratur. Konsep-konsep ini telah diterapkan dalam karya seni dan arsitektur tradisional Indonesia, menunjukkan bahwa matematika bukanlah hal yang asing dalam budaya kita. Melalui pendekatan etnomatematika dalam pembelajaran barisan dan deret aritmatika, diharapkan peserta didik dapat memahami konsep matematika dengan lebih bermakna. Pembelajaran tidak hanya berfokus pada hafalan rumus dan prosedur, tetapi juga pada pemahaman kontekstual dan apresiasi terhadap budaya lokal. Dengan demikian, matematika menjadi lebih dekat dengan kehidupan peserta didik dan dapat menumbuhkan rasa bangga terhadap warisan budaya Indonesia. B. Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bahan ajar ini, peserta didik diharapkan mampu: 1. Mengidentifikasi pola barisan aritmatika dengan tepat 2. Menentukan suku ke-n dan jumlah n suku pertama barisan dan deret aritmatika dengan benar 3. Menyelesaikan permasalahan kontekstual barisan dan deret aritmatika dengan berpikir kritis ii
C. Petunjuk Penggunaan Bahan Ajar 1. Bacalah setiap bagian dengan teliti dan pahami konsep yang dijelaskan 2. Perhatikan contoh-contoh yang diberikan, terutama yang berkaitan dengan konteks budaya Indonesia 3. Kerjakan latihan soal secara mandiri atau berkelompok untuk mengasah pemahaman 4. Jangan ragu untuk bertanya kepada guru jika ada konsep yang belum dipahami 5. Coba temukan contoh-contoh lain dari penerapan barisan dan deret aritmatika dalam kehidupan sehari-hari atau budaya lokal di sekitar Anda iii
A. PENGERTIAN BARISAN ARITMATIKA Barisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang memiliki selisih (beda) yang tetap antara dua suku yang berurutan. 1. Definisi Barisan aritmatika merupakan urutan bilangan dimana setiap suku (kecuali suku pertama) diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap yang disebut beda (b) pada suku sebelumnya. Beda ini dapat bernilai positif, negatif, atau nol. 2. Bentuk Umum Bentuk umum barisan aritmatika dapat dituliskan sebagai: a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b, ... atau dapat juga dituliskan sebagai: U₁, U₂, U₃, U₄, U₅, ... 3. Notasi dan Istilah Penting Dalam barisan aritmatika, terdapat beberapa notasi dan istilah yang perlu dipahami: Notasi Keterangan a atau U₁ Suku pertama b Beda (selisih tetap antar suku) n Banyaknya suku atau nomor urut suku Uₙ Suku ke-n (suku pada urutan ke-n) 4. Rumus Suku ke-n Untuk menentukan suku ke-n dari suatu barisan aritmatika, kita dapat menggunakan rumus: Dimana: Uₙ = suku ke-n yang dicari a = suku pertama (U₁) n = nomor urut suku yang dicari b = beda (selisih antar suku) 5. Cara Menentukan Beda (b) Beda dari suatu barisan aritmatika dapat ditentukan dengan mengurangkan suku ke- n dengan suku sebelumnya (suku ke-(n-1)): 1
Contoh: Barisan: 3, 7, 11, 15, 19, ... b = 7 - 3 = 4 b = 11 - 7 = 4 b = 15 - 11 = 4 Karena bedanya tetap (b = 4), maka barisan tersebut adalah barisan aritmatika. 6. Jenis-jenis Barisan Aritmatika Berdasarkan nilai bedanya, barisan aritmatika dapat dibedakan menjadi: • Barisan Aritmatika Naik (b > 0) Barisan yang setiap sukunya bertambah dengan nilai beda positif. Contoh: 2, 5, 8, 11, 14, ... (b = 3) • Barisan Aritmatika Turun (b < 0) Barisan yang setiap sukunya berkurang dengan nilai beda negatif. Contoh: 20, 17, 14, 11, 8, ... (b = -3) • Barisan Aritmatika Tetap (b = 0) Barisan yang setiap sukunya sama (tidak berubah). Contoh: 5, 5, 5, 5, 5, ... (b = 0) B. Pengertian Deret Aritmatika Deret aritmatika adalah jumlah dari suku-suku pada barisan aritmatika. 1. Definisi Deret aritmatika merupakan penjumlahan dari suku-suku barisan aritmatika secara berurutan. Jika kita memiliki barisan aritmatika a, a+b, a+2b, a+3b, ..., maka deret aritmatikanya adalah a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + ... 2. Notasi Deret Aritmatika Jumlah n suku pertama dari deret aritmatika dilambangkan dengan Sₙ (dibaca: S sub n). Secara umum dapat dituliskan: Sₙ = U₁ + U₂ + U₃ + ... + Uₙ atau Sₙ = a + (a+b) + (a+2b) + ... + (a+(n-1)b) 3. Rumus Jumlah n Suku Pertama Terdapat dua bentuk rumus untuk menghitung jumlah n suku pertama deret aritmatika: 𝑆ₙ = 𝑛 2 × (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) 2
Rumus ini digunakan ketika diketahui suku pertama (a), beda (b), dan banyak suku (n). Rumus ini digunakan ketika diketahui suku pertama (a), suku terakhir (Uₙ), dan banyak suku (n). Dimana: Sₙ = jumlah n suku pertama a = suku pertama (U₁) b = beda n = banyaknya suku yang dijumlahkan Uₙ = suku ke-n 4. Kapan Menggunakan Rumus yang Mana? 5. Hubungan antara Sₙ dan Uₙ Terdapat hubungan penting antara jumlah n suku pertama dengan suku ke-n: 𝑈ₙ = 𝑆ₙ − 𝑆ₙ₋₁ Artinya, suku ke-n dapat dicari dengan mengurangkan jumlah n suku pertama dengan jumlah (n-1) suku pertama. Situasi Yang Diketahui Rumus yang Digunakan 1 a, b, n 𝑆ₙ = 𝑛 2 × (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) 2 a, Uₙ, n 𝑆ₙ = 𝑛 2 × (𝑎 + 𝑈ₙ) 𝑆ₙ = 𝑛 2 × (𝑎 + 𝑈ₙ) 3
C. PEMBELAJARAN BERBASIS ETNOMATEMATIKA Setelah memahami konsep dasar barisan dan deret aritmatika, sekarang kita akan melihat bagaimana konsep-konsep tersebut diterapkan dalam warisan budaya Indonesia. Melalui Batik Kawung dan Candi Prambanan, kita akan mengeksplorasi keindahan matematika yang tersembunyi dalam karya seni dan arsitektur tradisional Indonesia. 1. Batik Kawung a) Pengenalan Batik Kawung Batik Kawung adalah salah satu motif batik tertua dan termulia dari Jawa, khususnya berasal dari Keraton Yogyakarta dan Keraton Surakarta. Motif ini memiliki bentuk yang sangat khas berupa bulatan-bulatan yang menyerupai buah kawung (aren atau kolang-kaling) yang tersusun rapi secara geometris. Kata "kawung" berasal dari bahasa Jawa yang berarti "aren" atau "kolang-kaling". Namun, ada juga interpretasi lain yang menyebutkan bahwa motif ini terinspirasi dari bunga teratai (lotus) dengan empat lembar mahkota bunga yang merekah. Bunga teratai dalam budaya Jawa melambangkan kemurnian, kesucian, dan umur panjang. Pada masa kerajaan Mataram, Batik Kawung merupakan motif yang hanya boleh digunakan oleh keluarga keraton. Motif ini melambangkan keadilan, kekuatan, dan pengendalian diri yang sempurna. Seorang raja yang mengenakan motif kawung diharapkan memiliki sifat-sifat tersebut dalam memimpin rakyatnya. Karakteristik utama Batik Kawung adalah: ▪ Pola geometris berupa lingkaran atau elips yang berpotongan ▪ Susunan yang teratur dan simetris ▪ Pengulangan motif yang konsisten ▪ Mengikuti aturan matematika yang teratur Makna Filosofis: Batik Kawung tidak hanya indah secara visual, tetapi juga sarat dengan makna filosofis. Empat bulatan yang berpotongan melambangkan empat arah mata angin, atau empat unsur kehidupan (tanah, air, api, angin), atau empat sifat manusia (amarah, keserakahan, nafsu, iri hati) yang harus dikendalikan. Pola yang teratur dan harmonis mengajarkan kita tentang keseimbangan dan keteraturan dalam kehidupan. b) Pola Matematis dalam Batik Kawung Jika kita mengamati dengan seksama susunan motif kawung pada selembar 4
kain batik, kita akan menemukan pola yang sangat menarik. Ketika motif- motif kawung disusun dalam baris horizontal, jumlah motif pada setiap baris cenderung mengikuti pola barisan aritmatika. Mari kita perhatikan contoh susunan motif kawung pada sebuah kain batik berukuran standar: Baris ke- Jumlah Motif Kawung Pola 1 2 2 2 4 2 + 2 3 6 2 + 2 + 2 4 8 2 + 2 + 2 + 2 5 10 2 + 2 + 2 + 2 + 2 Dari tabel di atas, kita dapat mengidentifikasi: • Suku pertama (a) = 2 motif • Beda (b) = 2 motif (setiap baris bertambah 2 motif) • Barisan yang terbentuk: 2, 4, 6, 8, 10 ... • Ini adalah barisan aritmatika dengan a = 2 dan b = 2 Kesimpulan: Susunan motif Batik Kawung membentuk barisan aritmatika yang menunjukkan bahwa nenek moyang kita telah menerapkan konsep matematika dalam menciptakan karya seni yang indah dan harmonis. Pola yang teratur ini tidak hanya memberikan nilai estetika, tetapi juga menunjukkan pemahaman mendalam tentang konsep bilangan dan pola. 5
c) Contoh Soal dan Pembahasan Seorang pengrajin batik membuat kain batik kawung dengan pola susunan motif. Pada baris pertama terdapat 3 motif, dan setiap baris berikutnya bertambah 3 motif. Jika kain batik tersebut memiliki 20 baris, tentukan jumlah motif kawung pada baris ke-20! Pembahasan: Langkah 1: Memahami informasi pada soal • Suku pertama (a) = 3 motif • Beda (b) = 3 motif • Nomor suku yang dicari (n) = 20 Langkah 2: Menentukan pola dan rumus yang digunakan Karena jumlah motif bertambah tetap sebanyak 3, maka pola tersebut merupakan barisan aritmatika. Rumus suku ke-𝑛 yang digunakan adalah: 𝑈ₙ = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 Langkah 3: Melakukan perhitungan 𝑈₂₀ = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 𝑈₂₀ = 3 + (20 − 1) × 3 𝑈₂₀ = 3 + 19 × 3 𝑈₂₀ = 3 + 57 𝑈₂₀ = 60 𝑚𝑜𝑡𝑖𝑓 Langkah 4: Memeriksa ketepatan hasil perhitungan sudah benar karena menggunakan rumus suku ke-𝑛 pada barisan aritmatika sesuai dengan pola pada soal. Penambahan motif juga konsisten, yaitu bertambah 3 pada setiap baris. Langkah 5: Menarik Kesimpulan Jadi, jumlah motif kawung pada baris ke-20 adalah 60 motif. BAGIAN 1: NITENI (Mengamati) 6
Dari kain batik pada Contoh Soal 1, berapa total motif kawung yang diperlukan untuk membuat 20 baris tersebut? Pembahasan: Langkah 1: Memahami informasi pada soal Diketahui: • Suku pertama (𝑎) = 3 • Beda (𝑏) = 3 • Banyak baris (𝑛) = 20 Yang ditanyakan adalah total seluruh motif dari baris pertama sampai baris ke-20. Langkah 2: Menentukan pola dan rumus yang digunakan Karena yang dicari adalah jumlah seluruh motif sampai 20 baris, maka digunakan rumus jumlah 𝑛suku pertama deret aritmatika: 𝑆ₙ = 𝑛 2 × (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) Langkah 3: Melakukan perhitungan 𝑆20 = 𝑛 2 × (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) 𝑆20 = 20 2 × (2 × 3 + (20 − 1) × 3) 𝑆₂₀ = 10 × (6 + 19 × 3) 𝑆₂₀ = 10 × 63 𝑆₂₀ = 630 𝑚𝑜𝑡𝑖𝑓 Langkah 4: Memeriksa ketepatan hasil Perhitungan sudah sesuai karena menggunakan rumus jumlah deret aritmatika. Nilai yang dimasukkan ke dalam rumus juga benar, yaitu 𝑎 = 3, 𝑏 = 3, dan 𝑛 = 20. Langkah 5: Menarik Kesimpulan Jadi, total motif kawung yang diperlukan untuk membuat 20 baris adalah 630 motif. BAGIAN 2: NIROKKE (MENIRUKAN) 7
Seorang pengrajin membuat kain batik kawung dengan pola susunan motif berbentuk barisan aritmatika. Pada baris pertama terdapat 5 motif dan setiap baris berikutnya bertambah 4 motif. Pengrajin tersebut ingin membuat kain batik dengan total motif tidak kurang dari 1.100 motif. Tentukan: a) Jumlah motif pada baris ke-25. b) Total motif hingga 25 baris. c) Apakah 25 baris sudah memenuhi target minimal 1.100 motif? Jelaskan alasanmu. d) Jika belum memenuhi target, tentukan minimal banyak baris yang harus dibuat pengrajin agar jumlah motif mencapai lebih dari 1.100 motif. Pembahasan: Langkah 1: Memahami informasi pada soal Diketahui: • Suku pertama (𝑎) = 5 • Beda (𝑏) = 4 • Banyak baris yang ditinjau (𝑛) = 25 • Target total motif minimal = 1.100 motif Yang ditanyakan: a) Suku ke-25 b) Jumlah 25 suku pertama c) Menentukan apakah target tercapai d) Menentukan minimal baris agar target terpenuhi Langkah 2: Menentukan pola dan rumus yang digunakan Karena pola bertambah tetap, maka termasuk barisan dan deret aritmatika. Rumus suku ke-𝑛: 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 Rumus jumlah 𝑛suku pertama: 𝑆𝑛 = 𝑛 2 (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) BAGIAN 3: NAMBAHI (MENAMBAHKAN) 8
Langkah 3: Melakukan perhitungan Menentukan jumlah motif pada baris ke-25: 𝑈25 = 5 + (25 − 1)4 𝑈25 = 5 + 24(4) 𝑈25 = 5 + 96 𝑈25 = 101 Jadi, jumlah motif pada baris ke-25 adalah 101 motif. Menentukan total motif hingga 25 baris: 𝑆25 = 25 2 (2(5) + (25 − 1)4) 𝑆25 = 25 2 (10 + 96) 𝑆25 = 25 2 (106) 𝑆25 = 25 × 53 𝑆25 = 1325 Langkah 4: Memeriksa dan menilai hasil Total motif hingga 25 baris adalah 1325 motif. Jumlah tersebut lebih besar dari target minimal 1100 motif. 1325 > 1100 Maka, 25 baris sudah memenuhi target yang diinginkan pengrajin. Langkah 5: Menarik kesimpulan a) Jumlah motif pada baris ke-25 adalah 101 motif. b) Total motif hingga 25 baris adalah 1325 motif. c) Karena total motif melebihi 1100, maka 25 baris sudah memenuhi target minimal motif yang diperlukan pengrajin. d) Sudah memenuhi target 9
2. CANDI PRAMBANAN a) Pengenalan Candi Prambanan Candi Prambanan atau Candi Rara Jonggrang adalah kompleks candi Hindu terbesar di Indonesia yang dibangun pada abad ke-9 Masehi pada masa pemerintahan Rakai Pikatan dari Wangsa Sanjaya. Kompleks candi ini terletak di perbatasan Provinsi Jawa Tengah dan Daerah Istimewa Yogyakarta, sekitar 17 kilometer timur laut Kota Yogyakarta. Candi Prambanan merupakan kompleks candi Hindu yang didedikasikan untuk Trimurti, yaitu tiga dewa utama dalam agama Hindu: Brahma sebagai dewa pencipta, Wisnu sebagai dewa pemelihara, dan Siwa sebagai dewa pemusnah. Kompleks candi ini memiliki tiga candi utama yang menjulang tinggi yang dipersembahkan untuk ketiga dewa tersebut, dengan Candi Siwa sebagai candi utama yang tertinggi mencapai 47 meter. Pada tahun 1991, Candi Prambanan ditetapkan sebagai Situs Warisan Dunia UNESCO. Penetapan ini mengakui nilai universal yang luar biasa dari kompleks candi ini, baik dari segi arsitektur, seni pahat, maupun signifikansi budayanya. Arsitektur Candi Prambanan menunjukkan kecanggihan teknik bangunan pada masa itu. Struktur candi yang menjulang tinggi dengan tingkatan-tingkatan yang semakin mengecil ke atas menunjukkan pemahaman yang baik tentang prinsip-prinsip teknik sipil dan estetika. Karakteristik arsitektur Candi Prambanan: • Struktur bertingkat yang menjulang ke atas • Setiap tingkat memiliki ukuran yang mengecil secara teratur • Dihiasi dengan relief-relief yang menceritakan kisah Ramayana • Menggunakan sistem proporsi dan simetri yang sempurna • Setiap tingkat memiliki jumlah elemen dekoratif yang mengikuti pola matematis Makna Simbolis: Struktur bertingkat pada candi melambangkan perjalanan spiritual dari dunia manusia menuju alam dewata. Semakin ke atas, tingkatan candi semakin mengecil, melambangkan semakin dekatnya dengan kesempurnaan spiritual. Pengurangan ukuran yang teratur pada setiap tingkat tidak hanya memiliki makna filosofis, tetapi juga menunjukkan penerapan konsep matematika yang cermat. 10
b) Pola Matematis pada Struktur Candi Prambanan Jika kita mengamati struktur tingkatan pada Candi Prambanan, kita akan menemukan bahwa terdapat pola matematika yang menarik pada jumlah ornamen atau ukuran setiap tingkat. Untuk mempermudah pemahaman, mari kita gunakan contoh sederhana dari jumlah batu pada setiap tingkat candi. Misalkan kita mengamati jumlah batu pada sebuah bagian dari struktur candi: Tingkat Batu Pola 1 (Dasar) 52 52 2 48 52 - 4 3 44 52 - 4 - 4 4 40 52 - 4 - 4 - 4 5 36 52 - 4 - 4 - 4 - 4 6 32 52 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 Dari tabel di atas, kita dapat mengidentifikasi: • Suku pertama (a) = 52 batu • Beda (b) = -4 batu (setiap tingkat berkurang 4 batu) • Barisan yang terbentuk: 52, 48, 44, 40, 36, 32, ... • Ini adalah barisan aritmatika turun dengan a = 52 dan b = -4 Kesimpulan: Struktur bertingkat Candi Prambanan menunjukkan penerapan barisan aritmatika turun. Pengurangan jumlah elemen secara teratur pada setiap tingkat tidak hanya menciptakan kesan visual yang harmonis, tetapi juga menunjukkan pemahaman mendalam tentang proporsi dan keseimbangan. Arsitek candi pada masa itu telah menerapkan konsep matematika dengan sangat baik untuk menciptakan struktur yang tidak hanya kokoh secara teknis, tetapi juga indah secara estetis. 11
c) Contoh Soal dan Pembahasan Jika kita mengamati struktur tingkatan pada Candi Prambanan, kita akan menemukan pola matematika pada jumlah batu di setiap tingkat. Diketahui jumlah batu pada tingkat pertama adalah 52 batu dan setiap tingkat berikutnya berkurang 4 batu. Jika struktur candi memiliki 10 tingkat, tentukan jumlah batu pada tingkat ke-10! Pembahasan: Langkah 1: Memahami informasi pada soal Diketahui: • Suku pertama (𝑎) = 52 • Beda (𝑏) = −4 • Tingkat yang dicari (𝑛) = 10 Pola tersebut merupakan barisan aritmatika turun karena jumlah batu selalu berkurang 4 pada setiap tingkat. Langkah 2: Menentukan pola dan rumus yang digunakan Untuk menentukan jumlah batu pada tingkat ke-10 digunakan rumus suku ke-𝑛: 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 Langkah 3: Melakukan perhitungan 𝑈10 = 52 + (10 − 1)(−4) 𝑈10 = 52 + 9(−4) 𝑈10 = 52 − 36 𝑈10 = 16 Langkah 4: Memeriksa ketepatan hasil Hasil perhitungan sudah benar karena setiap tingkat memang berkurang 4 batu. Penggunaan rumus suku ke-𝑛 juga sesuai dengan pertanyaan pada soal, yaitu mencari jumlah batu pada tingkat tertentu. Langkah 5: Menarik kesimpulan Jadi, jumlah batu pada tingkat ke-10 adalah 16 batu. 12 BAGIAN 1: NITENI (Mengamati)
Berapa total batu yang digunakan dari tingkat 1 (dasar) sampai tingkat ke-10? Pembahasan: Langkah 1: Memahami informasi pada soal Diketahui: • Suku pertama (𝑎) = 52batu • Beda (𝑏) = −4batu • Banyak tingkat (𝑛) = 10 Yang ditanyakan adalah total batu dari tingkat pertama sampai tingkat ke-10. Langkah 2: Menentukan pola dan rumus yang digunakan Karena yang dicari adalah jumlah seluruh batu dari tingkat 1 sampai tingkat 10, maka digunakan rumus jumlah deret aritmatika: 𝑆𝑛 = 𝑛 2 (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) Langkah 3: Melakukan perhitungan 𝑆10 = 10 2 (2(52) + (10 − 1)(−4)) 𝑆10 = 5(104 + 9(−4)) 𝑆10 = 5(104 − 36) 𝑆10 = 5(68) 𝑆10 = 340 Langkah 4: Memeriksa ketepatan hasil Perhitungan sudah benar karena menggunakan rumus jumlah deret aritmatika sesuai dengan informasi yang diketahui pada soal, yaitu suku pertama, beda, dan banyak tingkat. Pengurangan jumlah batu pada setiap tingkat juga konsisten sebesar 4 batu. Langkah 5: Menarik kesimpulan Jadi, total batu yang digunakan dari tingkat 1 sampai tingkat ke-10 adalah 340 batu. BAGIAN 2: NIROKKE (MENIRUKAN) 13
Dalam pembuatan miniatur Candi Prambanan, seorang arsitek merancang jumlah ornamen pada setiap tingkat membentuk barisan aritmatika turun. Tingkat pertama memiliki 72 ornamen dan setiap tingkat berikutnya berkurang dengan jumlah yang sama. Jika pada tingkat ke-12 jumlah ornamen tersisa 28, tentukan: a) Beda antar tingkat. b) Jumlah seluruh ornamen dari tingkat pertama sampai tingkat ke-12. c) Apakah total ornamen tersebut melebihi 600? Jelaskan alasanmu. Pembahasan : Langkah 1: Memahami informasi pada soal Diketahui: • Suku pertama (𝑎) = 72 • Suku ke-12 (𝑈12) = 28 • Banyak tingkat (𝑛) = 12 Yang ditanyakan: a) Beda (𝑏) b) Jumlah seluruh ornamen sampai tingkat ke-12 c) Menentukan apakah total ornamen melebihi 600 Langkah 2: Menentukan pola dan rumus yang digunakan Karena jumlah ornamen berkurang secara tetap, maka pola tersebut merupakan barisan aritmatika turun. Untuk mencari beda digunakan rumus: 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 Untuk mencari jumlah seluruh ornamen digunakan rumus deret aritmatika: 𝑆𝑛 = 𝑛 2 (𝑎 + 𝑈𝑛) Langkah 3: Melakukan perhitungan Menentukan beda: 𝑈12 = 𝑎 + (12 − 1)𝑏 28 = 72 + 11𝑏 28 − 72 = 11𝑏 −44 = 11𝑏 𝑏 = −4 Jadi, beda antar tingkat adalah −4. BAGIAN 3: NAMBAHI (MENAMBAHKAN) 14
Menentukan jumlah seluruh ornamen: 𝑆12 = 12 2 (72 + 28) 𝑆12 = 6(100) 𝑆12 = 600 Langkah 4: Memeriksa ketepatan hasil Hasil menunjukkan bahwa setiap tingkat berkurang 4 ornamen secara teratur sehingga sesuai dengan konsep barisan aritmatika turun. Total seluruh ornamen yang diperoleh adalah 600, sehingga tidak melebihi 600 karena nilainya tepat sama dengan 600. Langkah 5: Menarik kesimpulan a) Beda antar tingkat adalah -4 ornamen. b) Jumlah seluruh ornamen dari tingkat pertama sampai tingkat ke-12 adalah 600 ornamen. c) Total ornamen tidak melebihi 600, karena hasilnya tepat 600 ornamen. 15
KESIMPULAN Melalui pembelajaran barisan dan deret aritmatika dengan pendekatan etnomatematika, kita telah melihat bagaimana konsep matematika tidak terpisah dari kehidupan dan budaya masyarakat. Batik Kawung dan Candi Prambanan adalah contoh nyata bagaimana nenek moyang kita telah menerapkan prinsip-prinsip matematika dalam menciptakan karya seni dan arsitektur yang megah. Pembelajaran ini juga melatih peserta didik untuk tidak sekadar menghafal rumus, melainkan berpikir kritis dalam menemukan dan memaknai pola yang ada di sekitar mereka. Beberapa kesimpulan penting yang dapat kita ambil: • Barisan Aritmatika: adalah suatu barisan bilangan dengan selisih tetap (beda) antar suku berurutan. Rumus suku ke-n: 𝑈ₙ = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 • Deret Aritmatika: adalah jumlah dari suku-suku barisan aritmatika. Rumus jumlah n suku pertama: 𝑆ₙ = 𝑛 2 × (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) atau 𝑆ₙ = 𝑛 2 × (𝑎 + 𝑈ₙ) • Etnomatematika: Batik Kawung menunjukkan penerapan barisan aritmatika naik, di mana jumlah motif bertambah secara teratur pada setiap baris. Sementara itu, Candi Prambanan menunjukkan penerapan barisan aritmatika turun, di mana jumlah elemen berkurang secara teratur pada setiap tingkat. Keduanya membuktikan bahwa nenek moyang kita telah menerapkan konsep matematika secara cermat dalam menciptakan karya yang harmonis, proporsional, dan sarat makna. • Pendekatan Tri-N: Pembelajaran dalam bahan ajar ini menggunakan tiga tahap, yaitu Niteni (Mengamati pola), Nirokke (Menirukan penyelesaian), dan Nambahi (Mengembangkan dengan soal yang lebih kompleks). Ketiga tahap ini mendorong proses belajar yang bertahap, aktif, dan bermakna. • Berpikir Kritis: Melalui pendekatan Tri-N dan etnomatematika, peserta didik dilatih untuk menganalisis pola, mengevaluasi ketepatan hasil, dan menarik kesimpulan berdasarkan bukti. Kemampuan ini tidak hanya berguna dalam matematika, tetapi juga dalam menghadapi berbagai permasalahan nyata di kehidupan sehari-hari. Dengan memahami konsep barisan dan deret aritmatika melalui konteks budaya Indonesia, diharapkan pembelajaran matematika menjadi lebih bermakna dan kontekstual. Matematika bukan lagi sekadar rumus dan angka yang abstrak, melainkan alat untuk memahami dan mengapresiasi keindahan serta kearifan yang terkandung dalam warisan budaya kita. Mari kita terus mengeksplorasi dan melestarikan kekayaan budaya Indonesia sambil mengembangkan pemahaman matematika yang mendalam. 16
LATIHAN SOAL Kerjakan soal-soal berikut dengan teliti! Tunjukkan semua langkah pengerjaan Anda. 1. Seorang pengrajin batik membuat kain batik kawung dengan susunan motif: baris pertama 7 motif, baris kedua 11 motif, baris ketiga 15 motif, dan seterusnya mengikuti pola yang sama. a) Tentukan banyak motif pada baris ke-12! b) Tentukan total motif yang diperlukan untuk membuat 15 baris pertama! 2. Dalam sebuah pameran batik, terdapat kain batik kawung dengan pola khusus. Baris ke-4 memiliki 23 motif dan baris ke-8 memiliki 39 motif. a) Tentukan banyak motif pada baris pertama! b) Tentukan beda antar baris! c) Tentukan banyak motif pada baris ke-15! 3. Seorang desainer batik ingin membuat koleksi kain batik kawung dengan total 450 motif. Jika baris pertama berisi 5 motif dan setiap baris bertambah 3 motif, berapa banyak baris yang dapat dibuat? 4. Pada sebuah kain batik kawung tradisional, jumlah motif pada 10 baris pertama adalah 240 motif. Jika baris pertama memiliki 6 motif, tentukan banyak motif pada baris terakhir (baris ke-10)! 5. Dalam pembuatan seragam batik untuk sebuah acara, diperlukan kain dengan pola kawung dimana baris ke-5 memiliki 29 motif. Jika setiap baris bertambah 4 motif dari baris sebelumnya, berapa total motif yang ada pada 12 baris pertama? 6. Pada struktur sebuah miniatur candi, tingkat dasar memiliki 70 ornamen dan setiap tingkat berikutnya berkurang 6 ornamen. a) Berapa banyak ornamen pada tingkat ke-8? b) Berapa total ornamen yang digunakan dari tingkat 1 sampai tingkat 8? 7. Sebuah candi memiliki 12 tingkat. Tingkat dasar memiliki 84 batu dan tingkat paling atas memiliki 28 batu. Jika pengurangan batu setiap tingkat sama, berapa pengurangan batu per tingkat? 8. Dalam renovasi sebuah situs candi, arsitek menghitung bahwa total batu hias yang digunakan untuk 9 tingkat pertama adalah 513 buah. Jika tingkat dasar menggunakan 77 batu hias dan setiap tingkat berkurang 5 batu hias, tentukan banyak batu hias pada tingkat ke-9! 17
9. Pada tingkat ke-3 sebuah struktur candi terdapat 46 ukiran, sedangkan pada tingkat ke-7 terdapat 30 ukiran. Jika pola ukiran mengikuti barisan aritmatika: a) Tentukan banyak ukiran pada tingkat dasar! b) Pada tingkat ke berapa ukiran berjumlah 18 buah? 10. Sebuah proyek pembuatan miniatur candi memerlukan total 495 ornamen untuk 11 tingkat. Jika tingkat paling atas memiliki 15 ornamen dan pengurangan ornamen setiap tingkat sama, berapa banyak ornamen pada tingkat dasar? 11. Sebuah sanggar seni membuat galeri dengan dinding yang dihiasi batik kawung dan miniatur candi. Pada dinding batik, baris pertama memiliki 10 motif dan bertambah 6 motif setiap baris. Pada dinding miniatur candi, tingkat dasar memiliki 50 ornamen dan berkurang 4 ornamen setiap tingkat. Jika kedua karya seni tersebut memiliki 8 baris/tingkat, manakah yang memiliki total elemen lebih banyak? 12. Dalam sebuah museum, terdapat replika batik kawung dan candi prambanan. Total motif batik pada 6 baris pertama sama dengan total batu candi pada 5 tingkat pertama, yaitu 120 elemen. Jika batik memiliki beda 5 motif per baris dan candi memiliki beda -6 batu per tingkat, tentukan masing-masing suku pertamanya! 13. Seorang peneliti budaya mencatat bahwa pada tahun pertama, sebuah komunitas pengrajin batik menghasilkan 15 lembar kain batik kawung. Setiap tahun berikutnya, produksi bertambah 8 lembar. Pada saat yang sama, jumlah candi yang direnovasi dimulai dari 25 candi pada tahun pertama dan berkurang 3 candi setiap tahun. Pada tahun ke berapa jumlah produksi batik sama dengan jumlah candi yang direnovasi? ~ Selamat Mengerjakan ~ Ingat: Tunjukkan semua langkah pengerjaanmu dengan rapi dan sistematis! 18