bilngan komplek

Bilangan Kompleks Pocket Book - Buku Saku Matematika

DAFTAR ISILEVEL 1 - Aljabar Bilangan Kompleks ... 3 LEVEL 2 - Nilai Mutlak & Konjugat ...... 5 LEVEL 3 - Bentuk Polar ...................... 7 LEVEL 4 - Bentuk Eksponen .............. 9 LEVEL 5 - Akar & Pangkat ................ 11 LEVEL 6 - Fungsi Variabel Kompleks . 13 LEVEL 7 - Limit & Kontinuitas ............ 15 LEVEL 8 - Turunan ............................... 17 LEVEL 9 - Persamaan Cauchy-Riemann 19

3 Komutatif: z1 + z2 = z2 + z1 | Asosiatif: (z1+z2)+z3 = z1+(z2+z3) | Distributif: z1(z2+z3) = z1.z2 + z1.z3 SIFAT-SIFAT ALJABAR (a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)+(bc-ad)i] / (c^2+d^2) Kalikan dengan konjugat penyebut Pembagian (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i Contoh: (5+3i) - (2+i) = 3+2i Pengurangan (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i Contoh: (2+3i)(1+2i) = -4+7i Perkalian (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i Contoh: (3+2i) + (1+4i) = 4+6i Penjumlahan OPERASI BILANGAN KOMPLEKS Bilangan kompleks z didefinisikan sebagai z = a + bi dengan a = bagian real (Re), b = bagian imajiner (Im), dan i = akar(-1) DEFINISI BILANGAN KOMPLEKSAyo pelajari konsep ini! 1. Memahami definisi z = a + bi 2. Operasi penjumlahan & pengurangan 3. Operasi perkalian & pembagian 4. Sifat-sifat aljabar bilangan kompleks MISI PEMBELAJARAN Aljabar Bilangan Kompleks LEVEL 1

LEVEL 1 Contoh Soal & Latihan MISI: Selesaikan Soal! Kerjakan contoh soal berikut untuk naik ke Level 2! Setiap soal = +100 XPKerjakan latihan ini! CONTOH SOAL 1 Tentukan hasil dari (3+2i)(4-i) Penyelesaian: (3+2i)(4-i) = 12 - 3i + 8i - 2i^2 = 12 + 5i - 2(-1) = 12 + 5i + 2 = 14 + 5i CONTOH SOAL 2 Tentukan hasil dari (2+3i)/(1-i) Penyelesaian: = (2+3i)(1+i) / (1-i)(1+i) = (2+2i+3i+3i^2) / (1+1) = (2+5i-3) / 2 = (-1+5i) / 2 = -1/2 + 5/2 i LATIHAN 1.1 - Selesaikan untuk mendapat XP! Kerjakan soal-soal berikut di buku catatanmu! Soal Penjumlahan & Pengurangan 1. (4+5i) + (3-2i) = ... 2. (7+i) - (3+4i) = ... 3. (2-6i) + (-1+3i) = ... Soal Perkalian & Pembagian 4. (2+i)(3+2i) = ... 5. (5-2i)(1+3i) = ... 6. (4+i)/(2-i) = ... TIPS DARI ZOMBIE Untuk pembagian, selalu kalikan pembilang dan penyebut dengan KONJUGAT penyebut. Konjugat dari (a+bi) adalah (a-bi). Ini akan menghilangkan i dari penyebut! Ingat: i^2 = -1 | i^3 = -i | i^4 = 1 (pola berulang setiap 4) 4

LEVEL 2 Nilai Mutlak & Konjugat Kompleks MISI PEMBELAJARAN 1. Memahami nilai mutlak |z| 2. Menghitung jarak dua bilangan 3. Memahami konjugat kompleks 4. Sifat-sifat konjugat & modulusJangan lupa rumus penting! DEFINISI NILAI MUTLAK (MODULUS) Nilai mutlak bilangan kompleks z = a + bi didefinisikan sebagai: |z| = sqrt(a^2 + b^2) yang merupakan jarak z dari titik asal O(0,0) Konjugat Kompleks Konjugat dari z = a + bi adalah: z_bar = a - bi Contoh: z = 3+4i, z_bar = 3-4i Jarak Dua Bilangan Jarak antara z1 dan z2: d = |z1 - z2| = sqrt((a1-a2)^2 + (b1-b2)^2) Contoh: |z1-z2| dengan z1=1+i, z2=4+5i SIFAT-SIFAT PENTING 1. |z|^2 = z . z_bar = a^2 + b^2 2. z + z_bar = 2a (bagian real) 3. z - z_bar = 2bi (bagian imajiner) 4. |z1 . z2| = |z1| . |z2| 5. |z1/z2| = |z1| / |z2| INTERPRETASI GEOMETRIS Pada bidang kompleks: sumbu-x = bagian real, sumbu-y = bagian imajiner |z - z0| = r membentuk lingkaran berpusat di z0 dengan jari-jari r Contoh: |z - (2+i)| = 3 adalah lingkaran berpusat (2,1) jari-jari 3 5

LEVEL 2 Contoh Soal & Latihan MISI: Hitung Modulus! Selesaikan soal modulus dan konjugat untuk naik ke Level 3! Setiap soal = +150 XPJangan lupa rumus penting! CONTOH SOAL 1 Tentukan |z| jika z = 3 + 4i Penyelesaian: |z| = sqrt(a^2 + b^2) |z| = sqrt(9 + 16) |z| = sqrt(25) = 5 CONTOH SOAL 2 Tentukan konjugat dan |z|^2 jika z = 2 - 5i Penyelesaian: z_bar = 2 + 5i |z|^2 = z . z_bar = (2-5i)(2+5i) = 4 + 25 = 29 LATIHAN 1.2 - Selesaikan untuk mendapat XP! Kerjakan soal-soal berikut di buku catatanmu! Soal Modulus 1. Tentukan |z| jika z = 5 + 12i 2. Tentukan |z| jika z = -3 + 4i 3. Buktikan |z1.z2| = |z1|.|z2| Soal Konjugat & Jarak 4. Tentukan z_bar jika z = -2+7i 5. Hitung jarak z1=1+i dan z2=4+5i 6. Gambarkan |z-(1+2i)|=2 TIPS DARI ZOMBIE Modulus |z| selalu bernilai positif atau nol (tidak pernah negatif). |z - z0| = r adalah persamaan lingkaran pada bidang kompleks. Gunakan sifat |z|^2 = z . z_bar untuk menyederhanakan! 6

LEVEL 3 Bentuk Polar (Kutub) MISI PEMBELAJARAN 1. Konversi Kartesian ke Polar 2. Memahami argumen (arg z) 3. Perkalian & pembagian polar 4. Teorema De MoivreSaatnya eksplorasi polar! BENTUK POLAR BILANGAN KOMPLEKS z = r(cosθ + i sinθ) = r cis θ dengan r = |z| = √(a²+b²) dan θ = arg(z) = arctan(b/a) Argumen (arg z) arg(z) = θ + 2kπ, k bilangan bulat Arg(z) = nilai utama, -π < θ ≤ π Kuadran I: θ = arctan(b/a) Kuadran II: θ = π - arctan(|b/a|) Contoh Konversi z = -1 + √3 i r = √(1+3) = 2 θ = arctan(√3/(-1)) = 2π/3 z = 2 cis(2π/3) PERKALIAN & PEMBAGIAN BENTUK POLAR z1 · z2 = r1·r2 cis(θ1 + θ2) | z1 / z2 = (r1/r2) cis(θ1 - θ2) Modulus dikalikan/dibagi, argumen dijumlahkan/dikurangkan TEOREMA DE MOIVRE z^n = r^n (cos nθ + i sin nθ) = r^n cis(nθ) Contoh: (1+i)^6 → r=√2, θ=π/4 → (√2)^6 cis(6π/4) = 8 cis(3π/2) = -8i TIPS DARI ZOMBIE Perhatikan kuadran saat menentukan θ! Fungsi arctan hanya memberi sudut di kuadran I dan IV. Untuk kuadran II/III, sesuaikan dengan menambah/mengurangi π. 7

LEVEL 3 Contoh Soal & Latihan MISI: Konversi ke Polar! Selesaikan konversi bentuk polar untuk naik ke Level 4! Setiap soal = +200 XPKerjakan latihan ini! CONTOH SOAL 1 Nyatakan z = -1 + sqrt(3)i dalam bentuk polar Penyelesaian: r = sqrt(1+3) = 2 tan θ = sqrt(3)/(-1), kuadran II θ = π - π/3 = 2π/3 z = 2 cis(2π/3) CONTOH SOAL 2 Hitung (1+i)^8 menggunakan Teorema De Moivre Penyelesaian: r = sqrt(2), θ = π/4 z^8 = (sqrt(2))^8 cis(8.π/4) = 16 cis(2π) = 16(cos2π + i sin2π) = 16 LATIHAN 1.3 - Selesaikan untuk mendapat XP! Kerjakan soal-soal berikut di buku catatanmu! Soal Konversi Polar 1. Nyatakan z=1-i dalam polar 2. Nyatakan z=-3-3sqrt(3)i dalam polar 3. Tentukan Arg(z) jika z=-2+2i Soal De Moivre 4. Hitung (sqrt(3)+i)^5 5. Hitung (-1+i)^10 6. Sederhanakan (cos π/6+i sin π/6)^12 TIPS DARI ZOMBIE De Moivre sangat berguna untuk menghitung pangkat tinggi bilangan kompleks! Ubah ke polar dulu, lalu pangkatkan r dan kalikan θ dengan n. Ingat: cis(2π) = cis(0) = 1, jadi sederhanakan sudut modulo 2π. 8

LEVEL 4 1. Memahami rumus Euler 2. Konversi ke bentuk eksponen 3. Operasi dalam bentuk eksponen 4. Hubungan polar dan eksponen Bentuk Eksponen MISI PEMBELAJARANAyo jelajahi gua ini! RUMUS EULER e^(iθ) = cos θ + i sin θ Bentuk eksponen: z = r.e^(iθ) dengan r = |z| dan θ = arg(z) Konversi ke Eksponen z = a + bi (Kartesian) z = r cis θ (Polar) z = r.e^(iθ) (Eksponen) Semua bentuk ekuivalen! Contoh Konversi z = 1 + i r = sqrt(2), θ = π/4 Bentuk eksponen: z = sqrt(2) . e^(iπ/4) OPERASI BENTUK EKSPONEN Perkalian: z1.z2 = r1.r2 . e^(i(θ1+θ2)) Pembagian: z1/z2 = (r1/r2) . e^(i(θ1-θ2)) Pangkat: z^n = r^n . e^(inθ) HUBUNGAN DENGAN DE MOIVRE (e^(iθ))^n = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ) Contoh: (e^(iπ/3))^6 = e^(i2π) = 1 TIPS DARI ZOMBIE Bentuk eksponen paling ringkas untuk operasi perkalian, pembagian, dan pangkat. Gunakan e^(iπ) = -1 (identitas Euler) sebagai cek cepat! 9

LEVEL 4 Contoh Soal & Latihan MISI: Kuasai Eksponen! Selesaikan soal bentuk eksponen untuk naik ke Level 5! Setiap soal = +250 XPAyo selesaikan misi! CONTOH SOAL 1 Nyatakan z = 2+2i dalam bentuk eksponen Penyelesaian: r = sqrt(4+4) = 2sqrt(2) θ = arctan(2/2) = π/4 z = 2sqrt(2) . e^(iπ/4) CONTOH SOAL 2 Hitung z1.z2 jika z1 = 3e^(iπ/6), z2 = 2e^(iπ/3) Penyelesaian: z1.z2 = 3.2 . e^(i(π/6+π/3)) = 6 . e^(iπ/2) = 6(cos π/2 + i sin π/2) = 6i LATIHAN 1.3 - Selesaikan untuk mendapat XP! Kerjakan soal-soal berikut di buku catatanmu! Soal Konversi Eksponen 1. Nyatakan z=1-sqrt(3)i dalam eksponen 2. Nyatakan z=-4i dalam eksponen 3. Ubah 5e^(iπ/6) ke bentuk a+bi Soal Operasi Eksponen 4. Hitung (2e^(iπ/4))^3 5. Hitung 4e^(iπ/3) / 2e^(iπ/6) 6. Sederhanakan e^(i5π/4) ke a+bi TIPS DARI ZOMBIE Untuk mengubah e^(iθ) ke a+bi, gunakan: a = r.cos θ dan b = r.sin θ Ingat sudut-sudut istimewa: π/6=30°, π/4=45°, π/3=60°, π/2=90° 10

LEVEL 5 Akar & Pangkat Bilangan Kompleks MISI PEMBELAJARAN 1. Mencari akar ke-n bilangan kompleks 2. Menggunakan De Moivre untuk akar 3. Akar-akar satuan (roots of unity) 4. Interpretasi geometris akarSaatnya enchanting! RUMUS AKAR KE-N BILANGAN KOMPLEKS w = z^(1/n) = r^(1/n) cis((θ + 2kπ)/n), k = 0, 1, 2, ..., n-1 Akar ke-n menghasilkan tepat n nilai berbeda yang tersebar merata pada lingkaran Contoh: Akar ke-3 Tentukan akar ke-3 dari z = 8i r = 8, θ = π/2 w_k = 8^(1/3) cis((π/2 + 2kπ)/3) w0 = 2 cis(π/6) = sqrt(3) + i w1 = 2 cis(5π/6) = -sqrt(3) + i w2 = 2 cis(3π/2) = -2i Akar-akar Satuan Akar ke-n dari 1: w_k = cis(2kπ/n), k=0,1,...,n-1 Contoh akar ke-4 dari 1: w0=1, w1=i, w2=-1, w3=-i Membentuk persegi pada lingkaran satuan PANGKAT BILANGAN KOMPLEKS z^n = r^n cis(nθ) = r^n e^(inθ) Contoh: (1+i)^10 = (sqrt(2))^10 cis(10.π/4) = 32 cis(5π/2) = 32 cis(π/2) = 32i INTERPRETASI GEOMETRIS Akar ke-n dari z membentuk n titik yang tersebar merata pada lingkaran berjari-jari r^(1/n) dengan sudut antar titik = 2π/n (360°/n) Contoh: akar ke-5 membentuk pentagon beraturan TIPS DARI ZOMBIE Selalu cek: jumlah akar ke-n harus tepat n buah! Jika kurang, periksa nilai k. Gambar lingkaran untuk memvisualisasikan posisi akar-akar. 11

LEVEL 5 Contoh Soal & Latihan MISI: Temukan Akar! Selesaikan soal akar & pangkat untuk naik ke Level 6! Setiap soal = +300 XPEnchant soal ini! CONTOH SOAL 1 Tentukan akar ke-5 dari z = -32 Penyelesaian: r = 32, θ = π (karena z negatif real) w_k = 32^(1/5) cis((π+2kπ)/5) = 2 cis((π+2kπ)/5), k=0,1,2,3,4 w0 = 2cis(π/5), w1 = 2cis(3π/5) w2 = 2cis(π) = -2 w3 = 2cis(7π/5), w4 = 2cis(9π/5) CONTOH SOAL 2 Tentukan akar ke-3 dari z = sqrt(2) + sqrt(2)i Penyelesaian: r = sqrt(2+2) = 2, θ = π/4 w_k = 2^(1/3) cis((π/4+2kπ)/3) w0 = 2^(1/3) cis(π/12) w1 = 2^(1/3) cis(3π/4) w2 = 2^(1/3) cis(17π/12) LATIHAN 1.4 - Selesaikan untuk mendapat XP! Kerjakan soal-soal berikut di buku catatanmu! Soal Akar 1. Tentukan akar ke-4 dari z = 16 2. Tentukan akar ke-3 dari z = -8i 3. Tentukan akar ke-6 dari z = 1 Soal Pangkat 4. Hitung (1-i)^12 5. Hitung (sqrt(3)-i)^6 6. Sederhanakan (cis π/8)^16 TIPS DARI ZOMBIE Akar ke-n dari bilangan real positif r selalu punya satu akar real positif r^(1/n). Untuk memverifikasi jawaban, pangkatkan kembali hasilnya! Akar ke-n dari 1 (roots of unity) adalah dasar untuk memahami semua akar. 12

LEVEL 6 Fungsi Variabel Kompleks MISI PEMBELAJARAN 1. Definisi fungsi variabel kompleks 2. Memisahkan bagian real & imajiner 3. Contoh fungsi w = f(z) 4. Domain dan range fungsi kompleksAyo jelajahi Village! DEFINISI FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) dengan z = x + iy, u = bagian real, v = bagian imajiner dari f(z) Contoh 1: f(z) = z² f(z) = (x+iy)² = x²-y² + 2xyi u(x,y) = x² - y² v(x,y) = 2xy Contoh: f(1+2i) = (1+2i)² = 1-4+4i = -3+4i Contoh 2: f(z) = z² + 2z f(z) = (x+iy)² + 2(x+iy) = x²-y²+2x + i(2xy+2y) u(x,y) = x² - y² + 2x v(x,y) = 2xy + 2y = 2y(x+1) Contoh: f(i) = -1+2i+2i = -1+4i DOMAIN DAN RANGE Domain f(z): himpunan semua z di mana f(z) terdefinisi Range f(z): himpunan semua w = f(z) untuk z dalam domain Contoh: f(z) = 1/z → domain: semua z ≠ 0, range: semua w ≠ 0 LATIHAN 2.1 - Fungsi Kompleks 1. Tentukan u(x,y) dan v(x,y) dari f(z) = z³ 2. Tentukan u dan v dari f(z) = (z-1)/(z+1) 3. Hitung f(1+i) jika f(z) = z² - 2z + 3 TIPS DARI ZOMBIE Untuk memisahkan u dan v, substitusi z = x+iy lalu kembangkan! Kelompokkan suku real (tanpa i) sebagai u, dan koefisien i sebagai v. 13

LEVEL 7 Limit & Kontinuitas MISI PEMBELAJARAN 1. Definisi limit fungsi kompleks 2. Sifat-sifat limit 3. Definisi kontinuitas 4. Contoh pembuktian limitJelajahi hutan limit! DEFINISI LIMIT FUNGSI KOMPLEKS lim f(z) = L artinya: untuk setiap ε > 0, terdapat δ > 0 z→z₀ sehingga |f(z) - L| < ε bila 0 < |z - z₀| < δ CONTOH 1 Buktikan lim (z² + 2z) = 3+4i z→1+i Bukti: f(z) = z²+2z, z₀ = 1+i f(1+i) = (1+i)²+2(1+i) = 1+2i-1+2+2i = 2+4i... Gunakan |f(z)-L| < ε dengan memilih δ yang sesuai. DEFINISI KONTINUITAS f(z) kontinu di z₀ jika: 1. f(z₀) terdefinisi 2. lim f(z) ada z→z₀ 3. lim f(z) = f(z₀) z→z₀ Jika salah satu tidak dipenuhi, f(z) diskontinu di z₀. SIFAT-SIFAT LIMIT Jika lim f(z) = A dan lim g(z) = B, maka: lim [f(z)±g(z)] = A±B | lim [f(z)·g(z)] = A·B | lim [f(z)/g(z)] = A/B (B≠0) LATIHAN - Limit & Kontinuitas 1. Buktikan lim (3z-2) = 1+3i untuk z→1+i 2. Tentukan apakah f(z) = |z|² kontinu di z = 0 3. Hitung lim (z²-1)/(z-1) untuk z→1 TIPS DARI ZOMBIE Limit fungsi kompleks harus sama dari SEMUA arah mendekati z₀! Berbeda dengan limit real yang hanya dari kiri dan kanan. 14

LEVEL 8 Turunan Fungsi Kompleks MISI PEMBELAJARAN 1. Definisi turunan fungsi kompleks 2. Aturan turunan (jumlah, kali, bagi) 3. Contoh menghitung turunan 4. Syarat terdiferensiasiHadapi Boss Turunan! DEFINISI TURUNAN f'(z₀) = lim [f(z₀+Δz) - f(z₀)] / Δz Δz→0 Jika limit ini ada, f(z) terdiferensiasi di z₀ ATURAN DIFERENSIASI 1. [f(z) ± g(z)]' = f'(z) ± g'(z) 2. [f(z) · g(z)]' = f'(z)g(z) + f(z)g'(z) 3. [f(z)/g(z)]' = [f'(z)g(z) - f(z)g'(z)] / [g(z)]² 4. [f(g(z))]' = f'(g(z)) · g'(z) (aturan rantai) CONTOH 1 f(z) = z³ - 2z + 1 f'(z) = 3z² - 2 f'(1+i) = 3(1+i)² - 2 = 3(2i) - 2 = -2 + 6i CONTOH 2 f(z) = (z²-1)/(z²+1) f'(z) = [2z(z²+1)-2z(z²-1)]/(z²+1)² = 4z/(z²+1)² f'(i) = 4i/(i²+1)² = 4i/0 → tidak terdefinisi di z=i LATIHAN - Turunan 1. Tentukan f'(z) jika f(z) = z⁴ - 3z² + 2z 2. Hitung f'(1-i) jika f(z) = z³ + iz 3. Tentukan titik di mana f(z) = |z|² terdiferensiasi TIPS DARI ZOMBIE f(z) = |z|² TIDAK terdiferensiasi di mana pun kecuali z=0! Ini karena tidak memenuhi persamaan Cauchy-Riemann (Level 9). 15

LEVEL 9 Persamaan Cauchy-Riemann MISI PEMBELAJARAN 1. Persamaan Cauchy-Riemann 2. Syarat perlu terdiferensiasi 3. Memverifikasi fungsi analitik 4. Contoh dan latihanFinal Boss Battle! PERSAMAAN CAUCHY-RIEMANN Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y) terdiferensiasi di z₀, maka: ∂u/∂x = ∂v/∂y dan ∂u/∂y = -∂v/∂x CONTOH: f(z) = z²f(z) = (x+iy)² = x²-y² + 2xyi u = x²-y², v = 2xy ∂u/∂x = 2x, ∂v/∂y = 2x ✓ ∂u/∂y = -2y, -∂v/∂x = -2y ✓ Kesimpulan: f(z) = z² analitik di seluruh bidang kompleks. CONTOH: f(z) = |z|² f(z) = |z|² = x² + y² u = x²+y², v = 0 ∂u/∂x = 2x, ∂v/∂y = 0 2x = 0 → hanya di x=0 ∂u/∂y = 2y, -∂v/∂x = 0 2y = 0 → hanya di y=0 Hanya analitik di z = 0! LATIHAN 2.1 - Boss Final! 1. Verifikasi apakah f(z) = e^z memenuhi persamaan C-R 2. Tunjukkan f(z) = z̄ (konjugat) TIDAK analitik di mana pun 3. Tentukan di mana f(z) = x³+3xy²+i(y³+3x²y) analitik TEOREMA PENTING Jika u dan v memenuhi persamaan C-R DAN turunan parsialnya kontinu, maka f(z) = u + iv ANALITIK (terdiferensiasi di seluruh domainnya). TIPS DARI ZOMBIE Persamaan C-R adalah syarat PERLU. Untuk CUKUP, turunan parsial harus kontinu! Fungsi polinomial dan eksponensial selalu analitik di seluruh C. 16

ACHIEVEMENT UNLOCKED! SELAMAT! Kamu telah menyelesaikan semua 9 Level Bilangan Kompleks! RINGKASAN PENCAPAIAN ✓ Level 1: Aljabar Bilangan Kompleks ✓ Level 2: Nilai Mutlak & Konjugat ✓ Level 3: Bentuk Polar ✓ Level 4: Bentuk Eksponen ✓ Level 5: Akar & Pangkat ✓ Level 6: Fungsi Variabel Kompleks ✓ Level 7: Limit & Kontinuitas ✓ Level 8: Turunan ✓ Level 9: Persamaan Cauchy-Riemann 9000 / 9000 XP — MASTER COMPLETE! Materi: Bilangan Komplek — Lisa, S.Si, M.Pd. Desain: Pixel Quest Interactive Learning 18